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第2讲任意角的三角函数及诱导公式

第二讲任意角的三角函数及诱导公式

【要点精讲】

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置O A ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置O B ，就形成角α。旋转开始时的射线O A 叫做角的始边，O B 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|

≤α≤

5π}=[

，

5π]。

3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：r

l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半

径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝

180

π≈0.01745

（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数），扇形面积公式：2

||2121r

r l S α=

=。

4．三角函数定义

在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段O M 的长度为a ,线段M P 的长度为b .则

sin M P b O P

α=

=；cos O M a O P

α=

；tan M P b O M

α=

。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)

P x y,那么:

(1)y叫做α的正弦,记做sinα,即sin y

α=；

（2）x叫做α的余弦,记做cosα,即cos x

α=；

（3）y

x 叫做α的正切,记做tanα,即tan(0)

α=≠。

5．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三

角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三

角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分

方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，

这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1

厘米或1米）。当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆

必有一个交点(,)

P x y，过点P作P M x

⊥轴交x轴于点M，

根据三角函数的定义：|||||sin|

MP yα

==；

|||||cos|

OM xα

==。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有

关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段O M与x轴同向时，O M的方向为正向，且有正值x；当线段O M与x轴反向时，O M的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

cos

O M xα

同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，

规定：当线段M P与y轴同向时，M P的方向为正向，且有正值y；当线段M P 与y轴反向时，M P的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标这样,无论那种情况都有sin

MP yα

==。像M P O M

、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)

A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段O A AT

、,我们有

tan

A T

x α==

我们把这三条与单位圆有关的有向线段M P O M AT

、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。

②2

1sin 1sin 2αα??+=+ ?

?． ③当0,2x π??

∈ ???时，有sin tan x x x <<。 7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； c o s (180)α+=- c o s α

诱导公式三： sin()sin αα-=-； c o s ()

c o s

αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-= ； cos(180)cos αα-=-

诱导公式五：sin(360)sin αα-=- ； cos(360)cos αα-=

（1）要化的角的形式为180k α?± （k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)；（4）sin cos cos 444x x x πππ?

???

=-=- ? ? ??????

?；cos sin 44x x ππ?

=- ? ??

???

。

【典例解析】

题型1：象限角

例1．已知角?=45α；（1）在区间]0,720[??-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合?

∈?+??==Z k k

x x M ,451802

|，?

∈?+??==Z k k

x x N ,451804

|那么两

集合的关系是什么？

例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限

例3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

例4．已知“α是第三象限角，则3

是第几象限角?

点评：已知角α的范围或所在的象限，求

所在的象限是常考题之一，一般解法

有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来

是第几象限的符号所表示的区域即为n

(n ∈N *)的终边所在的区域。

题型2：三角函数定义

例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

6．已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4

α=，求cos ,sin αα的值。

题型3：诱导公式

例7．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（） A.43

C.34

例8．化简：

（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)

αααααα-++--+++-+-

；

（2）

sin()sin()()sin()cos()

n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-。

题型4：同角三角函数的基本关系式

例9．已知2tan α=-，试确定使等式成立的角α的集

合。

例10．（1）证明：()α

αα

αααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-

++-；

（2）求证：

cos 1sin 1sin cos x x x

-。

（1）点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系

（2）点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立

【课堂练习】

1.有四个关于三角函数的命题：

1p ：?x ∈R, 2

sin

x +2

cos

x =

2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny

3p : ?x ∈[]0,π 4p : sinx=cosy ?x+y=

其中假命题的是（）

A ．1p ，2p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p

２．sin 585°的值为（）

A. 2

- B.

C.2

３.已知tan a =4,cot β=13

,则tan(a+β)= （）

A.711

B.711

- C.

