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高考数学文科考点分类汇编详解

课时跟踪检测(八) 二次函数与幂函数

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.函数y =x 13

的图象是( )

高考数学文科考点分类汇编详解

解析:选B 由幂函数y =x α,若0<α<1,在第一象限内过(1,1),排除A 、D ,又其图象上凸,则排除C ,故选B.

2.函数y =x 2+ax +6在????52,+∞上是增函数,则a 的取值范围为( ) A .(-∞,-5] B .(-∞,5] C .[-5,+∞)

D .[5,+∞)

解析:选C ∵y =x 2+ax +6在????-a 2,+∞上是增函数,由题意得-a 2≤5

2.∴a ≥-5,故选C.

3.(·贵州适应性考试)幂函数y =f (x )的图象经过点(3,3),则f (x )是( ) A .偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B .偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C .奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D .非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数

解析:选D 设幂函数f (x )=x α,则f (3)=3α=3,解得α=1

2,则f (x )=x 1

2=x ,是非

奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.

4.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x =2,最小值为-1,则它的解析式为________________.

解析:依题意可设f (x )=a (x -2)2-1, ∵图象过点(0,1), ∴4a -1=1,∴a =1

2.

∴f (x )=1

2(x -2)2-1.

答案:f (x )=1

2

(x -2)2-1

5.若二次函数f (x )=-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t =________.

解析:由于f (x )=-x 2+4x +t =-(x -2)2+t +4图象的顶点在x 轴上, 所以f (2)=t +4=0, 所以t =-4. 答案:-4

二保高考,全练题型做到高考达标

1.(·吉林东北二模)已知幂函数f (x )=x n ,n ∈{-2,-1,1,3}的图象关于y 轴对称,则下列选项正确的是( )

A .f (-2)>f (1)

B .f (-2)

C .f (2)=f (1)

D .f (-2)>f (-1)

解析:选B 由于幂函数f (x )=x n 的图象关于y 轴对称,可知f (x )=x n 为偶函数,所以n =-2,即f (x )=x -

2,则有f (-2)=f (2)=14

,f (-1)=f (1)=1,所以f (-2)

2.已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则( ) A .a >0,4a +b =0 B .a <0,4a +b =0 C .a >0,2a +b =0 D .a <0,2a +b =0

解析:选A 由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =-b

2a =2,

∴4a +b =0,又f (0)>f (1), ∴f (x )先减后增,于是a >0,故选A.

3.已知f (x )=x 1

2

,若0

1b B .f ????1a

?1b

a ,故选C.

4.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )

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解析:选D 由A 、C 、D 知,f (0)=c <0. ∵abc >0,∴ab <0,

∴对称轴x =-b

2a >0,知A 、C 错误,D 符合要求.

由B 知f (0)=c >0, ∴ab >0,

∴x =-b

2a

<0,B 错误.故选D.

5.若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ],值域为????-25

4,-4,则m 的取值范围是( )

A .[0,4] B.????

32,4 C.????32,+∞

D.????32,3

解析:选D 二次函数图象的对称轴为x =32,且f ????32=-25

4,f (3)=f (0)=-4,由图得m ∈????32,3.

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6.对于任意实数x ,函数f (x )=(5-a )x 2-6x +a +5恒为正值,则a 的取值范围是________.

解析:由题意可得?????

5-a >0,

Δ=36-4(5-a )(a +5)<0,

解得-4<a <4. 答案:(-4,4)

7.已知函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间????

12,1上为增函数,那么f (2)的取值范围是________.

解析:函数f (x )=x 2-(a -1)x +5在区间????

12,1上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴x =a -12或与直线x =12重合或位于直线x =12的左侧,即应有a -12≤12,解

得a ≤2,∴f (2)=4-(a -1)×2+5≥7,即f (2)≥7.

答案:[7,+∞)

8.已知函数f (x )=?????

x 2+x ,x ≤0,

ax 2+bx ,x >0

为奇函数,则a +b =________.

解析:因为函数f (x )是奇函数, 所以当x <0时,-x >0,

所以f (x )=x 2+x ,f (-x )=ax 2-bx , 而f (-x )=-f (x ), 即-x 2-x =ax 2-bx ,

所以a =-1,b =1,故a +b =0. 答案:0

9.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R).

(1)若函数f (x )的图象过点(-2,1),且方程f (x )=0有且只有一个根,求f (x )的表达式; (2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围. 解:(1)因为f (-2)=1,即4a -2b +1=1,所以b =2a . 因为方程f (x )=0有且只有一个根,所以Δ=b 2-4a =0. 所以4a 2-4a =0,所以a =1,b =2. 所以f (x )=(x +1)2.

(2)g (x )=f (x )-kx =x 2+2x +1-kx =x 2-(k -2)x +1=

?

???x -k -222+1-(k -2)2

4.

由g (x )的图象知,要满足题意,则k -22≥2或k -2

2≤-1,即k ≥6或k ≤0,

∴所求实数k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). 10.已知幂函数f (x )=x (m 2+m )-

1(m ∈N *).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性.

(2)若该函数f (x )的图象经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.

解:(1)因为m 2+m =m (m +1)(m ∈N *),而m 与m +1中必有一个为偶数,所以m 2+m 为偶数,

所以函数f (x )=x (m 2+m )-

1(m ∈N *)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.

(2)因为函数f (x )的图象经过点(2,2), 所以2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )-

1,

所以m 2+m =2,解得m =1或m =-2. 又因为m ∈N *,所以m =1,f (x )=x 1

2.

又因为f (2-a )>f (a -1), 所以????

?

2-a ≥0,a -1≥0,

2-a >a -1,

解得1≤a <3

2

故函数f (x )的图象经过点(2,2)时,m =1.满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为???

?1,32. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________.

解析:由题意知,y =f (x )-g (x )=x 2-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2-5x +4(x ∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y =x 2-5x +4∈???

?-9

4,-2,故当m ∈???

?-94,-2时,函数y =m 与y =x 2-5x +4(x ∈[0,3])的图象有两个交点.

答案:???

?-9

4,-2 2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

高考数学文科考点分类汇编详解

(1)写出函数f (x )(x ∈R)的增区间; (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式;

(3)若函数g (x )=f (x )-2ax +2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值. 解:(1)f (x )在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.

(2)设x >0,则-x <0,函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x , ∴f (x )=f (-x )=(-x )2+2×(-x )=x 2-2x (x >0),

∴f (x )=?

????

x 2-2x ,x >0,

x 2+2x ,x ≤0.

(3)g (x )=x 2-2x -2ax +2,对称轴方程为x =a +1, 当a +1≤1,即a ≤0时,g (1)=1-2a 为最小值;

当12,即a >1时,g (2)=2-4a 为最小值. 综上,g (x )min =????

?

1-2a ,a ≤0,-a 2-2a +1,01.

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