第一章§1 1.1
A级基础巩固
一、选择题
1.下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是(C)
A.圆柱B.圆锥
C.球D.圆台
[解析]圆柱的轴截面是矩形面,圆锥的轴截面是三角形面,球的轴截面是圆面,圆台的轴截面是等腰梯形面.
2.图甲是由图中哪个平面图旋转得到的(A)
[解析]该简单组合体为一个圆台和一个圆锥,因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成.B旋转后为两共底的圆锥;C旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;D旋转后为两圆锥与一圆柱.
3.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为(B)
A.10B.20
C.40 D.15
[解析]圆柱的轴截面是矩形,矩形的长宽分别为5、4,则面积为4×5=20.
4.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是(B) A.圆锥B.圆柱
C.球体D.以上均有可能
[解析]圆锥、球体被平面截后不可能是四边形,而圆柱被截后可能是四边形.
5.充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成(C)
[解析]汽车内胎是圆形筒状几何体.
6.(2019·潍坊高一检测)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体
形状为( B )
A .一个球体
B .一个球体中间挖出一个圆柱
C .一个圆柱
D .一个球体中间挖去一个长方体
[解析] 圆旋转一周形成球,圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱. 二、填空题
7.已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°,若上底面的半径为1,高为1,则圆台的下底面半径为__2__.
[解析] 设下底面半径为r ,则r -11=tan45°,∴r =2.
8.有下列说法:
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段; ②球的直径是球面上任意两点间的线段; ③用一个平面截一个球,得到的是一个圆; ④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球. 其中正确的有__①__.
[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转,旋转面所围成的封闭的几何体,不难理解,半圆的直径就是球的直径,半圆的圆心就是球心,半圆的半径就是球的半径,因此①正确;如果球面上的两点连线经过球心,则这条线段就是球的直径,因此②错误;球是一个几何体,平面截它应得到一个面而不是一条曲线,所以③错误;空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面,而不是一个球体,所以④错误.
三、解答题
9.已知圆锥的母线长为10mm ,高为5mm . (1)求过顶点作圆锥的截面中,最大截面的面积. (2)这个截面是轴截面吗?为什么? [解析] 如图所示:
(1)∵OA =10mm ,OH =5mm ,
∴∠OAH =30°.∴∠AOB =120°. ∴S 截面=1
2OA ·OB ·sin θ(0<θ≤120°).
∴S max =1
2×10×10×sin90°=50(mm 2).
(2)S △AOB =1
2×10×10×sin120°=253(mm 2).
∵253<50,∴该截面不是轴截面.
10.如图所示,用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的小圆锥的母线长是3 cm ,求圆台OO ′的母线长.
[解析] 设圆台的母线长为l ,由截得圆台上、下底面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面半径分别为r ,4r .过轴SO 作截面
,如图所示.
则△SO ′A ′∽△SOA , ∴
SA ′SA =O ′A ′
OA
. 又SA ′=3,SA =3+l ,O ′A ′=r ,OA =4r , ∴
33+l =r 4r =1
4
.解得l =9. 即圆台的母线长为9 cm .
B 级 素养提升
一、选择题
1.下列命题中,错误的是( B )
A .圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B .圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C .圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D .圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
[解析]当圆锥的轴截面顶角大于90°时,面积不是最大的.
2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(B)
A.4B.3
C.2D.1
[解析]如图,设球的半径为R,
两截面圆的半径分别为r1,r2,
则πr21=5π,πr22=8π,
∴r1=5,r2=22.
又O1O2=1,取OO2=x,
则有R2=5+(x+1)2,R2=8+x2,
∴5+(x+1)2=8+x2,
∴x=1,∴R=3.
二、填空题
3.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为__103__cm.
[解析]h=20cos30°=20×
3
2=103(cm).
4.圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm,母线长为310 cm,则它的轴截面的面积是__63_cm2__.
[解析]画出轴截面,如图,过A作AM⊥BC于M,则BM=5-2=3(cm),AM=AB2-BM2=9(cm),
∴S四边形ABCD=(4+10)×9
2=63(cm
2).
三、解答题
5.如图所示几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个平面去截这个几何体,请画出截面图形.(要求:①至少画两个,②不要求大小,只要求形状,③平面图形包含内部部分时,用阴影标出)
[解析]参考图形如下:(任选其二)
6.轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为3,求该圆锥的底面半径、高和母线长.
[解析]如图△SAB为等边圆锥的轴截面,
设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,
则在轴截面△SAB中,
有OB=r,SO=h,SB=l,
且∠SBO=60°.
在直角△SOB中,h=3r,l=2r,
所以S△SAB=1
2×AB×SO=rh=3r
2,
根据题意得3r2=3,
解得r=1,所以l=2r=2,h=3r=3.
即该圆锥的底面半径为1,高为3,母线长为2.
C级能力拔高
一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2,求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
[解析](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).
因为圆台上底面面积为4πcm 2, 所以上底面半径为2cm .
又因为圆台下底面面积为25πcm 2, 所以下底面半径为5cm ,
所以高为AM =122-(5-2)2=315(cm).
(2)延长BA ,CD 相交于点S ,设截得此圆台的圆锥的母线长为l , 因为Rt △SAO 1∽Rt △SBO , 所以SA SB =AO 1
BO ,即l -12l =25,
解得l =20(cm),
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm .