微分中值定理的教学探讨
中国校外教育?理论曩圜ｉｌｌ
微分中值定理的教学探讨
◆侯玉娟
【摘要】微积分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它提供了导数应用的基本理论依据。本文通过微积分中值定理的系统教学回顾，阐述如何培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决实际问题的能力。
【关键词】微积分中值定理开区间闭区间
导数与微分的概念及计算方法是微积分学的一个重要内容，在实际应用中可以求瞬时速度、加速度、瞬时电流强度、求曲线的切线与法线等问题。而做为导数的应用之一，微分中值定理的教学和学习，为进一步解决实际问题提供了有力工具。课堂教学中，使学生掌握和正确使用微分中值定理证明不等式、推证罗必达法则等是教学的重要内容．笔者旨在通过微
分中值定理的系统教学、培养学生的逻辑推理能力和分析、解决实际问题
的能力。
一、费马定理
设ｆ（ｘ｝在ｘ０处可导，且在Ｘ。的某邻域内恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘｏ），则有ｆ’（ｘｏ）＝０。
证明：若对在Ｘｏ的某邻域内的任何Ｘ，恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（Ｘｏ），
当△，＞ｏ时，，必有丛等逝一，当△。＜ｏ时．必有』璺生等：热！Ⅻ．
由于ｆ（ｘ｝在ｘｏ处可导．可知
ｆ。（ｘｏ）＝ｆ‘＋（ｘｏ）－ｆ。一（Ｘｏ｝，由极限的性质进一步可知
ｆ’＋（×０）＝岛＋一／（ｘｏ—＋Ａｉｘ：）—－／（—％）到．
ｆ’一（Ｘｏ）：麟，旦＆±笔≥丛盟≥。．从而必有ｆ’（吒）：ｏ。
定义：使ｆ。（Ｘｏ）＝０的点ｘｏ称为Ｙ＝ｆ《Ｘ）的驻点。
二．罗尔定理
设函数ｆ（Ｘ）满足：
（１）在【ａ．ｂ】上连续；（２）在（ａ，ｂ）内可导：（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）。
则至少存在一点若∈Ｉａ，ｂ）使ｆ’（嚣）＝０。
证明：如果ｆ（Ｘｊ在【ａ，ｂ】上恒为常数。则对于任意的《ａ．ｂ），都有ｆ’
｛引＝Ｃ。Ｉ。＝ｏ。
如果ｆ《Ｘ）在【ａ，ｂ】上不是常数．由于ｆ（Ｘ）在【ａ．ｂ】上连续，可知ｆＩＸ）在【ａ．ｂ】上必能取得最大值Ｍ与最小值ｍ，且Ｍ≠ｎ．可知Ｍ．ｎ之中至少有一个值与ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）不等．不妨设Ｍ≠ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），即ｆ（Ｘ）在（ａ，ｂ）内某点￡处取得最大值．由费马定理可知．必有ｆ’（Ｓ）＝０。
罗尔定理从几何上可以解说如下：当曲线弧在【ａ，ｂ】上为连续弧段．在
【ａ．ｂ】内曲线弧上每点都有不平行于Ｙ轴的切线．且曲线弧线段在两个端点
处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点．过该点的切线必定平行干
Ｘ轴。如下图
需指出的是．罗尔定理的条件是充分条件不是必要条件．也就是说，
定理的结论成立函数未必满足定理中的三个条件、即定理的逆命题不成立。
例如：ｆ（Ｘ）＝（Ｘ—ｙ）２在【ａ，ｂ】上不满足罗尔定理的条件（ｆ（０≠ｆ１３｝）．但却存Ｓ＝１∈（０．３），使ｆ’（１）＝０。
