标数法和枚举法
第九讲 有序枚举与其它组合方法
主要方法：
1.标数法
标数法是用来解决最短路线问题的方法。
如：从A 点出发去B 点，问最短的路线有多少条？
A
B 116
方法：1.先确定大方向，即向右和向下
2.标出各条线段的小箭头
3.一行一行的标数，得出到达每个点的路线数
2.树形图
树形图能形象直观，条理分明，简炼易懂的表示出所有可能的情形。特别适用于找出所有的情形或结果的题目。
如：暑假里，一个学生在A 、B 、C 三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市，问他有几种不同的游览方案？
[分析]根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三
天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。
[方法]共有6种不同的游览方案，可以用下面的树形图表示：
3.分类枚举
分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。
例题：把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？
【分析】：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：
【方法】
1、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；
②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。
2、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；
②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。
3、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。
所以共有放法：4+3+1=8（只）。
常用算法枚举法
实验五常用算法：枚举法递推法迭代法 一、实验目的 掌握枚举法，递推法、迭代法这3种常用算法。 二、实验内容 1.编程求和： [提示] 令各项为b0,b1,b2,…bn 则b0 = a b1 = b0×10+a b2 = b1×10+a… 即每一项由前一项乘以10加a递推得到，然后求和。 2.编程求出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其 各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153＝ 13+53+33。要求采用枚举法。 3. 范例：设函数f(x)定义在区间[a,b]上，f(x)连续且满足f(a) ×f(b)<0,求f(x)在[a,b]上的根。采用割线法，迭代公式为： x i+1= x i+( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 其代换规律为：首先用两端点函数值的绝对值较大者的对应点作为x i-1，较小者 作为x i，即如果|f(a)|<|f(b)|，则将a赋给x i-1，将b赋给x i。用迭代公式得出x i+1， f(x i+1)。 误差定义为： ⊿x =( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 当⊿x<ε或f(x i+1)==0则结束运算。否则用(x i,f(x i))代替(x i-1,f(x i-1))，(x i+1,f(x i+1))代替(x i,f(x i))，继续迭代。 求解方程：x*lg(x)=1的实根的近似值，误差不超过0.001。 [提示]令 f(x)=xlgx-1,则f(2)≈-0.398<0,而f(3)≈0.431>0，由此可知根 在2与3之间。 #include 谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法 一．问题 上海市普通高中在信息科技学科中开展《算法与程序设计》教学，教材中有一章名为“算法实例”的内容，其中有一节介绍“枚举算法”。教材中关于枚举算法的描述：有一类问题可以采用一种盲目的搜索方法，在搜索结果的过程中，把各种可能的情况都考虑到，并对所得的结果逐一进行判断，过滤掉那些不合要求的，保留那些符合要求的。这种方法叫做枚举算法（enumerative algorithm）。 枚举法就是按问题本身的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，我们采纳这个解，否则抛弃它。在列举的过程中，既不能遗漏也不应重复。 生活和工作中，人们经常会不经意间运用“枚举算法”的基本原理，进行问题的解决。比如，让你用一串钥匙，去开一把锁，但是不知道具体是用哪一把钥匙，你就会一把一把地挨个地逐个尝试，最终打开锁为止。又如，要对1000个零件，进行合格检验，等等。 二．用枚举算法的思想编写程序的思路与步骤 枚举算法，归纳为八个字：一一列举，逐个检验。在实际使用中，一一列举；采用循环来实现，逐个检验：采用选择来实现。 下面，通过一个问题的解决来说明这一类问题的解决过程的方法与步骤； 例1：在1—2013这些自然数中，找出所有是37倍数的自然数。 这个问题就可以采用枚举算法来解决： 1)．一一列举；采用循环来实现； 循环需要确定范围：本循环控制变量假设用i，起始值是1，终止值是2013。 2)．逐个检验：采用选择来实现； 选择需要列出判断的关系表达式：i Mod 37 = 0 这样，就可以写出整个求解的VB代码： Dim i As Integer For i = 1 To 2013 If i Mod 37 = 0 Then Print i End If Next i 说白了，用枚举算法解决问题，其实是利用计算机的高速度这一个优势，就好比上题完全可以使用一张纸和一支笔，采用人工的方法完成问题的解，从1开始，一一试除以37，这样计算2013次，也可以找到问题的答案。 在教学中，问题的求解往往是针对数学上的问题，下面举一些相关的例子，来巩固与提高采用枚举算法进行程序设计的技能。 三．枚举算法举例： 1：一张单据上有一个5位数的编号，万位数是1，千位数是4，百位数是7，个位数、十位数已经模糊不清。该5位数是57或67的倍数，输出所有满足这些条件的5位数的个数。（147□□） 1)．一一列举；采用循环来实现； 1.用50元钱兑换面值为1元、2元、5元的纸币共25张。每种纸币不少于1张，求出有多少种兑换方案？每种兑换方案中1元、2元、5元的纸币各有多少张？ 假设面值为1元、2元、5元的纸币分别是x、y、z张，兑换方案有k种，从题意可得出x、y、z满足的表达式为 x+y+z=25 x+2y+5z=50 解决此问题的Visual Basic程序如下，在(1)和(2)划线处，填入合适的语句或表达式，把程序补充完整。 Private Sub Command1_Click() Dim k As Integer Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer k = 0 List1.Clear For y = 1 To 23 For z = 1 To 9 x = 25 - y - z If (1) Then List1.AddItem "1元" + Str(x) + "张 2元" + Str(y) + "张 5元" + Str(z) + "张" ____(2)___________ End If Next z Next y Label1.Caption = "共有" + Str(k) + "种兑换方案" End Sub 程序中划线处(1)应填入_____________ 程序中划线处(2)应填入_____________ 2.以下Visual Basic程序的功能是：计算表达式1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210的值，并在文本框Text1中输出结果。为了实现这一功能，程序中划线处的语句应更正为_____________。 Private Sub Command1_Click() Dim i As Integer,s As Long s = 0 k = 2 For i= 1 To 10 s = s + k k = k * 2 Next i Text1.Text=Str(s) End Sub 枚举算法（2课时） 一、教学目标 1．知识目标：（1）通过具体实例的求解，让学生了解什么是枚举算法； （2）让学生亲身体验并理解枚举算法解决问题的基本思想； （3）用流程图形式来表示枚举算法解决问题的思路； （4）拓展：通过学习，解决日常实际问题； 2．能力目标：（1）“摆事实，讲道理”，通过具体例子分析，让学生理解如何用3步法来解决实际问题（提出问题——分析问题——解决问题）； （2）通过自主学习过程体验，合作探究画流程图的学习方式，提高学生的信息素养。 3．情感目标：（1）通过情景创设，激发学生学习兴趣； （2）通过3步法，让学生更能结合其他学科的学习方法，激发学生善 于思考问题，解决问题的能力； （3）通过小组合作，增进学生间的学习交流，培养合作能力，激发学生学习能动性； 二、重点与难点 1．重点：通过对涂抹数据的猜想，让学生理解枚举算法的思想，初步培养学生解决实际问题的能力； 2．难点：理解多种控制结构的嵌套； 枚举算法思想的理解与实现（流程图转化为代码并上机实践） 三、教学模式 1．教师教法：情景创设法、演示法、讨论法 2．学生学法：自主学习、合作探究学习 四、课前准备 1．上课环境：多媒体电脑房； 2．上课工具：幻灯片（枚举算法.ppt课件）；辅助教学软件（flash动画，过程体验）； 一件校服 五、教学过程 （一）、创设情景，引入问题（引导学生概括枚举算法的概念）（引入主题） 幻灯片展示：这是我的校服吗？ 教师：各位同学，在我们上课之前，先请7位同学表演一段试衣情景！（要求：某一列的学生起立，由第1位同学开始试穿上衣，然后脱掉后传给第2位， 第2位试穿后传给第3位，依次……） 试衣结束后教师提出问题：同学们，请问，看了此情景后，你们觉得这件校服是谁的呢？ 学生一答：是甲的，也可能是乙的。 学生二答：谁也不是，我觉得。 教师问：那么依照学生二回答，难道就找不到这件校服的主人了吗？ 学生二补充：老师，你可以给其他同学再试试啊，也许有适合的哦。 学生们：对对对…… 教师小结：很好，那么我们从刚才的小情景中可以看出，如果要找到一个问题的真正解，必须要把所有可能的解都先列出来，然后再一一进行检验， 看看是否有符合条件的。那么我们把这样的一种算法称为“枚举算法”（二）、学习新课（认知主题） 幻灯片展示：枚举算法：按问题本题的性质，一一列举出该问题所有可能的解， 并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若 是，就采纳这个解，否则就抛弃它。 教师问：请问各位同学，在看了枚举算法这个概念后，你们觉得这个算法的最关键的要求是什么？ 学生三答：一一列举，检验 教师问：那么在列举过程中，我在刚才范了一个怎么样的错误呢？ 