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函数微分的定义

函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。

叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。

通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：

由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。

导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量

，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，

函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对

应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。

导数公式微分公式

函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则

拉格朗日中值定理

如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使

成立。

这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：

若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。

注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。

注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍

下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理

如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

微分方程中的几个基础概念

微分方程中的几个基础概念微分方程—基础微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次

?微分阶数虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。常微分与偏微分首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：

常微分方程解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似.通常取，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步

推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点第一章绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！（重要）例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主）（习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）第三章一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题）第四章高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要）例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？（习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。（二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

常微分方程教材

第九章微分方程一、教学目标及基本要求（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。（2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。（3）会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。（4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。（6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。（7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ，于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y

我们知道式③表示一族曲线，曲线族中的每一条曲线的函数代入式①中都成为恒等式，而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数，其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.

微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数

)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。

函数微分的定义

函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对

应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，

§1常微分方程的基本概念

第十三章常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。两个实例例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。解平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。为了解出)(x f y =，我们只要将的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22，我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程。再由条件，将2|1==x y 代入C x y +=2，即

C +=2121=?C 。故所求曲线的方程为12+=x y 。再看一个例子：例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运动的位移与时间t 的关系。解这是一个物理上的运动问题。设质点运动的位移与时间的关系为 )(t s s =。则由二阶导数的物理意义，知a t d s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。再由题意000 |0 |t t s v v ==ì=??í ?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22 000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ==ì??=?í??==???，，。要解这个问题，我们可以将两边连续积分两次，即 1C at dt ds +=， ??++=21C dt C tdt a s ，即 2122 C t C t a s ++=，其中21,C C 为任意常数。由条件，因为0|0==t s ，代入，得02=C ；再由00|v v t ==，代入，得01v C =。故得 t v t a s 02 2 += 为所求。下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。微分方程的基本概念总结所给出的两个具体的例子，我们看到： (1) 例的)1(式和例的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）； (2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；

微分的概念、性质及应用

第二章第 6 节:函数得微分教学目得:掌握微分得定义,了解微分得运算法则,会计算函数得微分,会利用微分作近似计算教学重点:微分得计算教学难点:微分得定义,利用微分作近似计算教学内容: 1.微分得定义计算函数增量就是我们非常关心得。一般说来函数得增量得计算就是比较复杂得,我们希望寻求计算函数增量得近似计算方法。先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度变化得影响,其边长由变到(图21),问此薄片得面积改变了多少？设此薄片得边长为,面积为,则就是得函数:。薄片受温度变化得影响时面积得改变量,可以瞧成就是当自变量自取得增量时,函数相应得增量,即。从上式可以瞧出,分成两部分,第一部分就是得线性函数,即图中带有斜线得两个矩形面积之与,而第二部分在图中就是带有交叉斜线得小正方形得面积,当时,第二部分就图21 是比高阶得无穷小,即。由此可见,如果边长改变很微小, 即很小时,面积得改变量可近似地用第一部分来代替。一般地,如果函数满足一定条件,则函数得增量可表示为 , 其中就是不依赖于得常数,因此就是得线性函数,且它与之差 , 就是比高阶得无穷小。所以,当,且很小时,我们就可近似地用来代替。定义设函数在某区间内有定义,及x在这区间内,如果函数得增量可表示为 , ① 其中就是不依赖于得常数,而就是比高阶得无穷小,那么称函数在点就是可微得,而叫做函数在点相应于自变量增量得微分,记作,即。定理1 函数在点可微得充分必要条件就是函数在点可导,且当在点可微时,其微分一定就是。设函数在点可微,则按定义有①式成立。①式两边除以,得。于就是,当时,由上式就得到。因此,如果函数在点可微,则在点也一定可导(即存在),且。反之,如果在点可导,即存在,根据极限与无穷小得关系,上式可写成 , 其中(当)。由此又有

微分、变分、差分的确切定义与区别

一元微分定义设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为Δy = AΔx0 +o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx 高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义设Δx 是曲线y =f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。多元微分同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。最优控制的理论是变分法的一个推广。

全微分和热力学

2014届本科毕业论文全微分与热力学姓名：高盼系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314015 指导教师：王保玉 2014年2月9日

目录摘要与关键字................................................................ II 0 引言...................................................... 错误！未定义书签。 1 全微分函数的基本性质...................................... 错误！未定义书签。 2 热力学基本方程及辅助热力学方程 (3) 2.1 物态方程 (3) 2.2 态函数内能U和熵S (4) 2.3 热力学基本微分方程 (5) 3 内能、焓、自由能及吉布斯函数的全微分和麦克斯韦关系 (5) 4 麦克斯韦关系的简单应用 (7) 4.1 熵的一般关系式 (7) 4.2 内能的一般关系式 (9) 4.3 焓的一般关系式 (10) 4.4 定压比热与定容比热的关系 (13) 摘要............................................................................................................................................................ II 关键词............................................................................................................................................................ II 参考文献. (14) 致谢 (15)

导数与微分导数概念

第二章导数与微分第一节导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？第二节函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

微分的概念、性质及应用

第二章第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容： 1. 微分的定义计算函数增量()()00x f x x f y -?+=?是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ?+0（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数： 2x A =。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x 自0x 取得增量x ?时，函数A 相应的增量A ?，即 ()()2020202x x x x x x A ?+?=-?+=?。从上式可以看出，A ?分成两部分，第一部分A x ?02是A ?的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2 x ?在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→?x 时，第二部分()2x ?是比x ?高阶的无穷小，即()()x x ?=?02。由此可见，如果边长改变很微小，即x ?很小时，面积的改变量A ?可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ?可表示为 ()x x A y ?+?=?0，其中A 是不依赖于x ?的常数，因此x A ?是x ?的线性函数，且它与y ?之差图2-1