713

D. 713

４．已知A B C ?中，12cot 5

A =-，则cos A =（）

A. 1213

513

C.513

- D. 1213

５.若将函数)0)(4

tan(>+

=ωπ

ωx y 的图像向右平移

个单位长度后，与函数

tan(π

ω+

=x y 的图像重合，则ω的最小值为（）

A. 6

B.4

1 C.

1 D.

６.“6

α=

”是“1cos 22

α=

”的（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件７. “2()6

k k Z π

απ=

+∈”是“1cos 22

α=

”的（）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

８.已知函数))(2

sin()(R x x x f ∈-

=π

，下面结论错误．．

的是（） A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2

］上是增函数

C .函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称

D . 函数)(x f 是奇函数

９.“sin α=

1”是“2

12cos =

α”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

１０.下列关系式中正确的是（）

A ．000sin 11cos10sin 168<<

B ．000sin 168sin 11cos10<<

C ．000sin 11sin 168cos10<<

D ．000sin 168cos10sin 11<<

１１.若4sin ,tan 05

θθ=->，则cos θ= .

１２.已知函数()'()cos sin ,4

f x f x x π

=+则(

f π

的值为 .

１３. 函数()1222

++-=x sin x sin

x f ，给出下列4个命题：

①在区间??

???858ππ,上是减函数； ②直线8π=x 是函数图像的一条对称轴； ③函数f （x ）的图像可由函数x sin y 22=

的图像向左平移

而得到；

④若??

???∈2

0π,

x ，则f （x ）的值域是[]

20,．其中正确命题序号是。

【思维总结】

2．α、

、2α之间的关系。

若α终边在第一象限则2

终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象

限或y 轴正半轴。

若α终边在第二象限则2

终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象

限或y 轴负半轴。

若α终边在第三象限则2

终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象

限或y 轴正半轴。

若α终边在第四象限则

终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象

限或y 轴负半轴。

3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：

（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；

（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化只有这样才能在高考中夺得高分。

三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计

算点

到原点

的距离

r =,那么

sin α=

cos α=

,tan y x

α=

。所以，三角函数是以为自变量,以

单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数

4．运用同角三角函数关系式化简、证明

常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数任意点到原点的距离公式：d = x 2+y 2 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 sin y r α= ；cos x r α=；tan y x α=；正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。求解三角函数值一般角：利用三角函数的定义特殊角：先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三角函数值。练：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。例2．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π （2）11tan()6 π - ，

练： .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3．确定下列三角函数值的符号：（1）cos 250 ；（2）sin()4π-；（3）tan(672)- ；（4）11tan 3 π ．练：确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2 θ ＞0 B.cos 2 θ ＜0 C.tan 2 θ ＞0 D.cot 2 θ＜0 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

解一元二次方程练习题(配方法、公式法)(最新整理)

解一元二次方程练习题(配方法) 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看做未知数x ，222)(2b a b ab a +=+±并用x 代替，则有。 222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x －）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9

（3）x 2+12x-15=0 （4） x 2-x-4=04 110.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。解一元二次方程练习题(公式法) 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式： )0(02≠=++a c bx ax

《任意角的三角函数一》教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？二、研探新知 1.三角函数的定义【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

个常用的Excel函数公式

个常用的E x c e l函数公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

15个常用的Excel函数公式，拿来即用 1、查找重复内容 =IF(COUNTIF(A:A,A2)>1,"重复","") 2、重复内容首次出现时不提示 =IF(COUNTIF(A$2:A2,A2)>1,"重复","") 3、重复内容首次出现时提示重复 =IF(COUNTIF(A2:A99,A2)>1,"重复","") 4、根据出生年月计算年龄

=DATEDIF(A2,TODAY(),"y") 5、根据身份证号码提取出生年月 =--TEXT(MID(A2,7,8),"0-00-00") 6、根据身份证号码提取性别 =IF(MOD(MID(A2,15,3),2),"男","女") 7、几个常用的汇总公式 A列求和：=SUM(A:A) A列最小值：=MIN(A:A) A列最大值：=MAX (A:A) A列平均值：=AVERAGE(A:A)

