ARMA模型的特性(精)
第三章 ARMA 模型的特性
本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式、平稳性和可逆性条件、AFC 和PAFC 的形式和特点。
第一节 线性差分方程
一、 后移(Backshift)算子:
1. 定义：后移算子B 定义为1t t BX X -=，从而m
t t m B X X -=。
2. 后移算子的性质：
(1) 常数的后移算子为常数：Bc c =
(2) 分配律：()m n m n
t t t t m t n B B X B X B X X X --+=+=+ (3) 结合律：()m n m n m
t t t n t m n B B X B B X B X X ---===
(4) 后移算子B 的逆为前移算子1
1t t B X X -+=
(5) 对于1?<，无限求和得2233
(1 (1)
t X B B B X B
????++++=
-
前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：
()t t X B a θ=
()t t B X a ?= ()()t t B X B a ?θ=
其中：212()1n
n B B B B ????=----L
212()1m m B B B B θθθθ=----L
二、 线性差分方程
11221122t t t n t n t t t m t m X X X X a a a a ???θθθ----------=----L L 可将写成
()()t t B X B a ?θ= 这里
212()1n
n B B B B ????=----L
212()1m m B B B B θθθθ=----L
差分方程通解为：
()()t X C t I t =+ 这里，C (t)是齐次方程解，I (t)是特解。
三、 齐次方程解的计算
无重根 考虑齐次差分方程 ()0t B X ?=
其中 12()(1)(1)(1)n B G B G B G B ?=---L 假定G 1，G 2，…，G n 是互不相同，则在时刻t 的通解：
1122t t t
t n n X A G A G A G =+++L
其中A i 为常数（可由初始条件确定）。
重根 设()0B ?=有d 个相等的根1
0G -，可验证通解为
2101210()d t t d X A A t A t A t G --=++++L
对一般情形，当()B ?的因式分解为
/120(1)(1)(1)(1)d
n G B G B G B G B ----L
齐次方程解便是 /
1
1
()d n t
j t k j
i
i
j i C t G A t D G
-===+∑∑
因此，齐次方程解是由衰减指数项G t
、多项式t j
、衰减正弦项D t
sin(2πf 0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。
上述过程中计算i G 并不方便，通常通过解方程12
12...0n n n n λ?λ?λ?------=得到其根为：,1,2,...,i i n λ=。由于12
12...0n n n n λ?λ?λ
?------=的根与21210n n B B B ???----=L 的根互为倒数，因此i i G λ=。
非齐次方程的特解通常情况下不容易得到，没有一个“万能钥匙”，需要具体问题具体分析，只能对一些具有特殊形式非齐次项的方程进行讨论。此处丛略。
第二节 格林函数(Green ’s function)和平稳性
(Stationarity)
一、 格林函数(Green ’s function)
1、 定义：设零均值平稳序列{,0,1,2,...}t X t =±±能够表示为
t j t j j X G a ∞
-==∑ （1）
则称上式为平稳序列t X 的传递形式，式中的加权系数j G 称为格林（Green ）函数，其中01G =。
2、 格林函数的含义：
格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。 式（1）可以记为
()t t X G B a = （2）
其中()0
j
j
j G B G B
∞
==
∑。
式（1）表明具有传递形式的平稳序列t X 可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“()0
j
j
j G B G B
∞
==
∑”的作用而生成，j G 是j 个单位时间以前加入系统的干扰项t j a -对现
实响应t X 的权，亦即系统对t j a -的“记忆”。
二、 AR （1）系统的格林函数
由AR （1）模型
111111212
111()......
...
t t t t t t
t t t t t t X X a X X a X a a a a ????α??------=?=+=++==+++
即：10
j
t
t j j X a ?∞
-==∑ 则AR(1)模型的格林函数1j j G ?=。如若11?→，则j G 随着j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；相反，若10?→，则j G 随着j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱. 例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR （1）系统对扰动t α的记忆情况（三个序列由同一正态白噪声序列模拟生成）：
-4
-20246
10
20
30
40
50
60
70
80
90100
-4
-2
2
4
6
102030405060708090100
10.9t t t X X a -=+ 10.1t t t X X a -=+
-6
-4-2024610
20
30
40
50
60
70
80
90100
10.9t t t X X a -=-+
比较前后三个不同参数的图，可以看出： （１） 1?取正值时，响应波动较平坦。 （２） 1?取负值时，响应波动较大。
（３） 1?越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。 由于21111211220
......j
t t j
t t t t t t j X a
a a a a a a ?