学生们：你没列举出所有的解，只试了一部分同学啊…… 小学奥数枚举法题及答案【三篇】 导读：本文小学奥数枚举法题及答案【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【篇一】枚举法问题 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？ 答案与解析： 根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。【篇二】 在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗? 答案与解析： 根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。 在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。 他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。 因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。【篇三】 1.6 枚举算法 《枚举算法》一课的重点是让学生理解枚举算法思想，并用其解决生活中的问题。在前面的教学中，学生已理解了算法的特点，学习了算法的三种表示方式，对于顺序、选择、循环三种基本控制结构已经有了知识基础，也能阅读一些简单的程序段。对于学生来说，枚举算法思想比较容易掌握，难点在于如何将枚举算法思想转变成具体的流程图，又如何转变成具体的VB程序。教材中以“单据涂抹”和“包装问题”两个实例引入并展开利用枚举算法解决问题的一般过程。通过上一学年的教学实践，感觉学生对这两个实例的学习兴趣并不高，教学效果也不很理想。本课设计打破教材编写的顺序，将教材中第二章的算法与第五章的程序结合起来组织教学，通过理论结合实践，让学生更容易理解各种算法的基本设计思想，体验编写程序的成功感受。 一、教学目标 知识与技能：理解枚举算法的基本思想；学会用流程图形式表示枚举算法；理解由流程图翻译成的VB代码，能上机成功调试。 过程与方法：通过具体案例分析，理解如何用三步法来解决实际问题；学会使用枚举算法解决简单问题。 情感、态度与价值观：感受枚举算法在日常生活中的广泛应用，培养对算法的兴趣；通过小组合作增进学习交流，培养合作能力。 二、教学重点与难点 重点：让学生理解枚举算法；培养学生运用三步法来解决实际问题的能力。 难点：让学生理解多种控制结构的嵌套；让学生能够将枚举算法思想转化为流程图，再将流程图转化为代码并上机实践。 三、设计思想 算法课一般与枯燥、晦涩、难懂等字眼联系在一起，难以激发学生的兴趣。如何打破这种局面，让学生自主学习算法呢？ 本课的设计除了遵循算法“自顶而下，逐步求精”的思想之外，新意之处在于，根据电影情节别出心裁地创设了一个“男女主角辨认模糊电话号码”的情境，在故事中不露痕迹地渗透了教学内容。让学生融入电影情节，体验角色的情感，不知不觉地学会枚举算法，完成教学任务。 四、课前准备 向左走向右走》电影片段、枚举算法的VB演示程序、多媒体网络机房 五、教学过程 1.创设情境认知主题 课前播放电影片段。 师：这是哪部电影中的画面？ 枚举算法题目及其代码 的计数算法及其代码的标题由李利添 1，权重[问题描述] 有1g，2g，3g，5g，10g，XXXX年后，欧拉证明了欧几里得定理的逆命题:每一个偶数完全数都是欧几里得形式例如，6 = 2(2–1)*(2 2–1)，28 = 2(3–1)*(2 3–1) 是一个罕见的完全数。到1975年，只找到了24个满分，前四个是6，28，496，8128对应的p是2，3，5，7， ，给你一些整数p(不一定是质数)请判断2(p-1)*(2p-1)是否是一个完全数最高满分不超过2 33分[输入格式] 输入文件只有一行，即p[输出格式] 输出\或\注意情况)。[输入样本]编号2 [输出样本]编号2 [参考程序] 常量最大值= 131071； var pr:array[1..最大值]的布尔值；p:字节； 程序埃拉托斯；var i，j:word；begin fillchar(pr，sizeof(pr)，true)；公关[1]:=假； 表示i:=2至最大div 2，如果pr[i]则 表示j:=2至最大div i，则pr[I * j]:= false；结束；{埃拉托} begin{main}埃拉托； 赋值(输入，“number . in”)；重置(输入)； 2 赋值(输出，“number . out”)；重写(输出)；read ln(p)； if(pr[p)和(pr[trunc(exp(p*ln(2)))-1])则writeln(“是”)否则writeln(“否”)； 关闭(输入)；关闭(输出)；结束。 3，苹果采摘陶陶[问题描述] 说苹果去年被陶陶采摘后非常生气，他们用最先进的克隆技术克隆了许多陶陶的复制品，然后挂在树上采摘。 的规则是，一个苹果只能摘一个陶陶，而且只有最高的陶陶低于它能摘的高度(即小于关系)，如果它不能摘，它只能沮丧地走开。给出苹果的数量、每个苹果能达到的高度和每个陶陶的高度，并问摘下苹果后还剩多少陶陶。？[输入格式] 的第一行有两个数字:苹果的数量n和陶陶的数量m (n，m0然后开始[最佳]:= false；12月(tot)；结束；结束；结束；{ work } 程序打印；开始 分配(输出，“apple . out”)；重写(输出)；write ln(tot)；关闭(输出)；结束；{打印}开始{主}初始化；工作；打印；结束。 4 4，顶级卡特彼勒编号(编号。[问题描述] 顶猫非常喜欢研究数字，尤其是质数一天，top cat发现有些数字可 常用算法——穷举搜索法 二、穷举搜索法 穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 【问题】将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。 程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的证书，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。细节见下面的程序。 【程序1】 # include 3.1解析算法及程序实现 1.计算长方体体积的算法描述如下： ①输入长方体的长(z)、宽(w)、高(h) ②计算长方形体积 v = z * w * h ③输出结果 ④结束 上述算法属于（ ） A. 枚举算法 B. 排序算法 C. 解析算法 D. 递归算法 2.下列问题适合用解析算法求解的是（ ） A.将十三张纸牌按从小到大进行排列 B.统计100内偶数的各位数字之和恰好为10的个数 C.计算一辆车行驶100公里的油耗 D.寻找本年级身高最高的同学 3.有如下问题： ①已知圆锥的半径r 和高度h ，使用公式V= 3 1πh r 2求出此圆锥体的体积。 ②已知班级每位同学的其中成绩总分s ，按照s 的值从大到小进行成绩排名。 ③已知圆的周长s ，利用公式r=s/(2*3.14)求出圆的半径。 ④已知“水仙花数”的定义，找出1～10000范围内所有的水仙花数。 用计算机解决上述问题时，适合用解析算法的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 4.出租车计价规则：3公里以内，10元；超出3公里每公里增加2元。假定公里数为x,金额为y.解决此问题的公式和流程图如下图所示： 流程图加框处部分的算法属于：（ ） A.解析算法 B.排序算法 C.枚举算法 D.递归算法 5.现要求编写VB程序实现如下功能：分别 在文本框Text1、Text2、和Text3中输入 三条线段的长度，单击“判断”按钮Command1 后，在标签Label1中显示判断结果。程序 运行界面如图： 按此要求编写的程序如下： Private Sub Command1_Click() Dim a As Single ,b As Single Dim c As Single ,st As String a=Val(Text1.Text) b=Val(Text2.Text) c=Val(Text3.Text) If Not (a + b > c And b + c > a And c + a > b) Then st = “这三条线不能构成一个三角形” ElseIf a * a + b * b = c * c Or a * a + c * c = b * b Or b * b + c * c = a * a Then st = “可以构成一个直角三角形” ElseIf ① Then st = “可以构成一个等边三角形” Else st = “可以构成一个不等边的斜三角形” End If Label1.Caption = ② End Sub 划线处应填写正确的语句是： （1）划线处① （2）划线处② 6.下列VB程序段实现计算s=1+1/2+2/3+3/4+…+99/100的值。请将下面划线处代码补充完整。 Private Sub Command1_Click() Dim i As Integer Dim s As Double s=1 For i=2 To 100 s= Next i Text1.Text=Str(s) End Sub 程序划线处应填入的内容是 【问题】填字游戏 问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。 为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。 回溯法找一个解的算法： { int m=0,ok=1; int n=8; do{ if (ok) 扩展; else 调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; } while ((!ok||m!=n)&&(m!=0)) if (m!=0) 输出解; else 输出无解报告； } 如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下： 回溯法找全部解的算法： { int m=0,ok=1; int n=8; do{ if (ok) { if (m==n) { 输出解； 调整； } else 扩展; } else 调整; ok=检查前m个整数填放的合理性; } while (m!=0); } 五年级思维训练7 枚举法 1. 今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2000年～2999年之间共有个“对称年”。 2. 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。 3. 下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428）个。 428 +396 824 4. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种不同选法。 5. 