三。拉格朗日中值定理
设函数ｆ（Ｘ）满足：（１）在闭区剐ａ．ｂ】上连续：１２）在开区间（ａ．ｂ）内可导．则至少存在一点ｓ∈㈠ｂ）使ｆ，（引：』垫攀。
口一ｄ
分析：与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）。
如果能由ｆ（ｘ》构造一个毅函数妒｛Ｘ），使≯《ｘ》在【ａ｜ｂ】上满足罗尔定理条件，由妒，（葶）：ｏ能导出ｆ?（舌）：』呸上』塑，则问题可以解决。
为此先看下拉格朗日中值定理的几何意义。首先注意复氅∑』盟表
。一ｃ善
示过｛ａ，ｆ（ａ））．（ｂ，ｆ｛ｂ））两点的弦线的斜率、定理的几何意义可描述为：如果在【ａ、ｂ】上的连续曲线、除端点外．处处有不垂直于Ｘ轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点（菩．ｆ｛嚣））使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线。如下图
其弦线方程为：Ｙ＝ｆ（ａ）＋￡黑攀（ｘ—ａ）
其弦线方程为：＝ｆ（ａ）＋＝Ｈ鼍Ｌ盥（ｘ—ａ）
构造函数（。）：ｆ（。）一ｆ（。）一』譬｝二塑《。一。）即可．妒（。）的
扫一稿
几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差。证明：设≯ｆｘｊ：ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）一￡兰幽ｃｘ—ａ）ｏ
口一盘
由于ｆ（ｘ）在【ａ．ｂ】上连续．因此≯（Ｘ）在【ａ．ｂ】的上连续
（ａ．ｂ）内可导．因此毋（Ｘ）在（ａ．ｂ）内可导，又由于
妒（ａ）－０＝妒（ｂ）所以ＩＸ）在【ａ．ｂ】上满足罗尔定理条件
在一点￡∈｛ａ，ｂ）使妒’（￡）＝０，即
ｆ，（￡）一￡咚∑』盟：ｏ．从而有
０一曲
ｆ，（菩）：』羔掣即ｆ（ｂ）一ｆ（ａ】：ｆｒ（￡）（ｂ—ａ）
口一盘
由于ｆＩＸ）在
所以至少存
把上述中的ａ．ｂ换成变量Ｘ１．Ｘ，．令△、，＝ｆ（ｘ，ｊ—ｆＣＸ．｝．△。＝ｘ，一Ｘ．．拉格朗日定理变成△。＝ｆ’（菩）△。．说明函数ｆ（Ｘ）在［ｘｌ，ｘ２］上的改变量△。等于ｆ（ｘ）在（Ｘ，，Ｘ，）内某一中间点嚣的导数值ｆ。（Ｓ）乘以自变量的改变量△，．因此拉格朗日定理又称为微分中值定理。它是微分学中最重要的定理之一。微分中值定理提供了利用导数来研究函数某些性质的途径．其条件是函数的某些性质如果可以表达为ｆＩｘ）在区间【ｘ，，Ｘ２】上的差值ｆ（ｘ，）一ｆ（ｘ，）．那么利用中值定理就可以转化为ｆ。｛Ｓ）（Ｘ，一Ｘ，）．从而达到利用导数研究函数性质的目的。
由拉格朗日中值定理很容易推证出两个推论：
推论１若ｆ’（ｘ）在（ａ，ｂ）内恒为零，则ｆ（ｘ）在Ｉａ，ｂ）内必为常数。
推论２若在（ａ，ｂ）内恒有ｆ’（Ｘ）＝ｇ’（ｘ），则有ｆ（ｘ）＝ｇ（Ｘ）＋Ｃ。其中Ｃ为常数。
（作者单位：辽宁大连职工大学）
０２／２００７２９
万方数据
微分中值定理的教学探讨
作者：侯玉娟
作者单位：辽宁大连职工大学
刊名：
中国校外教育（理论）
英文刊名：CHINA AFTER SCHOOL EDUCATION
年，卷(期)：2007，""(2)
被引用次数：0次
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下载时间：2010年8月8日