??θθ∞
-----==
=+++=+++∑其中1j j ?θ=，
因此AR （1）模型可用一个无限阶MA 来逼近，这说明AR 模型是一种长效记忆模型。
三、AR 系统的平稳性
1、由平稳性的定义求AR(1)系统的平稳性条件
将AR （1）模型11t t t X X a ?-=+两边平方再取数学期望，得到
1122
11222111222
1()()()()2()()t t t t t t t t a
E X E X a E X E a E X a E X ????σ----=+=++=+
如果序列t X 是平稳的，则有1
22()()t t E X E X -=，由上式可得 2221(1)()t a E X ?σ-=
22
2
1()(1)
a
t E X σ?=- 由于2
()t E X 是非负的，所以2210(1)
a
σ?≥-，从而11?<，这就是AR （1）模型的平稳
性条件。
利用滞后算子B ，AR （1）模型可以写为 ()t t B X a ?=
式中1()1B B ??=-，那么平稳性条件11?<就等价于()0B ?=的根在单位圆外（或
1()0?λλ?=-=的根落在单位圆）。
上述平稳条件可以推广到AR （n ）模型，即
()t t B X a ?=其中：212()1n n B B B B ????=----L 的平稳性条件为：()0B ?=的
根在单位圆外（或12
12()0n n n n ?λλ?λ?λ?--=----=L 的根在单位圆）。
2、由格林函数求AR(1)模型的平稳性条件
对于AR(1)系统来说，其平稳性条件也可以由格林函数得出。如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着j →∞，扰动的权数0j G →，由于j G ＝1j
?故必有j →∞，10j
?→，显然，
11?<
这就是AR(1)系统平稳性条件。反过来，若11?<，则称AR(1)为渐近稳定的，也必是平稳的。
11?=时，j G =1; 当1?=1时,j G =(-1)j 当1?=-1时
这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的，这时系统为临界稳定的，系统可能存在某种趋势或季节性。
当11?>时，j →∞，j G →∞，任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。
例：求AR （2）模型的平稳域
解：特征方程 2
12()0?λλ?λ?=--=的根
2112
14???λ-+=
，2112
24???λ++=
122λλ?=-，121λλ?+=
根据AR 模型的平稳性的条件
1(1,2)i i λ<=
2121?λλ=<
()()21121212111??λλλλλλ+=+-=---
()()21121212()111??λλλλλλ-=--+=-++ 由于12,??是实数，12,λλ必同为实数或共轭复数，由于1(1,2)i i λ<=，因此
()()21121111??λλ=-±± 故AR （2）模型的平稳域为 22121 1 11?????? + 所谓Wold 分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和。由于这一思想是由Wold 引入(1938年)到时序分析中的，故叫做Wold 分解。他认为可以用线性空间来解释ARMA 模型的解。 在n 维线性空间Ln 中，n 个线性无关的向量12,,...n a a a 称为空间的一组基。设β可由 12,,...n a a a 线性表示： 1122...n n k a k a k a β=+++ 其中i k 由向量β和i a 唯一确定，i k 称为向量β关于基i a 的坐标。 如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解 10 j t t j j X a ?∞ -==∑ 由于t j a -是相互独立的，可看作线性空间的基j α(或无限维坐标轴)，显然t X 可由t j a -线性表示，其系数j G 就是t X 对于t j a -的坐标，t X 就是j G t j a -的正交向量的和。因而上式也叫做Wold 分解式，其系数叫Wold 系数。 格林函数和Wold 系数是同一客体从不同角度观察的结果，二者是完全一致的。Wold 系数是线性空间解释，格林函数是系统解释。 五、ARMA 模型格林函数的通用解法 ARMA(n,m)模型 ()()t B X B ?θ= 且 ()t t X G B a = 则 ()()()B G B B ?θ= 令 *,00, j j j n j n ??≤≤?=?>? *,00,l l l m l m θθ≤≤?=?>? 则()()()B G B B ?θ=化为 **00 0j k l j k l j k l B G B B ?θ∞∞∞===????= ? ?????