一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛。 6. 小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只存最后的9张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请问邮局的职员有多少种不同的撕邮票的办法？ 7. 给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg、11kg、17kg，将它们组合凑成100kg 有种不同的方案（每种砝码至少有一块）。 8. 将下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，使两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？（将A看成1） 9. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、 常用算法设计方法 要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。算法数据结构是程序的两个重要方面。 算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。 通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。 算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。 一、迭代法 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： （1）选一个方程的近似根，赋给变量x0； （2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0； （3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为： 【算法】迭代法求方程的根 { x0=初始近似根； do { x1=x0； x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/ } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)； 第1页共1页 专题2解析和枚举算法及VB程序实现（专项练习）（参考答案）1. 【答案】（1）500（2）①False②Label1.Caption=Str(c) ③开始 【解析】（1）计时器timer的interval属性表示时钟频率，其单位为毫秒。题干中的频率为0.5秒，故答案为500。 （2）①根据题意可知，按钮标题变为“开始”的同时，计时器停止工作，故答案为false。②根据题意可知，每次产生的抽奖号码都要显示在label1中，故答案为Label1.Caption=Str(c)。 （3）初始时为“开始”，单击一次后变为“停止”，单击两次后变为“开始”，以此类推可知，单击奇数次后为停止，单击偶数次后为开始。故答案为开始。 2. 【答案】（1）Com1（2）①n = Val(Text1.Text) ②Str(2*(n-i)+1) ③Text2.Text = s 【解析】（1）代码中第一行的“Com1_Click”是事件驱动过程名，由对象名和事件名组成，故答案为Com1。（2）①变量n为正整数，类型为整型，其值通过文本框text1输入，故答案为n = Val(Text1.Text)。②代码中for循环的功能是逐个推理数字串中的数据，数字串前半段为依次递增2，后半段为依次递减2，else解决的就是后半段数据的计算，s为字符串型，故答案为Str(2*(n-i)+1)。③最终的结果存储在变量s中，需要通过文本框text2输出，故答案为Text2.Text = s。 3. 【答案】（1）Caption（2）①n = Val(Text1.Text) ②y * 10 + x Mod10③Str(sum) 【解析】（1）窗体类对象的标题显示内容由Caption属性来决定，故填Caption。 （2）①变量n表示回文数，类型为长整型，其值通过text1来输入，故答案为n = Val(Text1.Text)。②返回个位数，将原有的y扩大10倍。故y * 10 + x Mod10。③变量sum表示某区间内回文数的总个数，其值为长整型，通过标签Label2输出时，需要现转换为字符类型，故答案为Str（sum） 4. 【答案】①Step7 ②c = s Mod10③a=1or b=1or c=1 【解析】①循环变量s的初值为105，而105是三位数中最小的且能被7整除的数，那么下一个能被7整除的数字必然105+7，为了使枚举算法更加高效，步长值应为7，故答案为step7。②变量c表示一个三位数s的个位，最直接且最常用的表达式为c = s Mod10，本题答案也可以是c= s-a*100-b*10。③题干中要求“至少有一位数为1”，该数为一个三位数，a表示百位，b表示十位，c表示个位，故答案为a=1or b=1or c=1。 《实用的枚举算法》教案 上课时间：班级：技术1班授课教师：徐飞翔 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）理解枚举算法的概念。 （2）通过枚举算法，理解循环中嵌套分支的结构特点，执行过程。 （3）在理解流程图的基础上，初步实现VB代码的编写，并上机用VB语言实现程序的功能。 