数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表

求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解：

（1）

故所求二次拉格朗日插值多项式为

（2）一阶均差、二阶均差分别为

例2、 设2

()32f x x

x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平

方逼近多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为

011231261192

34a a ??????????=??????????

??????????

，经过消元得012311

62110123a a ???

???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011

6

a =

故，所求最佳平方逼近多项式为*

111()46S x x =+

例3、 设()x

f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近

多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为

解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为

例4、 用4n =

的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1

?

。

解：

（1）用4n =的复合梯形公式

由于2h =，(

)f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式

由于2h =，(

)f x =()121,2,3k x k k =+=，()12

220,1,2,3k x

k k +

=+=，所以，有

例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

解：先消元

再回代，得到33x =，22x =，11x =

所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =

例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

解： 设

则由A LU =的对应元素相等，有

1114u =

，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311

22

l u l =?=，

2112222211460l u u u +=?=-，2113232311

545l u u u +=?=-，

3112322232136l u l u l +=?=-，31133223333313215

l u l u u u ++=?=

因此，

解Ly b =，即12310

094

108382361y y y ??

????

???????

?=????????????????-?

?，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即1

231

1

14569110

460451541300

15x x x ??

???????

???????--=-???

???????-???????????

?

，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =- 所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-

１、若A 是n n ?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一

成立。 （ ）

２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

3、形如)

()(1i n

i i b

a x f A dx x f ∑?=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次

数为12+n 。（ ）

４、矩阵??

???

??=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ）

5、设??

??? ??=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。（用∞?）（）

6、设n n R A ?∈，n

n R

Q ?∈，且有I Q Q T

=（单位阵），则有22QA A =。（）

7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（ Ⅹ ）2、

（ ∨ ）3、（Ⅹ ）4、（ ∨ ）5、（Ⅹ ）6、（∨ ）7、（ Ⅹ ）8、（Ⅹ ）

一、 判断题（10×1′）

1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。(×)

2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。(?)

3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×) 4、 样条插值一种分段插值。(?)

5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?)

6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 (?)

7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。(×)

8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)

9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。(?)

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)

1. 用计算机求1000

1000

11

n n

=∑

时，应按照n 从小到大的顺序相加。（）

2. 为了减少误差,

应将表达式

（对）

3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）

4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）

复习试题

一、填空题：

1、?????

?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ?

??

?????????=?

??????????

?。

答案：

??

????????--??????????--=1556141501

4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得?≈3

1_________

)(dx x f ,

用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25

3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为，拉格朗日插值多

项式为。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；

5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；

7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；

8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(1

2+-n a

b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 两点式高斯型求积公式?1

d )(x

x f ≈(

?++-≈1

)]

321

3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为(5)；

12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

13、 为了使计算

32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为

199920012

+。

14、 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，

1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。 15、 计算积分?1

5

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公

式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。

16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为

?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭代格式的迭

代矩阵的谱半径)(M =121

。

17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为

)1(716)(2-+=x x x x N 。

18、 求积公式?∑=≈b

a

k n

k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代

数精度。

19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5

1

d )(x

x f ≈(12)。

20、 设f (1)=1，f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f (2.5)。

21、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分

（10）次。

23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

)((1)，∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((j x )，当2≥n 时=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n

k k (324++x x )。

26、改变函数f x x x ()=+-1(x >>1)的形式，使计算结果较精确()x x x f ++=

11

。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

29、若用复化梯形公式计算?1

0dx

e x ，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，

至少用477个求积节点。

30、写出求解方程组

??

?=+-=+2

4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式

()()

()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为

????

??--64.006.10，此迭代法是否收敛收敛。 31、设

A =?? ?

??

5443,则=∞A 9。 32、设矩阵482257136A ????=??

????的A LU =，则

U =4820161002U ??

????=??

??-????。 33、若4

321()f x x

x =++，则差商2481632[,,,,]f =3。

34、数值积分公式1

12

18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为

2。