∑∑∑ 比较等式两边B 的同次幂的系数，可得 * *0 ,1,2,3,...l j l j l j G l ?θ-===∑ 由上式，格林函数可从1l =开始依次递推算出。 思考：MA(m)模型()t t X B a θ=的格林函数为 ,10,j j j m G j m θ-≤≤?=?>? 例：ARMA （2，1）系统的格林函数 ARMA （2，1）模型112211t t t t t X X X a a ??θ-----=-可以看作是一个二阶差分方程，设该方程的解是 ()j t j t j j t j j X G a G B a ∞∞ -====∑∑ 将上式代入模型中： 2 1210 (1)( )(1)j j t t j B B G B a B a ??θ∞ =--=-∑ 22 120121(1)(...)(1)t t B B G G B G B a B a ??θ--+++=- 2220121011201(.........)(1)t t G G B G B G B G B G B a B a ???θ+++-+---=- 利用比较系数法，B 的同次幂必相等，于是： B 的指数： 01101111 211202112031221312211122 0:11:2:03:0.................................................................... : j j j G G G G G G G G G G G G G G G G j G G G ?θ?θ??????????--=-=-?=---=?=+--=?=+?=+ 上式可以写成：11220j j j G G G ??----= 即： ()2 1 2 10,2j B B G j ??--=≥ 上式为一关于j G 齐次差分方程的形式，其通解为 1122j j j G g g λλ=+ 其中：1λ和2λ是特征方程2 120λ?λ?--=的根；1g 和2g 是任意常数，其值由初始条 件确定。这里的初始条件是： 0111 1 G G ?θ=?? =-? 则ARMA （2，1）系统的格林函数为： 1121121221j j j G λθλθλλλλλλ????--=+ ? ?--???? ARMA （2，1）模型的格林函数也可以通过下面的过程求得。 根据Wold 分解，平稳ARMA （2，1）模型 2121(1)(1)t t B B X B a ??θ--=- 可以写成 12 1211t t B X a B B θ??-= -- ()() 112111t B a B B θλλ-= -- 11121221 12111111.. 111111t a B B θθλλλλλλλλ??--?? ??=+--??--???? 112112121211..11t a B B λθλθλλλλλλ??--=+??----?? 112112012 21j j j t j B a λθλθ λλλλλλ∞ =??--=+??--??∑ 11211201221j j t j j a λθλθλλλλλλ∞ -=?? --=+??--?? ∑ 即：1121121221j j j G λθλθλλλλλλ????--=+ ? ?--???? AR （2）为ARMA （2，1）模型的特殊形式，同样具有上述关系。 例：ARMA （n ，n-1）系统的格林函数 与上面方法相同，ARMA （n ，n-1）系统的格林函数的隐式的递推式为： 212(1...)0,n n j B B B G j n ???----=≥ 其中 0121,,,...,n n G G G G G -由下列式子导出 01101 211202 11223101112201...................... 0 n n n n n n n n n G G G G G G G G G G G G G G ?θ??θ???θ???-------=-=---=-----=-----= 即 212(1)0,n n j B B B G j n ???----=≥L 其最终解为： () ()()()()() 11221 2111211............j j j j n n n n i i n i i i i i i i i n G g g g g λλλλ θλθλλλλλλλλλλ----+=+++---= ----- 其中：1 2...1n g g g +++= 例：ARMA （2，1）系统的平稳性条件 ARMA （2，1）的平稳性条件要求：0j j G →∞→时, 。 由 1122j j j G g g λλ=+得：21,1λλ<<1，即2 12()0?λλ ?λ?=--=的根 在单位圆。 由于ARMA （2，1）的特征方程212()0?λλ?λ?=--=和AR （2）和形式一样（或者说和其移动平均项系数无关），因此其平稳域与AR （2）系统的平稳域相同，都是： 21212 1 11?????? + 第三节 逆函数和可逆性（Invertibility ） 所谓可逆性(Invertibility)是指移动平均模型可以用AR 模型表示。 