()x x A y ?=?-?0，是比x ?高阶的无穷小。所以，当0≠A ，且x ?很小时，我们就可近似地用x A ?来代替y ?。定义设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ?+0及x 0在这区间内，如果函数的增量 ()()00x f x x f y -?+=? 可表示为 ()x x A y ?+?=?0， ① 其中A 是不依赖于x ?的常数，而()x ?0是比x ?高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点0x 是可微的，而x A ?叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ?的微分，记作dy ，即 x A dy ?=。定理1 函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是 ()x x f dy ?'=0。设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。①式两边除以x ?，得 ()x x A x y ??+=??0。于是，当0→?x 时，由上式就得到 ()00lim x f x y A x '=??=→?。因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且()0x f A '=。反之，如果()x f y =在点0x 可导，即 ()00lim x f x y x '=??→? 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 ()α+'=??0x f x y ，其中0→α（当0→?x ）。由此又有 ()x x x f y ?+?'=?α0。

常微分方程的基本概念

考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】 1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程. 考题链接：例：*320y x y x y xdy ydx ''=++=+=，， 2.阶：未知函数的最高阶导数的阶数. 考题链接：例：微分方程()2 420x y y x y '''+-=的阶数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.性微分方程： ()()()()()()*012n n f x y f x y f x y f x y f x '?+?+?+ +?= 考题链接：例：判断下列函数是否为线性方程. （1）2y x y '=+ （2）2sin y x y x '=++ （3）sin 0y x y '-+= （4）2y yy x '''-= （5）()2 3y x y '=+ 4.解：若()y x ?=代入方程成为恒等式，则称()y x ?=为方程的一个解. （1）通解：含有相互独立（不能合并，212y C x C x =+与12y C x C x =+）的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解. （2）特解：不含任意常数的解. 例1：某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（） A.sin y C x = B.12sin cos y C x C x =+ C.sin cos y x x =+ D.()12cos y C C x =+

例2：函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是微分方程0y y ''+=的（） A.通解 B.特解 C.解 D.不是解例3：已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________. 考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：()()f y dy g x dx = （2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分. 例1：微分方程0dx dy y x +=的通解是（） A.2225x y += B.34x y C += C.22x y C += D.227y x -= 例2：方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=的通解为________. 例3：微分方程220dy xy dx -=满足条件()11y =-的特解是（） A.21 y x = B.21y x =- C.2y x = D.2y x =- 考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：y y f x ?? = ??? 考题链接：例：22x y x y '=+不是 222x y x y '=+是（2）解法：①化为标准形式； ②令y u x = ，代入方程消去y ； ③化为x 与u 的可分离变量的微分方程，求解. 例：求sin 0y xy x y x '--=的通解. 考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】（1）标准形式：()()y P x y Q x '+=

1.微分方程的一般概念

第十三章常微分方程在研究客观现象时，常常遇到这样一类数学问题，即其中某个变量和其他变量之间的函数依赖关系是未知的，但是这个未知的函数关系以及它的某些阶的导数（或微分）连同自变量都由一个已知的方程联系在一起 ,这样的方程称为微分方程.如果未知函数是一元的，那末对应的微分方程称为常微分方程;如果未知函数是多元的，那末对应的微分方程称为偏微分方程 . 这一章介绍常微分方程，第十四章介绍偏微分方程 . 本章主要内容是介绍几类可以用分析方法求解的方程，如某些一阶微分方程，常系数线性微分方程，某些高阶微分方程和微分方程组.对于那些不能用分析方法求解的方程，介绍研究解的某些性质的方法（稳定性理论大意），或者用一些特殊的方法求出常微分方程的近似解（主要是数值解法）. §1 微分方程的一般概念微分方程是联系自变量 x ，未知函数y 和它的某些阶导数n n x y x y x y d d ,...,d d ,d d 22的关系式：0 d d ,...,d d ,d d ,,22n n x y x y x y y x F [微分方程的阶数]方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶. 例如: y y x 24是二阶常微分方程. [微分方程的次数]如果能把微分方程化作对所有导数的有理整式，则其中最高阶导数的次数，称为微分方程的次数.并不是所有微分方程都有次数.例如：y y 11 2是一个二阶二次方程，因有理化后可得y y 12，而21 1y y 是二阶一次方程，方程ln y y 1没有次数可说. [微分方程的解]使常微分方程成为恒等式的变量之间的关系式都是该常微分方程的解.如果关系式是隐式，这种解又称为积分.微分方程的解的求法也可称为微分方程的积分法.微分方程的每一个解的图形又称为微分方程的积分曲线. [微分方程的通解]如果在微分方程的解式中,所含的独立的任意常数（如果一个解中的常数可取任意值，称它为任意常数）的个数等于这个微分方程的阶数，那末这解式称为微分方程的通解.n 阶微分方程的通解表达式中含有n 个彼此独立的任意常数. [微分方程的特解]相对于通解而言，微分方程的每一个解称为特解. [初值问题]如果在自变量某值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为初值问题. [边值问题]如果在自变量一个以上的值给出适当个数的附加条件，用来确定微分方程的特解，那末这样的问题称为边值问题.

函数微分的定义

常微分方程基本概念习题附解答

微分方程中的几个基础概念

常微分方程解

常微分方程基本知识点

最新导数和微分的概念

《常微分方程》课程大纲

常微分方程教材

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念

函数微分的定义

§1常微分方程的基本概念

微分的概念、性质及应用

微分、变分、差分 的确切定义与区别

全微分和热力学

导数与微分导数概念

微分的概念、性质及应用

常微分方程的基本概念

1.微分方程的一般概念

微分、变分、差分的确切定义与区别