10.1图上距离与实际距离
班级 姓名 学号
学习目标
1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段;
2、理解并掌握比例的性质;
3、通过实际问题的研究,发展从数学的角度提出问题,分析问题和解决问题的能力,增强用数学的意识;
学习重点:了解线段的比和成比例的线段
学习难点:应用比例性质解决问题,提高学生应用数学的能力
教学过程
一、情境引入:
在我们生活中常常可见形状相同的图形,
探索这类图形的特性,会帮助我们更好的认识图形世界,从今天开始,我们将进入相似图形的世界。
观察P82地图,
这两幅地图,比例尺分别为1∶8000000,1∶16000000
(1)分别在两幅地图中量出南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的图上距离.
(2)在这两幅地图中,南京市与徐州市的图上距离的比是多少?南京市与连云港市的图上距离的比是多少?这两个比值之间有怎样的数量关系?
二、探究学习:
1.线段成比例:
在不同的比例尺的两副江苏省地图中,设南京市与徐州市的图上距离的分别为a 、b ,它们的比为a ∶b 或b
a 表示图上距离的比;南京市与连云港市的图上距离的比分别为c 、d ,则c ∶d 或d c 表示图上距离的比,这两个比值之间有什么关系?
结论:a ∶b =c ∶d 或d c b a
(b ≠0,d ≠0) 这四条线段中,如果两条线段的比(两条线段长度的比)等于另两条线段的比,那么称这四条线段成比例(即称a 、b 、c 、d 这四条线段成比例或称a 、b 、c 、d 为成
比例线段).
那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项,线段a 、d 叫做比例外项,线段b 、c 叫做比例内项,线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项;
2.比例的性质:
(1)如果a ∶b =c ∶d ,那么ad =bc ;
①外项积=内项积 ②对角相乘 ③去分母
如果ad =bc (b ≠0,d ≠0),那么a ∶b =c ∶d (把d
c b
a =叫做比例式,ad =bc 叫等积式) 8种写法: 1、a c
b d =(变换外项) 2、d
b c a =(变换内项) 3、a b c d =(内外项全换) 4、c
d a b =(两边各自交换内外项) 5、b d a c = 6、b
a d c = 7、c a d
b = (2)∵d
d c a b a 1d c 1b a d c b a +=+?+=+?=, ∴如果d
c b a =,那么
d d c b b a +=+. (3)∵d
d c a b a 1d c 1b a d c b a -=-?-=-?=, ∴如果d c b a =,那么d d c b b a -=-. 3.比例中项: 在c b b a =中,我们把b 叫做a 和c 的比例中项.由c
b b a =可得b 2=a
c ;
4.概念巩固:
(1)下列各组线段中,长度成比例的是( )
A 、2㎝、3㎝、4㎝、1㎝
B 、1.5㎝、2.5㎝、4.5㎝、6.5㎝
C 、1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、4.4㎝
D 、1㎝、2㎝、2㎝、4㎝
(2)已知线段m 、n 、p 、q 的长度满足等式mn =pq ,将它改写成比例式的形式,错误..的是 ( )
A 、n q p m =
B 、q n m p =
C 、p n m q =
D 、q p n m = 5.典型例题:
例1、在比例尺为1︰50000的地图上,测得A 、B 两地间的图上距离为16cm ,
求A 、B 两地间的实际距离;
例2、已知四条线段a 、b 、c 、d ,a =8cm ,b =4cm ,c =5cm ,d =2.5cm ,试问
这四条线段成比例吗?
例3、(1)已知a 、b 、c 、d 是成比例线段,a =2cm ,b =3cm ,c =6cm ,求d 的
长度;
(2)已知a =2cm ,b =3cm ,c =6cm ,请你添加一条线段,使这四条线段成比例;
例4、若43y x
=,则=+y y x ;=+-y
x y x ;=-+y x 2y 3x 2 ; 6.巩固练习:
(1)在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ,那么影长为30m 的旗杆的高是 ( )
A 、20m
B 、16m
C 、18m
D 、15m
(2)已知a 、b 、c 均为正数,且
k b a c a c b c b a =+=+=+,则下列四个点中在反比例函数x k y =图象上的坐标是 ( )
A 、(1,21)
B 、(1,2)
C 、(1,2
1-) D 、(1,-1) (3)已知a 、b 、c 、d 是成比例线段 ,其中a=3㎝,b=2㎝,c=6㎝,求线段d 的长.
三、归纳总结:
1、了解线段的比和成比例的线段.
2、理解并掌握比例的性质.
3、应用比例性质解决问题.
【课后作业】
班级 姓名 学号
1、等边三角形三边之比是 ;直角三角形斜边上的中线和斜边的比是___;线段2cm 、8cm 的比例中项为 cm 。
2、已知EC
AE BD AD =,AD=10,AB=30,AC=24,则AE= . 3、下列各组长度的线段是否成比例?
(1)4cm, 6cm , 8cm , 10cm
(2)4cm , 6cm , 8cm , 12cm
(3)11cm , 22cm , 33cm , 66cm
(4)、2cm , 4cm , 4cm , 8cm
4、在比例尺为1:40000的工程示意图上,2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3cm,它的实际长度约为( )
A 、0.2172km
B 、2.172km
C 、21.72km
D 、217.2km
5、在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ,那么影长为30m 的旗杆的高是 ( )
A 、20m
B 、16m
C 、18m
D 、15m
6、已知线段m 、n 、p 、q 的长度满足等式mn=pq ,将它改写成比例式的形式,
错误..
的是 ( ) A 、n q p m = B 、q n m p = C 、p n m q = D 、q
p n m = 7、已知a 、b 、c 均为正数,且
k b
a c a c
b
c b a =+=+=+,则下列四个点中在正比例函数y=kx 图象上的坐标是 ( )
A 、(1,21)
B 、(1,2)
C 、(1,2
1-) D 、(1,-1)
8、如图,已知
23==EC AE BD AD ,试求:(1)BD AB ;(2)AC
EC 的值
B
9、已知有三条长分别为1cm ,4cm ,8cm 的线段,请再添一条线段,使这四条线段成比例,求所添线段的长
10、如图,△ABC 中, AD AE DB EC =,AB=12,AE=6,EC=4. (1)求AD 的长;(2)试说明 DB EC AB AC =成立
11、小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排.和平广场位于爷爷家东400米,老年大学位于爷爷家西600米.从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米.
(1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A 、老年大学B 与和平路小学的位置.(2)求爷爷家到和平路小学的直线距离.
E D C B A
12、“变化的鱼”
如果将点的横坐标和纵坐标都乘以(或除以)同一个非零数,那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化?
下图(1)中的鱼是将坐标为(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)的点O,A,B,C,D,B,E,O用线段依次连接而成的;(2)中的鱼是将(1)中鱼上每个点的横坐标,纵坐标都乘以2得到的。
(1)线段CD与HL,OA与OF,BE与GM的长度分别是多少?
(2)线段CD与HL的比,OA与OF的比,BE与GM的比分别是多少?它们相等吗?(3)在图(2)中,你还能找到比相等的其他线段吗?