2、过程与方法： （1）培养同学自主探索研究、解决问题的能力。 （2）能通过实际问题的分析、求解过程，尝试归纳出利用枚举算法解决问题的思路和方法。 （3）培养同学用计算机程序解决问题的思维能力。 3、情感态度与价值观： （1）通过解决任务，培养同学勇于尝试，不怕困难的精神。 （2）积极参与、主动探究；合作学习，体验成功。 二、教学设计思想： 《学科教学指导意见》中对枚举算法的教学目标是使学生能了解枚举算法的概念，并用枚举算法来解决实际问题。根据这两次信息技术选考考试的难度，此课例不要求同学独立地画出流程图，而仅要求学生在理解枚举算法设计思想的基础上，读懂循环中嵌套分支的流程图，并完成主程序关键处的选择或填空（其中填空比选择对学生思维的要求又高一些）。 三、学情分析： 通过前几个章节的学习与实践，VB中几个相关的函数已经讲解并上机实践过了，对于3种基本控制结构大部分同学已理解，对于用流程图描述算法也非常熟悉，VB上机操作已有一定的实践，为本节内容的学习提供了良好的基础。 对于简单的程序段也有一定的认知意识，那么在本课中学生会觉得设计思想比较容易掌握。困难之处在于如何将题目的设计思想转化为流程图，根据流程图写出相应的代码，并通过自己编制程序上机实践来体验。那么在课堂分析过程中学生将从听课--理解--体验--探究，这些过程中全面掌握枚举算法的设计思想，并能用此算法来解决日常生活问题及与其他学科有所关联的一些简单问题。 四、教学重点： 理解枚举算法的概念和基本特征。 五、教学难点： a)熟练掌握循环结构、分支结构的嵌套使用。 b)枚举算法思想的理解与实现（流程图转化为VB代码并上机实践）。 六、教学准备： 计算机机房、教学课件（枚举算法.ppt） 七、教学过程： （一）新课导入 小明不小心把寝室门钥匙丢了，他去寝室管理员那里去找钥匙开门。寝室管理员那里总共有100把钥匙，其中配套的钥匙有若干把，但钥匙上只有1到100的编号没有寝室编号，请问小明如何才能找出能开自己寝室门的所有钥匙？ 设计算法画出流程图。 （二）学习新课 1.枚举算法：按问题本题的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，就采纳这个解，否则就抛弃它。 基础算法（一）枚举（穷举）法 无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。 在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。 一、枚举法的基本思想: 从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。 这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。 二、枚举法解题思路： 1、对命题建立正确的数学模型； 2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）； 3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。 三、枚举法的特点： 算法简单，但运算量大。 对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。 1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。 2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到 20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？） 3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公 鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？） 4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC） 5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29 厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？ 6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。 打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。 要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。 参考程序： 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度） 解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 （2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码： 2×90=180（个） 算 法 实 例 一、解析法 1.解析法概念：根据题目中给出的已知条件，找出已知条件与要求的结果之间的关系的数学表达式，并通过计算表达式来实现问题求解的方法。 2.解析法算法实例 （1）输入直角坐标系中两点坐标，计算两点间距离，并输出结果。 （2）输入圆半径，计算圆面积和周长，并输出结果。 （3）输入人民币金额，计算兑换后的美元金额并输出。（假定汇率为6.83） 二、枚举法 1．