振动理论 第二章 习题解答
第二章习题
2—1
一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？
题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变0010
0.520
F L cm cm k =
== 设重块将下落h m ，则：
22
12.[()]W h k h L L =+-
于是： 4h cm =
2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。 解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ
恢复力矩： 1
2
p p GI GI l l +
由动静法得
1
20p p GI
GI J l l θθ??++= ???
因此
2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。
()122
12
4
32
2p p GI l l Jl l d I f ωπωπ
+=
==
且
线长为l ，
两线相距为2a 。试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。
解：AB 杆绕重心摆动，则：
(
)2
22
2c o s 20
: 2
12330
=: 2J a Wa F T T
l l
J Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθ
?θθ
θθθωωπ===+=+===+=∴=
=
惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率
2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量
W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
A
B
(a)
(b)
解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度
3
3
()2348l mg mgl EI EI
=
=
3
148l mg
EI
k =
=
（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联
11348e EI k k k k l
=+=+
弹簧质量系统的固有频率112f π
=
已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN
代入数据得
111.14f Hz =
（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联
1
21
*e k k k k k =
+
所以
212f π=
代入数据得
2 4.82f Hz =
2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数ζ。 【解】 由（2-33）式得
15()51
6
2T A e e A ζωδ=== 两端取对数，得
1ln 25()T ζω==
2222ln 2ln 21011000.0221
ζπζπζ=?=-?=
2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动
频率。
解：系统运动时的受力如上所示
由动静法原理可得：
0002222=??+??+??=???+???+??=∑x l
b k x l a
c x
m b x l
b
k a x l a c l x m A
令22l ca C e = ， 22
l
kb K e =
则mw
C e 2=ξ ，m k l b W m K W e ?=?=2
振动频率：
2
42222
222
421211c a b kml ml
m k l b wml a c W W d -=?????? ???-=-=ξ
2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d cm l cm ==剪切弹性模量
628*10/G N cm =。圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·cm ·2s ,并在5s i n 2M t ππ=(k N ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。
2-11
解：惯性力矩 J θ??
恢复力矩 2
p GI l
微分方程 2
5s i n 2p GI J t l
θππ??
+=
所以，振幅 252(2)
p B GI J l
ππ=
-
已知2,40d cm l cm == ，6
2
8*10/G N cm =，10J kN =·cm ·2
s , 代入数据得 0.0672B r a d
= 2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2
）考虑阻力时，质量块
的位移和放大因子。 解： 系统运动方程为： t F kx x c x
m 00sin ω=++
系统的稳态响应：
2
2200
2)2()1()sin()(ζλλ?ω+--=
t k
F t x
其中：
9
.1196
8
.910201920=??==
ωωλ
4002c
m c =
=
ωζ
)
12arctan(2λζλ
?-=
忽略阻力时，即，,0=c 则 00==?ζ，
放大因子：
383
.0211
2
2
2=+-=
）
（）（ζλλβ
则系统的响应为：
t t k F t x 19sin 306.0sin )(00
2=?=
ωβ
（2）考虑阻力时，则：cm s N c /56.2?= 1
64.0-=rad ζ
放大因子：
28
.0)
2()1(12
2
2=+-=
ζλλβ
75.0-=?