A列数值个数：=COUNT(A:A) 8、成绩排名 =(A2,A$2:A$7) 9、中国式排名（相同成绩不占用名次） =SUMPRODUCT((B$2:B$7>B2)/COUNTIF(B$2:B$7,B$2:B$7))+1 10、90分以上的人数 =COUNTIF(B1:B7,">90")

11、各分数段的人数同时选中E2:E5，输入以下公式，按Shift+Ctrl+Enter =FREQUENCY(B2:B7,{70;80;90}) 12、按条件统计平均值 =AVERAGEIF(B2:B7,"男",C2:C7) 13、多条件统计平均值 =AVERAGEIFS(D2:D7,C2:C7,"男",B2:B7,"销售")

14.3.2公式法第二课时教案

14.3.2公式法教案（第2课时）教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。教学重点：运用完全平方公式法分解因式。教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。教学过程：一、创设情境导入新课上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式，即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式：（1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容二、探索新知：你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？学生小组内合作交流：（代表发言）（1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？（1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式：（1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

电子表格常用函数公式

电子表格常用函数公式 1．去掉最高最低分函数公式： =SUM（所求单元格…注：可选中拖动?）—MAX（所选单元格…注：可选中拖动?）—MIN（所求单元格…注：可选中拖动?）（说明：“SUM”是求和函数，“MAX”表示最大值，“MIN”表示最小值。）2．去掉多个最高分和多个最低分函数公式： =SUM（所求单元格）—large(所求单元格，1)—large(所求单元格，2) —large(所求单元格，3)—small(所求单元格，1) —small(所求单元格，2) —small(所求单元格，3) （说明：数字123分别表示第一大第二大第三大和第一小第二小第三小，依次类推） 3．计数函数公式： count 4．求及格人数函数公式：（”>=60”用英文输入法） =countif(所求单元格，”>=60”) 5．求不及格人数函数公式：（”<60”用英文输入法） =countif(所求单元格，”<60”) 6．求分数段函数公式：（“所求单元格”后的内容用英文输入法） 90以上：=countif(所求单元格，”>=90”) 80——89：=countif(所求单元格，”>=80”)—countif(所求单元格，”<=90”) 70——79：=countif(所求单元格，”>=70”)—countif(所求单元

格，”<=80”) 60——69：=countif(所求单元格，”>=60”)—countif(所求单元格，”<=70”) 50——59：=countif(所求单元格，”>=50”)—countif(所求单元格，”<=60”) 49分以下： =countif(所求单元格，”<=49”) 7．判断函数公式： =if(B2,>=60,”及格”，”不及格”) （说明：“B2”是要判断的目标值，即单元格） 8．数据采集函数公式： =vlookup(A2,成绩统计表，2，FALSE) （说明：“成绩统计表”选中原表拖动，“2”表示采集的列数）公式是单个或多个函数的结合运用。 AND “与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。条件判断 AVERAGE 求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN 显示所引用单元格的列标号值。显示位置 CONCATENATE 将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并 COUNTIF 统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DATE 给出指定数值的日期。显示日期

配方法、公式法练习题

1、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2．-2．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______． 8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______．用配方法解一元二次方程 0542=--x x 01322=-+x x 07232=-+x x 01842=+--x x 0222=-+n mx x ()00222>=--m m mx x 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y - = 3、y y 32132=+

4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 1代数式2221 x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2 +2（1+x ）-4=0. x x 5322=- 01072=+-x x ()()623=+-x x 012=--x x 02932=+-x x ()()213=-+y y 3用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

3知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α= ≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin(2)sin k απα+?=，其中k Z ∈ cos(2)cos k απα+?=，其中k Z ∈ tan(2)tan k απα+?=，其中k Z ∈ 要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函

