初中不等式经典试题一

初中不等式经典试题一

一、选择题：（每小题5分，计50分。请将正确答案的代号填入下表）

题号12345678910

答案

1（2007全国Ⅱ文）不等式203

x x ->+的解集是（ ）

(A)(-3,2)

(B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞)

(D) (-∞,-2)∪(3,+∞)

2.(2007山东文、理) 已知集合{}1,1M =-，1

12

4,2x N x

x Z +??

=<<∈???

?

，则

M N ?=（ ）

（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0-

3.(2005上海春招)若c b a 、、是常数,则“0402

<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有

2

>++c x b x

a ”的( )

(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.

4.(2008海南、宁夏文、理)已知1230a a a >>>,则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）

A.（0，1

1a ） B. （0，

1

2a ） C. （0，

3

1a ） D. （0，

3

2a ）

5．(2008江西理) 若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）

A ．1122a b a b +

B ．1212a a b b +

C ．1221a b a b +

D ．2

1

6.(2008山东文)不等式

2

52(1)

x x +-≥的解集是（ ）

A ．132?

?

-???

?，

B ．132

??

-????

，

C ．(]11132

??

????

，，

D ．(]11132

??

-????

，，

7．（2005重庆理）若x ，y 是正数，则2

2

)21()21(x

y y

x +

++

的最小值是（ ）

A ．3

B ．2

7 C ．4 D ．2

9

8.(2007全国Ⅰ文)下面给出的四个点中，位于???>+-<-+0

1,01y x y x 表示的平面区域内的点

是（ ）

（A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0)

9.（2006山东文）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件??

?

??≥≤-≤+.72,2,

10x y x y x 则z=2x+3y

的最小值是（ ）

(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5

10.（2007四川文、理）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

3

2倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，

对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6

万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ ）

A.36万元

B.31.2万元

C.30.4万元

D.24万元

二、填空题:（每小题5分，计20分）

11.（2004浙江文、理）已知???≥?-=,

0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+?++x f x x ≤5的

解集是 。

12.（2007上海理）若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ．

13.（2007湖南文、理）设集合

(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+?≠?，

b 的取值范围是 .

14.（2005山东文、理）设,x y 满足约束条件5,

3212,

03,0 4.

x y x y x y +≤??

+≤??≤≤??≤≤?

则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______

三、解答题：(15、16题各12分，其余各题分别14分，满分为80分)

15．（2007北京文)记关于x 的不等式01

x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解

集为Q ．

（I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ?，求正数a 的取值范围．

16.（2004全国Ⅲ卷文、理）某村计划建造一个室内面积为8002

m 的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

17.（2006全国Ⅱ卷文）设a R

∈，函数2

=--若()0

()22.

f x ax x a

f x>的解集为A，

{}

，求实数a的取值范围。

=<<≠

B x x A Bφ

|13,

18.（2008安徽文）设函数3

2

3()(1)1,32

a f x x x a x a =

-

+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

19. （2007湖北文）（本小题满分12分）设二次函数,)(2a ax x x f ++=方程

0)(=-x x f 的两根1x 和2x 满足.1021 x x

（Ⅰ）求实数a 的取值范围; （Ⅱ）试比较15

1(C))1()0(与f f f -的大小，并说

明理由.

2.0.（2006浙江文）设2()32f x ax bx c =++，0a b c ++=若,f(0)f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)方程 ()0f x =有实根。 (Ⅱ) -2＜

a

b ＜-1；

（III ）设12,x x 是方程f(x)=0的两个实根，则.

1232||3

3

x x ≤-＜

参考答案

一、选择题：（每小题5分，计50分。请将正确答案的代号填入下表）

题号12345678910答案

C

B

A

B

A

D

C

C

B

B

二、填空题:（每小题5分，计20分）

11. ]23

,(-∞； 12.

16

1 ； 13。[1)+∞，； 14. 27

三、解答题：(15、16题各12分，其余各题分别14分，满分为80分)

15．解：（I ）由

301

x x -<+，得{}13P x x =-<<．

（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．

由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ?，所以2a >， 即a 的取值范围是(2)+∞，．

16．解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则

.800=ab 蔬菜的种植面积 )2)(4(--=b a S

).

2(2808824b a a b ab +-=+--=

所以).(648248082m ab S =-≤

当).(648,)(20),(40,22

m S m b m a b a ==--最大值时即

答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2.

17.. 解：由f （x ）为二次函数知0

a ≠

令f （x ）＝0解得其两根为122

2

11112,2x x a

a

a

a

=-+

=

++

由此可知120,0x x <> （i ）当0

a

>时，12{|}{|}A x x x x x x =

A B φ

?≠的充要条件是23x <，即

2

1123

a a

+

+

<解得67

a >

（ii ）当0

a

<时，12{|}A x x x x =<<

A B φ

?≠的充要条件是21x >，即2

1121a a

+

+

>解得2

a <-

综上，使A B φ?=成立的a 的取值范围为6

(,2)(,)7

-∞-?+∞

18.解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以

'

(1)0f = 即 310,1a a a -++==∴

(2) 方法一：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立

即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立

设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈

所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 220x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤

方法二：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立

即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2

222

x x a x +>

+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即

2

2

202

x x x +≤+

20x -≤≤∴

于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤

19.解法1：（Ⅰ）令g(x)=f(x)-x=x 2+（a-1）x+a,则由题意可得

.2230,223,223,

11,0.

0)0(,0)1(,1210,0-<

????+>-<<<->???

???????>><-<

>?a a a a a g g a 或 故所求实数a 的取值范围是（0，3-22）. （Ⅱ）f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a 2, 令h(a)=2a 2. ∵当a>0时h(a)单调增加， ∴当0

0

.161)0()1()0(,16

12

12171<

-?<+f f f 即

解法2：（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a 2,由（Ⅰ）知00,于是

2a 2-)132(16

116

12

-=a =

,0)1124)(124(16

1<+-a a

即2a 2-,0161<故f(0)f(1)-f(0)<.16

1

解法3：（Ⅰ）方程f(x)-x=0?x 2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得

???

??

??>-->-+->+>??<<<=-=+,

0)1)(1(,0)1()1(0

,010,,1212121212121x x x x x x x x a x x a x x 于是

.2230,

223,223,1,

0-<

??

??+>-<<>?a a a a a 或 故所求实数a 的取值范围是（0，3-22）

（Ⅱ）依题意可设g(x)=(x-x 1)(x-x 2),则由0

f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)=［x 1(1-x 1)］［x 2(1-x 2)］

<.161)0()1()0(,16121212

222

11<-=

??

?

??-+??? ??-+f f f x x x x 故

20.本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14分。 证明：（Ⅰ）若 a = 0, 则 b = －c ,

f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) 20c =-≤，与已知矛盾， 所以 a ≠ 0. 方程232ax bx c ++ = 0 的判别式 24(3),b ac ?=- 由条件 a + b + c = 0，消去 b ，得

)ac c a (42

2-+=?22134()024a c c ??=-+>????

故方程 f (x) = 0 有实根.

（Ⅱ）由0)1(f )0(f >，可知0)c 2b 3a (c >++ 又a + b + c = 0，所以)b a (c +-=

所以0)b 2a )(b a (<++，又a ≠ 0. 所以0a 2>

所以0)2a

b )(

1a b (

<++，解得21,b a -<

<-

（Ⅲ）由条件，知 1223b x x a

+=-, 1233c a b x x a a

+?=

=-

,

所以22121212()()4x x x x x x -=--2431().923b a =

++ 因为 21,b

a

-<<- 所以 21214()39x x ≤-<

故 12323

3

x x ≤-<