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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》难题汇编附答案

数学高考《平面向量》复习资料

一、选择题

1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=?，点C

在AB 边上的射影为D ，则CD =（） A ．4 B ．2

C ．2

D ．2

【答案】A 【解析】【分析】

画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ??????

- ? ? ???????，12y y >，由90ACB ∠=?可求2

216y y -=，结合22

1244

y y CD =-即可求解【详解】

如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ??????- ? ? ???????，12y y >，由90ACB ∠=?可得0CA CB ?=u u u r u u u r ，22221212

1212,,,44y y y y CA y y CB y y ????--=-=-- ? ?????

u u u r u u u r ，

()222221212004y y CA CB y y ??-?=?--= ???u u u r u u u r ，即()()222122212016

y y y y ---= 解得2

216y y -=（0舍去），所以2222

12124444

y y y y CD -=-==

故选：A 【点睛】

本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题

2．已知5MN a b =+u u u u r

r r

，28NP a b =-+u u u r

，3()PQ a b =-u u u r

，则（）

A ．,,M N P 三点共线

B ．,,M N Q 三点共线

C ．,,N P Q 三点共线

D ．,,M P Q 三点共线

【答案】B 【解析】【分析】

利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】

因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r

所以()

2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,

因为5MN a b =+u u u u r r

r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r

由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu

r 为共线向量,

又因为MN u u u u r 与NQ uuu

r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.

故选: B 【点睛】

本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u

r 方向上的投影为4-，则

向量BA u u u r 与AC u u u

r 的夹角为（）

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

【答案】C 【解析】【分析】

设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r

方向上的投影为

cos =4BD α-u u u r

，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．

【详解】

312AB AC ==，D 是AC 的中点，

则4AC =，2AD DC ==，向量BD u u u r 在AC u u u r

方向上的投影为4-，设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r

的夹角为θ，

则cos =4BD α-u u u r

，

∴()

cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC

BA AC BA AC BA AC

θ+???+????u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

()(

)cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC

α?+??+-?-????-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r

u ur r u

，故夹角为120°，故选：C . 【点睛】

本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.

4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=?，则BD CD ?=u u u v u u u v

（）

A ．4

B ．6

C ．23

D ．43

【答案】B 【解析】【分析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，

菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=?，

∴120C ∠=?，∴22222222cos12012BD =+-????=， ∴23BD =30BDC ∠=?，

∴|||3

302|326BD CD BD CD cos =???==?u u u r u u u r u u u r u u u r

，故选B ．【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．

5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ?，2OD OA =u u u v u u u v

，则（）

A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v

B ．5263BD OA O

C =-u u u v u u u v u u u v

C ．5163

BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v

D ．1163

BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v

【答案】A 【解析】【分析】

利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；

【详解】

Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()

22123333

OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u

v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，

12OD OA =u u u v u u u v ，

∴1263

BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，

故选：A. 【点睛】

本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

6．在ABC ?中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r

（）

A ．3144A

B A

C -u u u

r u u u r B ．1136

AB AC -u u u r u u u r

C ．2133AB AC -u u u r u u u r

D ．3144AB AC +u u u

r u u u r

【答案】A 【解析】【分析】

根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r

，化简得到答案. 【详解】 ()

11312444

MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

u u u u r r u u u r .

故选：A . 【点睛】

本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

7．已知向量,a b r r 满足||a =r ||4=r b ，且()4a b b +?=r r r

，则a r 与b r

的夹角为（） A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 【答案】D 【解析】【分析】

由()4a b b +?=r r r ，求得12a b ?=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得cos ,a b ??=r r 可求得向量a r 与b r

的夹角．

【详解】

由题意，向量,a b r r 满足||a =r

||4=r b ，

因为()4a b b +?=r r r

，可得2164a b b a b ?+=?+=r r r r r

，解得12a b ?=-r r

，

所以cos ,||||a b a b a b ???===r r

r r r r

又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r 的夹角为

. 故选：D ．【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．

8．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r

方向上的投影为( )

A ．165

B ．

165

C ．1613

D ．

1613

【答案】C 【解析】【分析】

先计算出16a b r r

?=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b

?r r

r 可得

【详解】

()4,3a =r Q ，()5,12b =-r

，

4531216a b ?=?-?=-r r

，

则向量a r 在b r

方向上的投影为1613a b b

?-=r r

r ，

故选：C. 【点睛】

本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r

的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ?r 或a b b

?r r

9．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +?u u u

r u u u r 的最小值为

（） A ．1- B ．3-

C ．12

D ．32

【答案】A 【解析】

【分析】

建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】

建立如图所示坐标系，

设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以

(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r

，

故22

3131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ???

??+=--+--=--+-- ? ????

?u u u r u u u r u u u r

3322122x y ???

?=-+-- ? ????

所以当3

x y ==时，PC uuu r ()PB PD +?u u u r u u u r 的最小值为1-.

故选：A ．【点睛】

本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

10．设x ，y 满足10

2024x x y x y -≥??

-≤??+≤?

，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m

的最小值为（） A ．

125

B ．125

C ．

D ．32

【答案】B 【解析】【分析】

先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】

解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r

，

由a b ⊥r r

得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，

由242x y x y +=??=?，得85

5x y ?=????=??

，∴84,55C ?? ???，

∴416122555

m y x =-=-=-，故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．

11．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v

方向上的投影为

A 13

B ．

C ．1

D ．

655

【答案】C 【解析】【分析】

根据a v

在b v

方向上的投影定义求解. 【详解】

a v 在

b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b

??--+=

==-r

r r ，选C. 【点睛】

本题考查a v

在b v

方向上的投影定义，考查基本求解能力.