数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】35，45-，34-或35-，45，34 - 【解析】 5||r a ==。若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则 33sin 55 y a r a α= ==， 44cos 55 x a r a α-===-， 33tan 44 y a x a α===--，若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则 3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-。【总结升华】本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。【答案】1221,22 --

15个常用的Excel函数公式

4、根据出生年月计算年龄 =DATEDIF(A2,TODAY(),"y") 5、根据身份证号码提取出生年月 =--TEXT(MID(A2,7,8),"0-00-00") 6、根据身份证号码提取性别 =IF(MOD(MID(A2,15,3),2),"男","女") 7、几个常用的汇总公式 A列求和：=SUM(A:A)

A列最小值：=MIN(A:A) A列最大值：=MAX (A:A) A列平均值：=AVERAGE(A:A) A列数值个数：=COUNT(A:A) 8、成绩排名 =RANK.EQ(A2,A$2:A$7) 9、中国式排名（相同成绩不占用名次） =SUMPRODUCT((B$2:B$7>B2)/COUNTIF(B$2:B$7,B$2:B$7))+1 10、90分以上的人数

=COUNTIF(B1:B7,">90") 11、各分数段的人数同时选中E2:E5，输入以下公式，按Shift+Ctrl+Enter =FREQUENCY(B2:B7,{70;80;90}) 12、按条件统计平均值 =AVERAGEIF(B2:B7,"男",C2:C7) 13、多条件统计平均值 =AVERAGEIFS(D2:D7,C2:C7,"男",B2:B7,"销售")

任意角的三角函数2

1 第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2）学习目的： 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。学习重点：正弦、余弦、正切线的概念。学习难点：正弦、余弦、正切线的利用。课堂探究：一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1已知角α 的终边上一点()P m ，且sin 4 α= ，求cos ,sin αα的值。解：由题设知x =y m = ，所以2222||(r O P m ==+ ，得r = 从而sin 4 α = m r == ，解得0m = 或2 1662m m =+?= 当0m = 时，r x = = cos 1,tan 0x y x αα= =-= =；当m = r x ==， cos ,tan 4 x y x αα= =- = =- ；当m =r x ==， cos ,tan 4 3 x y r x αα= =- = = ． 2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2 α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 2 2 2 ααα 的符号。 3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos 4 π，（2）11tan() 6 π-，（3）9sin 2 π ．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向

一元二次方程配方法_公式法_因式分解法

一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1：下面哪些数是方程0121022=++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．复习 ()2222b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()22____________8-→+-x x x (2)()2 2______3______129+→++x x x (3)()22____________+→++x px x (4) ()2 2____________6+→++x x x (5)()22____________5-→+-x x x (6) ()2 2____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532=-x x 解：由已知，得：()232=+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352=-x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得22265326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652=??? ? ?-x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+-=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+=x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。练一练： (1)982=+x x (2)015122=-+x x (3) 044 12=--x x (4) 03832=-+x x (5)08922=+-x x (6) ()x x 822=+ 练一练

Excel常用函数公式大全(实用)

Excel常用函数公式大全 1、查找重复内容公式：=IF(COUNTIF(A:A,A2)>1,"重复","")。 2、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS360(H6,"2009/8/30",FALSE))/360,0)。 3、从输入的18位身份证号的出生年月计算公式： =CONCATENATE(MID(E2,7,4),"/",MID(E2,11,2),"/",MID(E2,13,2))。 4、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式： =IF(LEN(C2)=15,IF(MOD(MID(C2,15,1),2)=1,"男","女"),IF(MOD(MID(C2,17,1),2)=1,"男","女"))公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。 1、求和：=SUM(K2:K56) ——对K2到K56这一区域进行求和； 2、平均数：=AVERAGE(K2:K56) ——对K2 K56这一区域求平均数； 3、排名：=RANK(K2，K$2:K$56) ——对55名学生的成绩进行排名； 4、等级：=IF(K2>=85,"优",IF(K2>=74,"良",IF(K2>=60,"及格","不及格"))) 5、学期总评：=K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩； 6、最高分：=MAX(K2:K56) ——求K2到K56区域（55名学生）的最高分； 7、最低分：=MIN(K2:K56) ——求K2到K56区域（55名学生）的最低分； 8、分数段人数统计：（1）=COUNTIF(K2:K56,"100") ——求K2到K56区域100分的人数；假设把结果存放于K57单元格；（2）=COUNTIF(K2:K56,">=95")－K57 ——求K2到K56区域95～99.5分的人数；假设把结果存放于K58单元格；（3）=COUNTIF(K2:K56,">=90")－SUM(K57:K58) ——求K2到K56区域90～94.5分的人数；假设把结果存放于K59单元格；（4）=COUNTIF(K2:K56,">=85")－SUM(K57:K59) ——求K2到K56区域85～89.5分的人数；假设把结果存放于K60单元格；