则系统的响应为：
)75.019sin(224.0)sin()(00
2-=-?=
t t k F t x ?ωβ
2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为1
2s -，弹簧刚度为30/k N cm =，黏性阻
尼系数./c N s cm =。求在外力20cos3()F t N =作用下的振幅和相位角。 解答：由题可知：
032ωλω=
= ；015*3
0.5222*30*1.5
c c m k ωζωλ==== 由于 020F N =
则
00.342F B cm k =
=
'2
2arctan(
)129481ζλ
?λ
==- 2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t =，0x ='
0x =0和质量块上受有
F =0sin F t ω时的响应。
解：阻尼较小时，即1ξ<，系统响应为
0(cos sin )sin()t
d d x e
C t
D t B t ξωωωω?-=++- '00(cos sin )(sin cos )cos()
t t d d d d x e C t D t e C t D t B t ξωξωξωωωωωωω?--=-++-++-
其中，2
2arc tan
1B ξλ
?λ=
=- 代入初始条件0x ='
0x =0，解得 00
sin ,(sin cos )B
C B
D ?ξω?ω?ω==
-
因此，系统响应为
001
[sin cos (sin cos )sin ]sin()}
t d d d
x e t t t ξω?ωξω?ω?ωω?ω-=
+
-+-2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg ， 弹簧的总刚度k=700N/cm 。电动机轴上有一偏心质量为1kg ，偏心距离e=10cm ，电机转 速n=2000r/min ，求平台的振幅。 解：由公式02n ωπ=得
02n ωπ==
22000200//603
rad s rad s ππ
?=
该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：
2
00sin Mx cx kx me t ωω++=
式中，100,1,10,0M kg m kg e cm c ====
圆频率/s ω=
== （）
频率比079.161ωλω=
==>> 设稳态响应0sin()x B t ω?=-则，
由公式2
B =（0ζ=）
0.102B cm =
2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。
t
a x s 0sin ω=
题2-17图
解：系统运动微分方程为：
t
ka kx x c x m 0.
..
sin ω=++
方程的解可表示为：)()()(21t x t x t x +=
其中)(2t x 为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：
)
sin()(02?ω-=t B t x
将)(2t x 及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：
2
02
20)()(ωωc m k ka
B +-=
令 λωω=/0 ，则2
2
0λω=k
m ，λζω20=k c ，从而得
222)2()1(ζλλ+-=a
B
于是得系统的稳态响应为：
22202)2()1()sin()(ζλλ?ω+--=
t a t x
相应地求得相位角：
???
??-=2
12arctan λ
ζλ
?
2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。
解：
)
sin()(t w a x x x k x c x
m o s s =---=
得t w ka kx x c x m o sin =++
∑=;0O
M
l m l m 2'?=；θk x ='；
则 方程转化为 t w ka kx x c x m 0sin 24=++
m k w c =
，c m w w 2
1
= 2
22)
2()1(2'2λξλ+-==a
B B
2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。
1
解：先将()F t 由图可知，激励的均值
02
a = ()0034430000442cos 222cos cos cos 23sin sin 22T
j T T
T
T T a F t j tdt T
j tdt j tdt j tdt T T T j j j ωωωωπππ
==-+??=- ?
?
????? ()0034430000442cos 222sin sin sin 23cos cos 220
T
j T T
T
T T b F t j tdt T
j tdt j tdt j tdt T T T j j j ωωωωπππ
=
=-+??=-- ?
?
?=????
()01
000000cos 4
4
4
cos cos3cos51.27cos 1.27cos3 1.27cos5j j F t a j t
t t t t t t ωωωωπ
π
π
ωωω∞
=∴==
-
+
+=-++
∑
00
21T
π
ωωωω=
=∴=
∴系统的响应为
()
021
000222
100cos 1cos cos3cos51.27 1.27 1.27lim
113150.160.05
cos3cos5j j j a j t x k t t t
k k k t t k k λωλωωωλωω∞
=→=-=
-
++
---=-∞+-+
∑
2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的
响应。
解：周期T=
2πω0
2π
ω
F （t ）=000000000000020,223(),222232(),2F t t F t t F t t ωππωωππππωωωωππππ
ωωω???
-----------∈??????
????
--------∈??????
????--------∈??
????
由图知：
()(
)()12
0000
30004430000000440002202
2cos 0
2sin 22222sin ()sin ()sin 02,4,6811,3,5j t
j t
j T T
T T T a a F t jw tdt T b f t jw tdt
T w w w F t jw tdt F t jw tdt F t jw tdt T w w j F j j ππ
ππππ-====??=+-+-+????--------------=???---------=??
