河南省南阳市2020届高三数学上学期期终质量评估试题文(扫描版)

2019年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（文）参考答案

1—5 ADCDB 6—10 BCABA 11—12 DC

13. y x = 14. 100 15. 4 16. [)1,12,2??+∞?

???

16.【解析】设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），

若在x ＜1时，h （x ）=2x

﹣a 与x 轴有一个交点，

所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2， 而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a≥1，且a ＜1，

所以≤a＜1，

若函数h （x ）=2x

﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，

当a≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h （1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，

综上所述a 的取值范围是≤a＜1，或a≥2

故答案为：

或a≥2．

17.解：（1）因为

C

B C

A B cos sin cos cos cos ＋＝b a 3，

所以由正弦定理，得

C

B C A B cos sin cos cos cos ＋＝B A sin sin 3.

所以

C

B C

A C A cos sin cos cos cos ）＋＋（－＝

B A sin sin 3， …………………………………2分

所以sin Asin C ＝3sin Acos C.

因为A ∈（0，π），所以sinA ≠0，所以tan C ＝3. 因为C ∈（0，π），所以C ＝

3

π

. …………………………………………………4分 因为

A a sin ＝C c sin ，所以A sin 3＝2

3

3

2，所以sin A ＝43. ………………………6分 （2）设AB 边上的中线为CD ，则2,CD CA CB =+

所以22

224||2,()CD CA C b a abc C B os A B =+=∠＋＋

即37＝b 2＋9＋3b ，所以b 2

＋3b －28＝0

解得b ＝4或b ＝－7（舍去）. …………………………………………………10分 所以ABC S

＝

21absin ∠ACB ＝2

1

×3×4×23＝33. …………………………11分

所以的面积为ABC ?33. …………………………………………………12分 18．解：（1）根据统计数据得2×2列联表如下：

…………………………………………………3分 由于K 2

的观测值

K 2 =

2

451926(1516410)2520

??-????≈7.287>6.635， ……………………………………5分 因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.…6分 （2）根据题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为A ，B ，抽到的矮茎玉米有3株，

设为a,b ，c ， …………………………………………………………………………8分 从这5株玉米中取出2株的取法有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ， 共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab ，ac ，bc ，共3种，……………………10分

因此，选取的植株均为矮茎的概率是

3

10. ………………………………………12分

19.解:（1）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，

所以//OM VB ……………………………………………………………………2分

又因为VB ?平面MOC ，OM MOC ?平面

所以//VB 平面MOC ………………………………………………………………4分

（2）因为AC BC =，O 为AB 的中点，

所以OC AB ⊥ ………………………………………………………………6分

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ABC AB =平面平面且OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB ，OC MOC ?且平面

所以平面MOC ⊥平面VAB …………………………………………………………8分

（3）t R ACB ?在中，AC BC ==O AB 为的中点，

所以2,1AB OC ==

VAB ?又因为为等边三角形

，所以，VAB S ?=且OC ⊥平面VAB ，

所以,1333C VAB VAB V OC S -?=

= ……………………………10分

又因为V ABC C VAB V

V --=， 所以三棱锥V ABC -的体积为

3. ………………………………………………12分

20.解:(1)设P (x ,y ),∵A (-2,0),B (2,0),

∴12,,22y y

k k x x =

=+- …………………………………………………………2分

又4

32

1-=?

k k , 223,44y x ∴=--22

1(2),43x y x ∴+=≠±

∴点P 的轨迹C 的方程为221(2).43x y x +=≠±……………………………………4分

(2)由O ,R 分别为F 1F 2,PF 2的中点,故OR ∥PF 1,故△PF 1R 与△PF 1O 同底等高, 故11PF R PF O S S ??=, 111

1

,

PF R PF O QF O QF O PQO S S S S S S ?????∴=+=+=

当直线PQ 的斜率不存在时,其方程为1,x =- 此时S △PQO =

13

331();2222????--=????………………………………………………6分

当直线PQ 的斜率存在时,设其方程为y=k (x+1),

设1122(,),(,),P x y Q x y 显然直线PQ 不与x 轴重合,即k ≠0;

联立22(1),1,43y k x x y =+???+=??

解得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0, ∴Δ=144(k 2

+1)>0 ,

∴ 2

122

2

122

8,

34412,

34k x x k k x x k +=

-+-=+……………………………………………………………8分

故2122

12(1)

|||,34k PQ x x k +=-==+

点O 到直线PQ 的距离

1||2S PQ d == ……………………………………………10分

令u=3+4k 2∈(3,+∞),

故3(0,),2S == 故S 的最大值为

3

2. ……………………………………………………………12分

21.解:(1)2121

'()20).ax f x ax x x x -=-=

>( ……………………………………1分

0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）

内单调递减. …………………………2分

0a >当时，

由'()f x =0

，有x =当x

∈

（时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x

∈

+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. ………………………………4分

（2）令()s x =1e x x --，则'()s x =1e 1x --. …………………………………………6分

当1x >时，'()s x >0，故1

()x s x e x -=-在1+)∞（，上为增函数

所以，()(1)0s x s >= 即：1

e

x x ->，即：1e

x

e x >>

从而()g x =

1e x e

x ->0. ………………………………………………8分

（3）由（2），当1x >时，()g x >0.

当0a ≤，1x >时，()f x =2

(1)ln 0a x x --<.

故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.……………………9分

当102a <<

>1. 由（1

）有(1)0f f <=,

从而0g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. ………………………………10分

当1

2

a ≥

时，令()h x =()f x -()g x (1x >). 当1x >时，'()h x =2211e 1112x ax x x x e x x x

-+->-+-=3222

2121

0x x x x x x -+-+>>. 因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.

又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立. 综上，a ∈1

+)2∞[，. …………………………………………………………………12分

22.解:(1)依题意：直线l 的方程为x-y-3=0，即：ρcos θ-ρsin θ-3=0，

∴直线l 的极坐标方程为：

ρcos θ-ρsin θ-3=0 ………………………………………………………………2分

依题意，曲线C 的方程为（x-2）2+y 2=4，整理得x 2+y 2

-4x=0，

2-4cos 0ρρθ=即，故曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ. ………………………5分

(2)依题意，直线l

的参数方程为：1,2

()2,2

x t y t ?=+

???

?=-+??为参数，

将直线l 的参数方程代入曲线C

的普通方程，得2

t +10-=,………………8分 设M ，N

两点对应的参数为121212,,+=1t t t t t t 则，

则

PM -PN |||||| ………………………………………10分

23.解:(1)当1=a 时

，?????≥-<<≤-=3,1231,51

,27)(x x x x x x f ， ……………………………………2分 7)(>∴x f 的解集为{}

40>

…………………………………………5分

(2)a a a x a x a a x x x f 313331331)(+-=+-+-≥+-+-=，

又有

5494

9=-≤-

-m m ，………………………………………………………8分

由题意得，5313≥+-a a ，

解得1≥a ，∴实数a 的取值范围为),1[+∞．…………………………………10分