12．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>的离心率为3

，过右焦点F 且斜率为()

0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r

，则k =（）

A ．2 B

D ．1

【答案】C 【解析】【分析】

由2

e =

可得a =

，b =，可设椭圆的方程为222

334x y c +=，

()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r

得到12123430x x c y y +=??+=?，再由

22211334x y c +=，22

222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】

因为c e a ===，所以2a b =，

所以a =

，b =，则椭圆方程22221x y a b

+=变为222

334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，

又3AF FB =uu u r uu r

，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，

所以()1212

33c x x c y y ?-=-?

-=?，121

23430x x c

y y +=??

+=?

因为A ，B 在椭圆上，所以

2211334

x y c +=，① 22222334

x y c +=②. 由①—9×②，得2

121212123(3)(3)3(3)(3)84

x x x x y y y y c +-++-=-，

所以

21234(3)84c x x c ?-=-，所以12833

x x c -=-，所以123x c =

，2109x c =

，从而13

y =-

，29y c =

所以2(,)33A c -

，10(,)99B c c

，故9102393

c k c c +=

=- 故选：C. 【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共

线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r

，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过

O 点，则S 2010等于（） A ．1005 B ．1006

C ．2010

D ．2012

【答案】A 【解析】【分析】

根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r

，及三点A ，

B ，

C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】

由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；

由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，

所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()

12010201020101

10052

a a +?=

=. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.

14．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若

AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则λμ+等于（）

A ．

-+ B ．

+ C 31 D 31+

【答案】B

【解析】【分析】

建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】

解：1AC =Q ，3AB =

，30ABC ∴∠=?，60ACB ∠

=?，

以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ??+ ? ???

． ()

3,0AB =u u u r

，()0,1AC =uu u r ，

∴1

3,12

AD ??=+

? ???

u u u r

． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，

∴132312λμ?=????=+

??，∴3

31λμ?=????=+??

，

231λμ∴+=+

．故选：B ．

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．

15．如图，在等腰直角ABC ?中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v

（）

A ．3155A

B A

C +u u u

v u u u v B ．2155

AB AC +u u u

v u u u v

C ．481515AB AC +u u u

v u u u v D ．841515

AB AC +u u u

v u u u v 【答案】D 【解析】【分析】

设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得

cos DAE ∠，由此得到45

AF AD =u u u r u u u r

，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将

45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r

为基底来表示的形式.

【详解】

设6BC =

，则2AB AC BD DE EC =====，

AD AE ==

=，101044cos 2105DAE +-∠=

=?，所以

5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()

1133AD AB BC AB AC AB =+=+

-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133

AB AC =+u u u

r u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ??=?+=

+ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.

16．下列命题为真命题的个数是（） ①{

x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ?=r r

，则0a =r r 或0b =r r

；

③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；

④函数()x x

e e

f x x

--=是偶函数.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于①中，当2x =时，22x =为有理数，故①错误；

对于②中，若0a b ?=r r ，可以有a b ⊥r r

，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；

对于③中，命题“若22

0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，

其逆否命题为真命题，故③正确；

对于④中，()()x x x x

e e e e

f x f x x x

-----===-，

且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x x

e e

f x x

--=是偶函数，故④正确.

综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

17．如图，向量a b -r r

等于

A ．1224e e --u r u u r

B ．1242e e --u r u u r

C ．123e e -r u u r

D ．123e e -+r u u r

【答案】D 【解析】【分析】【详解】

由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r

，

18．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=?，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ?u u u u r u u u r

的最大值为（）

A ．714

B ．24-

C ．514

D ．30-

【答案】A 【解析】【分析】

依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求

出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示

,AM ME u u u u r u u u r

，根据二次函数的性质求出最大值.

【详解】

解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，

60A ∠=?，

()

0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D

因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <

AE BE =Q

()2

2001x x +

=-解得01x =-

(

E ∴-

(

C Q ，()5,0D

CD ∴所在直线的方程为y =+

因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x +

(

,AM x ∴=+u u u u r

(

1E x M -=--u u u r

()

1AM ME x x -∴?=--++u u u u r u u u r

242660x x =-+- 242660x x =-+-

3714144x ??= ??---?

当13

4x =时()

max

714

AM ME

?=-

u u u u r u u u r 故选：A

【点睛】

本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.

19．已知,A B 是圆2

:16O x y +=的两个动点，524,33

AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v

，若M 分

别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v

（）

A ．843+

B ．843-

C ．12

D ．4

【答案】C 【解析】【分析】【详解】

由题意1122

OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r

，则

22521151133226

32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ?????=-?+=-+? ? ?????u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v

，又圆的半径

为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3

．则8OA OB ?=u u u v u u u v ，22

16OA OB ==u u u v u u u v ，所

以12OC OM ?=u u u r u u u u r

．故本题答案选C ．

点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.

20．在四边形ABCD 中,若12

DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r

|=|BC uuu r |,则这个四边形是( )

A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【答案】C

【解析】

由

DC AB

u u u r u u u r

知DC∥AB,且|DC|=

|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD

u u u r

|=|BC

uuu r

所以四边形ABCD是等腰梯形.选C

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12，【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编一、集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ．一、集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

高考数学试题分类汇编算法初步

高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是（A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C

4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是。【答案】5

Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。【答案】 2 3

11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：众数、中位数

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A

解析根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：

高考数学易错题举例解析

咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ，但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 2 2 2

⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4