一、逆函数的定义 设t X 是零均值平稳序列，如果白噪声序列t a 能够表示为 1 t t j t j j a X I X ∞ -==-∑ 则称上式为平稳序列t X 的逆转形式，式中的加权系数()1,2,...j I j =称为逆函数。 二、ARMA 模型的逆函数 1、ARMA （n,m ）模型逆函数通用解法 对于ARMA （n,m ）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。 令 01 ()1,1j t j j I B I X I ∞ -==- =-∑， 则平稳序列t X 的逆转形式1 t t j t j j a X I X ∞ -==-∑可表示为 ()t t a I B X = 由ARMA(n,m)模型()()t t B X B a ?θ=可得 ()()()B B I B ?θ= 仍由先前定义的* j ?和* l θ，则上式可化为 **000j l k j l k j l k B B I B ?θ∞∞∞===?????? =- ? ????????? ∑∑∑ 比较上式两边B 的同次幂的系数，得到 * *0 j j k l k k I ?θ-==-∑ 即 ** 1 ,1,2,...j j j k j k k I I j ?θ -==+=∑ 由此j I 可从1j =开始推算出。 2、AR 模型的逆函数 对于AR （1）模型 11t t t X X a ?--=有 11t t t X X a ?-=+ 则其逆函数 11,0,2j I I j ?==≥ 类似对于AR （n ）模型1122...t t t n t n t X X X X a ???-------=有 1122...t t t n t n t X X X X ???α---=++++ 其逆函数为： 11 22...0,1 n n j I I I I j n ??? ?=? =?? ??=?=≥+?? 3、MA 模型的逆函数 对于MA （1）模型 1(1)t t X B a θ=-，则 ()1B ?=， 1()1B B θθ=-， ()()111B I B θ-=， 即 ()() 211211...1B I B I B θ----= 比较上式两边B 的同次幂的系数得 01111,1,,2j j I I I I j θθ-=-=-=≥ 从而有 1,1,2,...j j I j θ=-= 也可以用以下方法求MA （1）模型的逆函数 由1(1)t t X B a θ=-得 ( ) 122 1111(1) 1...t t t j t t j j X a B B B X X X θθθθ∞ -== -=+++=+∑ 即1 1 ()j t t t j j X a X θ ∞ -==+ -∑ 可见 1j j I θ=- 与AR （1）讨论相类似，上面推导所隐含的可逆性条件为 11θ< 对于MA （m ）模型的可逆性讨论与AR （n ）模型平稳性的讨论是类似的，即： MA （m ）模型的可逆性条件为其特征方程 1212...01m m m m k V V V V θθθ--++++=<的特征根k V 满足1k V < 下面所讲的逆函数与格林函数的关系也作为求逆函数的一种选择。 三、j G 和j I 之间的关系 对于AR （1）模型和MA （1）模型， 注意到 格林函数 逆函数 AR （1）： 1 j j G ?= 11 0,1j I I j ?=??=>? MA （1） 01110,1j G G G j θ=??=-??=>? 1j j I θ=- 可以看出，AR （1）的j G 和MA （1）的j I 形式一致，只是符号相反，参数互换。此 对偶性对其它模型仍然存在，如： ARMA （2，1）的格林函数为 0111 2112 11221,3 j j j G G G G G G G j ?θ????--=?? =-?? =+??=+≥? ARMA （1，2）的逆函数为 111 2112 1122,3 j j j I I I I I I j ?θθθθθ--?=-? =-?? =+≥? 综上可知，在格林函数的表达式中，用j I -代替j G ，?代替θ，θ代替?，即可得到相对应的逆函数。 四、关于ARMA 模型平稳性与可逆性的说明 通过上面的讨论可知，AR 模型不存在可逆性性条件，MA 模型不存在平稳性条件。因此，对于ARMA 模型的平稳性条件是针对其AR 系数而言，可逆性条件是针对其MA 系数而言。 只有同时满足平稳性可可逆性条件，ARMA 模型才是有意义的。 