四川省成都市龙泉驿区校高二下学期入学考试数学(文)试题 Word版含答案
成都龙泉中学高2016-2017学年度高二（下）入学考试卷
数 学（文） 第Ⅰ卷 （选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意 1．已知i 是虚数单位，则复数21i
i
-等于（ ） A 1i -+
B 1i -
C 22i -+
D 1i +
2.已知集合},,4|{2
R x x x A ∈≤=},4|
{Z x x x B ∈≤=,则=?B A （ ）
A.)2,0(
B.]2,0[
C.}2,1,0{
D. }2,0{
3.“0m n >>”是方程2
2
1mx ny +=表示椭圆的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对于R 上可导函数()f x ，若满足()()20x f x '->，则必有( ) A. ()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +> C. ()()()()1304f f f f +>+ D. ()()()()1034f f f f +<+ 5．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是
( )
A ．5 049
B ．5 050
C ．5 051
D ．5 052
6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则
及格率与优秀人数分别是（ ）
A.60%，60
B.60%，80
C.80%，80
D.80%，60
7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的侧面积是（ ）
A ． cm 2
B ． cm 2
C ．8cm 2
D ．14cm 2
8.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1|| 41 B ．21 C ．4 π D ．π 9.在ABC ?中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC ?是( ) A. 等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D.等腰直角三角形 10．已知幂函数y=f （x ）的图象经过点，且f （a+1）＜f （10﹣2a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，5） B ．（﹣∞，3） C ．（3，+∞） D ．（3，5） 11.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下： 并经计算： 4.5452≈K 请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.D A ．5％ B ．0099.9 C ．0099 D ．0095 12．若圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心到直线x ﹣y+a=0的距离为 ，则a 的值为（ ） A ．﹣2或2 B ．或 C ．2或0 D ．﹣2或0 第Ⅱ卷 （非选择题90分） 二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分） 13.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． 14．已知函数，若关于x 的方程f （x ）﹣k=0有唯一一个实 数根，则实数k 的取值范围是 ． 15 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： 后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ． 16的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直 线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ??=，则椭圆的离心率为_____________ 三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中, 直线l 过点P （1, -5）, 且倾斜角为 3 π , 以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 半径为4的圆C 的圆心的极坐标为?? ? ? ?2,4π． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; （Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系． 18（12分）.在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40. （1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内. 19.（本题满分12分） 已知函数()cos cos 2f x x x x =-， x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若()2f A =，4 C π = ， 2c =，求ABC ?的面积ABC S ?的值. 20．（本小题满分12分） 如图，四棱锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点. （1）证明：PB//平面AEC; (2) 设AP=1，AD=3,三棱锥P-ABD 的体积V=4 3， 求A 到平面PBC 的距离. 21．（本题满分12分） 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5的直线被C 所截的弦长． 22.（本题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>> 的离心率为2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半 径的圆与直 线0x y -+=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线 )0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 成都龙泉中学高2016-2017学年度高二（下）入学考试卷 数 学（文）参考答案 1-5 ACABA 6-10 CCCBD 11-12 BC 13. 52 14.[0，1）∪（2，+∞） 17.【解析】：（1）由已知得, 直线l 的参数方程是 ??? ? ??? +-=+=t y t x 235211 （t 为参数） 圆心C 的直角坐标为（0, 4）.∴圆C 的直角坐标方程为x 2+（y-4） 2=16 由???==+θ ρρsin 2 22y y x 得圆C 的极坐标方程是ρ=8sin θ （2）∵圆心的直角坐标是（0, 4） , 直线l 的普通方程是3x-y-5-3=0 ∴圆心到直线l 的距离423 91 3|3540|>+=+---=d ∴直线l 和圆C 相离 18.解析 （1）∵各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15， 0.10，0.05 ∴第二小组的频率为：1.00(0.300.150.100.05)0.40-+++= ∴落在59.569.5的第二小组的小长方形的高= 频率组距 0.400.0410==，则补全的频率分布直方图如图所示 （2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人 ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40 ∴ 40 0.40x =，解得100x = 所以这两个班参赛的学生人数为100人 因为0.3 1003?=，0.410040?=，0.1510015?=，0.1010010?=， 0.051005?= 即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内 19.解（1 ）∵()cos cos 2f x x x x =-，x R ∈， ∴()2sin(2)6 f x x π =-， ……3分 由2222 6 2 k x k π π π ππ- ≤- ≤+ ，k Z ∈，解得6 3 k x k π π ππ- ≤≤+ ，k Z ∈. ∴函数()f x 的单调递增区间是[]63 k k π π ππ- +，，k Z ∈.……6分 （2）∵在ABC ?中，()2f A =，4 C π =，2c =， ∴2sin(2)26 A π - =，解得3 A k π π=+ ，k Z ∈. 又0A π<<，∴3 A π = . ……8分 依据正弦定理，有 sin sin 3 4 a c π π= ，解得a =……9分 ∴5 12 B A C ππ=--= ，……10分 ∴11 6sin 26 22 4ABC S ac B ?+= == ……12分 20. 【解析】： （1）设AC 的中点为G, 连接EG 。在三角形 PBD 中，中位线EG//PB,且EG 在平面AEC 上，所以PB//平面AEC. （2） --Δ2--BC,-.,11131,3322 BC,BC,AB PA A BC PAB,BC PB, 13,413 P ABD P ABD ABD P ABC A PBC PA ABCD PA PA P ABD x AB A PBC h V V S PA x x AB PA V V PA AB BC BC PB h PB h A PBC ⊥∴⊥== =?=??∴=⊥⊥?=∴⊥⊥=??=??= ∴=面是三棱锥的高设到面的距离为面由勾股定理解得所以，到面的距离为 21 .解(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16 b 2＝1，∴b ＝4， 又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2 ＝925，∴1－16a 2＝9 25，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 2 25＋y 2 16＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4 5(x －3)， 设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝4 5(x －3)代入椭 圆方程得x 2 25＋ x －3 2 25 ＝1，即x 2 －3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3， ,821-=x x 所以5 41)()(221221= -+-=y y x x AB 22.解析（1）由题意知：c e a = ∴2222 22 c a b e a a -===34，∴224a b =. 又∵圆2 2 2 x y b += 与直线0x y -+=相切， ∴1b =，∴24a =， 故所求椭圆C 的方程为2 2 14 y x += （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <， 将y kx =代入椭圆的方程2 2 14 y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故21x x =-= ．① 又点E F ，到直线AB 的距离分别为1h = = 2h = = ． AB == 所以四边形AEBF 的面积为 121()2S AB h h = +12= = = = = ≤ 当2 4(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号． 所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2.