?????因为是无阻尼系统002
2201,2,31,2,3
1
(1)
sin sin 2(1)(1())
j j j j j jw t jw t jw k k
j w
ωξλωλπ∞
∞
==--?--∑∑
0j 0
2
，所以=0 =j b 8F 系统响应：x== 2—23.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按ｘ运动的响应
解：为支承运动，()y a τ=，用杜哈美积分 2'()
01
(2)s i n (
)t t d d
x y y e t dt ξωτ
ωξωωτω--=
?+- 系统无阻尼，故0ξ=，d ωω= 201
s i n ()t x a t d t
ωτ
ω
=
?- 解得 (1cos )x a t ω=-
x
4、她们宁可做一时的女王，不愿一世的平庸。
5、男人插足叫牛逼，女人插足叫小三。
6、你要成佛成仙，我跟你去，你要下十八层地狱，我也跟你去。你要投胎，我不答应！
7、忘川之畔，与君长相憩，烂泥之中，与君发相缠。寸心无可表，唯有魂一缕。燃起灵犀一炉，枯骨生出曼陀罗。
8、如果还有机会的话，我一定会让你回到我的身边，我不想让你和别人结婚。
9、每个人心里都有脆弱的一面，如果放大这种脆弱的话，没人想活。
10、我做了一个很伟大的决定，看你这么可怜，又没有朋友，我们做朋友吧！
11、我不该只是等待，我应该去寻找。
12、哪怕再花上七十年，七百年，我想我肯定会找到他！
13、恶鬼：你敢打我！夏冬青：你都要吃我了，我还不能打你啊！
14、人活着就会失去，你失去的不会再来，你争取的永远都会失去！
15、阿茶：我可以让你抵抗时间的侵袭。弹琴盲人：那我是不是也就失去了时间？
16、孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。
17、冥王阿茶：想早点见到我吗？冬青：不用了吧，顺其自然。
18、我妈把我生得太仓促了，我又控制不了。
19、神，生于人心，死于人性。请垂怜于我吧，让我再次眷顾，深爱的你们。
20、人天生心欲做恶，意志薄弱，神便说，人须为自己的罪负责，因为他被赋予了自由的意志，而真心悔罪者，神便从他的身上把罪除去。
21、我们从虚空中来，每个人都抱着善与恶，有人升入天堂，有人堕入地狱，在无边的业火中，我想起你，想起从前，我们曾经离得那么近。
22、你们天人总是一厢情愿，总以为世人应该微笑着，那不是很残酷，没有人愿意。
23、你有没有过这样的东西，沾染过你的体温，聆听过你的心事，它们得到爱，回报爱。你有没有丢弃过这样的东西，它们在黑暗的角落，想念着你。即使粉身碎骨，即使已过经年，终有一天，思念，会把它们带到你的身边。
24、很久很久以前，有一种生物，学会了用两足站立，尝试着迈开双腿。自此，他们就踏上了旅途，那是被时间驱赶着，永无止境的旅途……
25、我借着爱的轻翼，飞过园墙，砖石的墙垣，不能把爱情阻隔，甚至，死亡。
26、你这双眼睛，我给你的。
27、他的命是我的，你想要，不给你。
28、诞生于想象之中，流传于口舌之上，欲望，永远存在，生生不息。
29、我，还会回来的。
30、人活着就会失去。你失去的不会再来，你争取的永远都会失去。
31、死亡与夜色为友，揭开了黄泉的一角，寄予这生命，时机一到，他便降临到你身边。
32、就为了这么一点点的美丽，她们可以放弃友情，亲情，爱情…这就是，所谓的TM的人性#
世界脏到羞耻，谁有资格说难过。
创伤，也是一种成熟的象征。
你知道被迷惑，说明你尚且清醒，当你不知道迷惑时，才是最可怜的。狂妄的人有救，自卑的人没法救。
伤害别人并不能掩盖自己的缺点，不过是自欺欺人罢了。
内心各种小心算计，心中不坦白，表达颠三倒四，五官又怎么端正。
多讲点笑话，以幽默的态度处事，这样子日子会好过一点。
活在别人的赞扬与掌声中，终究会成为一个敏感脆弱的人。
沉默是毁谤最好的答覆。
对人恭敬，
无私奉献的爱心，让你拥有一切。
仇恨的心无法被治愈，只有宽容才能化解仇恨，饶过别人就是饶过自己。接受眼前的现实，你才能超越现实。