第四节 自协方差函数 一、理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA 系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数 ()k t t k E X X γ-= 自相关函数 k k γργ= 二、样本自相关函数的计算 在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式： 1 1 ?,0,1,2, (1) k t t k t k X X k N N γ-=+= =-∑ * 1 1 ?,0,1,2, (1) k t t k t k X X k N N k γ-=+==--∑ 则相应的自相关函数为 1 1 220 1 1 1??1?N N t t k t t k k t k t k k N N t t t t X X X X N X X N γρ γ--=+=+===== ∑∑∑∑ * *1 1 2 201 1 1 ??1?N N t t k t t k k t k t k k N N i t t t X X X X N N k N k X X N γρ γ--=+=+==-===-∑∑∑∑ 在通常的情况下，我们常采用第一种的计算方法。 三、AR 模型的自协方差函数和自相关函数 （1） AR （1）模型的自协方差函数和自相关函数 AR （1）模型为： 11t t t X X a ?-=+ 假设t X 为零均值序列。将上式两端乘以t k X -，并取期望，得 ()()()111t t t t k t t k E X X E X X E a X ?----=+ 当k=0时，有： ()()()11t t t t t t E X X E X X E a X ?-=+ 即： 2 011a γ?γσ=+ 当 k=1时，有 ()()()11111t t t t t t E X X E X X E a X ?----=+ 即： 110γ?γ= 当k=2时，有 ()()()21122t t t t t t E X X E X X E a X ?----=+ 211γ?γ= 依此类推，便有一般式：11 0k k k γ?γ-=> 将1γ代入0γ，有， ()2 20110021111,0a a k k k σγ??γσγ?γ?γ-?=+?=? -??=>? 相应的自相关函数为0/k γγ，即 000011011 /1 //k k k k ργγργγ?γγ?ρ--==?? ===? (2)、AR （n ）模型的自协方差函数和自相关函数 自相关函数 1122t t t p t n t X X X X a φφφ---=++++L 两边同乘以 t k X - 得到 1122t k t t k t t k t n t k t n t k t X X X X X X X X X a φφφ--------=++++L 取期望，得： 1122(0)k k k n k n k γφγφγφγ---=+++>L 上式两边除以 0γ ，可得差分方程： 1122(0)k k k n k n k ρφρφρφρ---=+++>L 我们注意到，上式类似于过程 t X 自身所满足的差分方程。 假定将上式记为 ()0k B φρ= 这里， 1()1n n B B B φφφ=---L 记 1 ()(1)n j j B G B φ==-∏ 则差分方程通解： 1122k k k k n n A G A G A G ρ=+++L 这里，11G -，12G -，…，1 n G -是特征方程： 1()1n n B B B φφφ=---L =0 的根。 为了保证平稳性，则要求 1i G <。在实际应用中，如果假定根是互异的，会出现两种情况： 1． G i 是实根，这时在通解 ρk 中A i G i k 随k 增大等比例地衰减到零，我们常称之为 指数衰减。 2． G i 和G j 是一对共轭复根，导致在通解出现： sin(2)k D fk F π+ 使得自相关函数呈衰减的正弦振荡，衰减系数 i j D G G ==，频率f 满足： 12cos [Re()/]i f G D π-= 方差：当k=0时， 2 01122n n a γφγφγφγσ---=++++L 上式两边除以 20X γσ=，并有 k k γγ-=，故方差 2 X σ可以写成 2211221a X n n σσρφρφρφ= ----L 四、MA 模型的自协方差函数和自相关函数 （1）MA （1）模型的自协方差函数和自相关函数： 将MA （1）模型 11t t t X a a θ-=- 两端同乘以t k X -取期望，得 ()()() ()()()()()()()1111001100011101111t t k t t k t t k t j t k j t j t k j j j j t t k j j t t k j j j t t k t k t t t k t t k t t k E X X E a X E a X E a G a E a G a G E a a G E a a G E a a G E a a G E a a G E a a E a a θθθθ----∞∞-----==∞∞-----==---------=-???? ????