枚举算法的概念 列出各种可能的情况并逐一进行检验，根据检验的结果执行相应的操作。 “枚”就是一个一个；“举”就是列举。核心：不遗漏不重复。枚举算法充分利用了计算机“运行速度快、不知疲倦”的优势。 2．枚举算法的结构特点 ● 列举——由循环结构实现 ● 检验——由分支结构实现 因此，枚举算法的一般结构是：循环结构中嵌套分支结构。 3．枚举算法的设计步骤 ● 确定列举的范围——不能随意扩大和缩小 范围，否则会造成重复或漏解。 ● 明确检验的条件——根据检验的对象来设定条件，以及检验后所执行的相关操作。 ● 确定循环控制的方式和列举的方式——借助循环变量的变化来列举，或通过输入。 4.枚举算法实例 通过输入的数据作为检验的对象。 （1）输入10个数，分别统计正数和负数的个数 （2）输入5个成绩，统计其中100分的人数 这两个问题也采用了枚举算法的思想，从结构上看，都是循环结构嵌套分支结构。所检验的对象是通过键盘输入的数据。 通过循环变量的变化来作为检验的对象。 以下6 个实例是不需要输入语句的，因为检验的对象正好包含循环变量的变化。 （1）打印出1-1000以内能同时被7和11整除的自然数。 （变量 n 表示这个自然数，列举范围从1—1000） （2）找水仙花数：一个三位数，各个位置上的数字的立方和等于该数本身 （变量 n 表示这个三位数，列举范围从100—999） 深圳大学实验报告 课程名称：面向对象程序语言设计 实验项目名称：常用算法之枚举法语言设计 学院：信息工程学院 指导教师：骆剑平报告人：蔡志烨 学号：2013800046 班级： 3 实验时间：2014.10.13 实验报告提交时间：2014.10. 27 教务部制 实验目的与要求： 实验目的：掌握枚举法这个常用算法 实验要求：根据本次实验内容，独自完成本次实验，写出所设计的程序源代码，并给出实验的结果。 实验任务： 编程求出所有的“水仙花数”。所谓“水仙花数”是指一个3位数，其各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153=1^3+5^3+3^3。要求采用枚举法。 实验流程图： 开始 a=100 a<1000? a==(a/100)*(a/100)*(a/100)+(a/10%10 )*(a/10%10)*(a/10%10)+(a%100%10) *(a%100%10)*(a%100%10)? 输出a a++ 结束 实验过程：实验结果： 程序源代码： /*************输出所有的水仙花数**************/ #include 《实用的枚举算法》教案 上课时间：2016.4.29 班级：技术1班授课教师：徐飞翔 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）理解枚举算法的概念。 （2）通过枚举算法，理解循环中嵌套分支的结构特点，执行过程。 （3）在理解流程图的基础上，初步实现VB代码的编写，并上机用VB语言实现程序的功能。 2、过程与方法： （1）培养同学自主探索研究、解决问题的能力。 （2）能通过实际问题的分析、求解过程，尝试归纳出利用枚举算法解决问题的思路和方法。 （3）培养同学用计算机程序解决问题的思维能力。 3、情感态度与价值观： （1）通过解决任务，培养同学勇于尝试，不怕困难的精神。 （2）积极参与、主动探究；合作学习，体验成功。 二、教学设计思想： 《学科教学指导意见》中对枚举算法的教学目标是使学生能了解枚举算法的概念，并用枚举算法来解决实际问题。根据这两次信息技术选考考试的难度，此课例不要求同学独立地画出流程图，而仅要求学生在理解枚举算法设计思想的基础上，读懂循环中嵌套分支的流程图，并完成主程序关键处的选择或填空（其中填空比选择对学生思维的要求又高一些）。 三、学情分析： 通过前几个章节的学习与实践，VB中几个相关的函数已经讲解并上机实践过了，对于3种基本控制结构大部分同学已理解，对于用流程图描述算法也非常熟悉，VB上机操作已有一定的实践，为本节内容的学习提供了良好的基础。 对于简单的程序段也有一定的认知意识，那么在本课中学生会觉得设计思想比较容易掌握。困难之处在于如何将题目的设计思想转化为流程图，根据流程图写出相应的代码，并通过自己编制程序上机实践来体验。那么在课堂分析过程中学生将从听课--理解--体验--探究，这些过程中全面掌握枚举算法的设计思想，并能用此算法来解决日常生活问题及与其他学科有所关联的一些简单问题。 四、教学重点： 理解枚举算法的概念和基本特征。 五、教学难点： a)熟练掌握循环结构、分支结构的嵌套使用。 b)枚举算法思想的理解与实现（流程图转化为VB代码并上机实践）。 六、教学准备： 计算机机房、教学课件（枚举算法.ppt） 七、教学过程： （一）新课导入 小明不小心把寝室门钥匙丢了，他去寝室管理员那里去找钥匙开门。寝室管理员那里总共有100把钥匙，其中配套的钥匙有若干把，但钥匙上只有1到100的编号没有寝室编号，请问小明如何才能找出能开自己寝室门的所有钥匙？ 设计算法画出流程图。 （二）学习新课 1.枚举算法：按问题本题的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，就采纳这个解，否则就抛弃它。 例题1：使用枚举算法解决问题，在列举问题可能解的过程中做到（） A.不能遗漏，但可以重复 B.不能遗漏，也不应该重复谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法
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