公式法第二课时参考学案

公式法（2）一.巩固案 1.把下列各式分解因式 (1).ab b a 16163- (2)x x 1233+- (3)224)2(x y x -+ 2.已知m+n=2010,m-n=-1,求2244n m -的值. 二.预习案 1.课前预习:（阅读课本P169-170） 2.用幂的相关知识填空： (1)()2216a = (2)()42x = 3.用整式乘法的完全平方公式填空. (1)()()____________2)1(222=+??+=+a (2)()()__________2)(222=+??-=-b a 4.你能用提公因式法把多项式122+-a a 分解因式吗?若不能,能用平方差公式分解吗?若不能,你会想什么办法解决这个问题?观察第3题你会有什么发现?用你的发现尝试把下列多项式分解因式. (1)()()________212222=+??-=+-a a (2)()()____________222222=+??-=+-b ab a 5．根据上面的填空完成下面的知识归纳. (1)第3题由左到右的变形是 ,第4题由左到右的变形是 . (2)我们把整式乘法的完全平方公式: ____________________________)(2=+b a __________________________________)(2=-b a 反过来就得到因式分解的完全平方公式: 22)(___________________________________)(___________________________________b a b a -=+=用文字描述为: . (3)我们把和叫完全平方式. 6.尝试练习:用完全平方公式分解因式. (1)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A.241a + B.22b ab a ++ C.442+-a a D.1442-+b b

1.2任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+= +>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。（Ⅳ）（Ⅲ）

配方法与公式法

第六课时：配方法与公式法［知识要点］ 1配方法：①移项②二次项系数化为1③方程两边同时加上一次项系数一半的平方④开方 2、公式法：当b2 4ao 0时，它的根是X12广b±炉^ 3、由2可以推导：X1 X2b c X[ ? X2 a a ［典型例题］例1用配方法解下列方程： 1 2 5 5 门2 (1) X X 0(2)3X 6X 2 0 2 2 4 例2用公式法解下列方程： (1) 3X25X 2 0 2 (2) 2X 3X 3 0 2 (3) X22X 1 2 例3设X i,X2是方程2x 4x 30的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值 (1 ) (X1 2)(X2 2)；(2) X2 X i X i X2 （难点）

［经典练习］ 1、若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（） A . 3 B . -3 C . ± 3 D .以上都不对 2、用配方法将二次三项式 a 2-4a+5变形，结果是（） A . (a-2) 2 +1 B . (a+2) 2-1 C . (a+2) 2+1 D . (a-2) 2-1 3、用配方法解方程 x 2+4x=10 的根为（） A . 2± B . -2土14 C . -2+、10 4、用公式法解方程 4y 2=12y+3，得到（） A . y=L 2 B . y=^6 2 C . y= 3 D . y=^J 2 a ( 1+x 2)+2bx-c 5、已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且方程 △ ABC 为（） A .等腰三角形 B .等边三角形 6将一元二次方程X 2 -2X -4=0用配方法化成（x+a ） 2=b 的形式为 C .直角三角形方程的根为（1-x 2） =0的两根相等，则 D .任意三角形，所以 7、不解方程，判断方程：①x 2+3X +7=0;②X 2+4=0:③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 8、当 x= 1 时，代数式— 3 2 x - 2x 与 - x 1 亠」的值互为相反数. 4 9、用适当的方法解下列方程: （1） 3X 2-5X =2. (2) X 2+8X =9 (3) x 2 5.2x 2 0 (4) 2x (x — 3) =x — 3

工作中最常用的excel函数公式大全

工作中最常用的excel函数公式大全一、数字处理 1、取绝对值=ABS(数字) 2、取整=INT(数字) 3、四舍五入=ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 1、把公式产生的错误值显示为空公式：C2=IFERROR(A2/B2,"") 说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。 2、IF多条件判断返回值公式： C2=IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。

1、统计两个表格重复的内容公式:B2=COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。 2、统计不重复的总人数公式：C2=SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。

1、隔列求和公式：H3=SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或=SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3) 说明：如果标题行没有规则用第2个公式 2、单条件求和公式：F2=SUMIF(A:A,E2,C:C) 说明：SUMIF函数的基本用法

3、单条件模糊求和公式：详见下图说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。 4、多条件模糊求和公式：C11=SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 说明：在sumifs中可以使用通配符*

4.3 公式法第二课时

4.3 公式法第二课时一、学习准备： 1、分解因式：492172+-x x 2、填空：（1）=+2)(b a ；（2）2 )(b a -= ；二、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；三、自学提示：活动一阅读课本57页例3上面部分，并回答问题或填空： (1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？哪个公式还可以进行分解因式？ 2、结合预习导学2，完成下列填空（1）2 22b ab a +- = ；（2）2 22b ab a ++= ； 3、乘法公式2 )(b a ±= 。 4、形如222b ab a ++与2 22b ab a +-的式子称为完全平方式．把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做。活动二观察2 2 2b ab a +- ；2244b ab a +-；25102 ++x x ,找出它们的共同特征。然后讨论： 1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？ 2、下列各式是不是完全平方式？（1）a 2－4a ＋4；（2）x 2＋4x ＋4y 2；（3）4a 2＋2ab ＋ 4 1b 2 ；（4）2 2 b ab a +-；（5）962 --x x ；（6）25.02 ++a a ． 3、将下列各式分解因式。（1）49142 ++x x （2）9)(6)(2 ++-+n m n m 讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形式？由（2）知，公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是

知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题．【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y , 则r =: (1) y r 做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=； (2) x r 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=．（2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．要点三：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边

常用excel函数公式大全

常用的excel函数公式大全一、数字处理 1、取绝对值 =ABS(数字) 2、取整 =INT(数字) 3、四舍五入 =ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 1、把公式产生的错误值显示为空公式：C2 =IFERROR(A2/B2,"") 说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。

2、IF多条件判断返回值公式：C2 =IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。三、统计公式 1、统计两个表格重复的内容公式:B2 =COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。

2、统计不重复的总人数公式：C2 =SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。四、求和公式

1、隔列求和公式：H3 =SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或 =SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3)说明：如果标题行没有规则用第2个公式 2、单条件求和公式：F2 =SUMIF(A:A,E2,C:C) 说明：SUMIF函数的基本用法

3、单条件模糊求和公式：详见下图说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。

4、多条件模糊求和公式：C11 =SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 说明：在sumifs中可以使用通配符* 5、多表相同位置求和公式：b2 =SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 说明：在表中间删除或添加表后，公式结果会自动更新。 6、按日期和产品求和

第四章因式分解公式法(第二课时)优秀教案

第四章因式分解 3．公式法（二）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。本节课的具体教学目标为： 1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式． 2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。 3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——自主小结——作业布置．第一环节复习回顾活动内容：活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．第二环节学习新知活动内容：活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式．注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互

第2讲 任意角的三角函数及诱导公式