=-???? ? ???????????????=-????=+-+????=-∑∑∑∑()()() 21111111t t k t t k t t k E a a E a a E a a θθθ--------+ 当k=0时，有 () ()()()()0211111112221t t t t t t t t t t a a E X X E a a E a a E a a E a a γθθθσθσ----==--+=+ 当k=1时，有 () ()()()()11211211111221t t t t t t t t t t a E X X E a a E a a E a a E a a γθθθθσ-------==--+=- 当k=2时，有 () ()()()()2222131121130 t t t t t t t t t t E X X E a a E a a E a a E a a γθθθ-------==--+= 可见，对于MA （1）模型来说 ()220012 11112 1 1 110,20,2a a k k k k ργθσθγθσρθγρ?=?=+????=-?=-??+?? =≥??=≥?? （2）MA （m ）模型的自协方差函数和自相关函数 自相关函数 1111[()()]k t t m t m t k t k m t k m E a a a a a a γθθθθ-------=------L L 因此该过程的方差是 222 01(1)m a γθθσ=+++L 且 2 1122(), 1,2,,0 ,k k k m k m a k k m k m θθθθθθθσγ++-?-++++==? >?L L 由此得出自相关函数是 1122 1,1,2,,10,k k m k m m k k m k m θθθθθθθρ+--+++?=?+++=??>? L L L 对于MA(m)过程，当滞后超出过程的阶数m 时自相关函数为零。换言之，滑动平均过程的自相关函数具有超出m 步滞后的截尾性。（上述性质用来在B-J 建模过程中，识别MA 模型） 五、偏自相关函数 对于一个k 阶AR 模型，有： 11221,2,,j k j k j kk j k j k ρ?ρ?ρ?ρ---=+++=L L 由此得到Yule-Walker 方程，记为： 12 11111 22212 3111k k k k k k k k kk ρρρ?ρρρρ?ρρρρρ?-----?????? ????????????=?????? ?????????? ?? ??L L M M M L M M M L 或 P k φk =ρk 当k ρρρ,,,21Λ已知时，由该方程组可以解出1k φ，2k φ，……，kk φ。遗憾的是，用该方程组求解时，需要知道自回归过程的阶数。因此，我们可以对连续的k 值求解Yule-Walker 方程。 对k=1，2，3，… 依次求解方程，得 111?ρ= 1 2 1221222 1111111 ρρρρρ?ρρρ-==- 11 12 2133312 112111111 ρρρρρρρ?ρρρρρρ= …… 上述kk ?序列为AR 模型的偏自相关函数。 如果自回归过程的阶数为n ，则对于k>n 应该有φkk =0。 （１） 偏自相关性是条件相关，是在给定121,,...,j j j k X X X ---+的条件下，j X 和j k X -的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对j X 和j k X -之间未被 121,,...,j j j k X X X ---+所解释的相关的度量。 （２） 由最小二乘原理易得， 1,2,...,k k kk ???是作为j X 关于12,,...,j j j k X X X ---线性回归的回归系数。 （３） 由（2）可得，对于AR （n ）模型，当k>n 时，kk ?=0。（此性质用来在B-J 建 模过程中，识别AR 特征） 1 2211 13 2 12 3112 111 2 12 31 111 1 k k k k k k kk k k k k k ρρρρρρρρρρρρρ?ρρρρρρρρρ----------= L L M M M L M M L L L M M M L M L （４） 对于任何平稳过程，都可以由Yule-Walker 方程定义偏自相关函数，当然也都 是作为自相关函数的函数。 六、自回归和滑动平均过程之间的对偶性 自回归和有限滑动平均过程之间存在对偶关系的特征： 1． 在一个n 阶平稳自回归模型中，a t 可表示为既往X 的有限加权和，换言之，X t 可表为既往a 的无限加权和： 1 ()t t X B a φ-= 同样，在一个m 阶滑动平均模型中，X t 可表示为既往a 的有限加权和，换言之，a t 可表为既往X 的无限加权和： 1 ()t t B X a φ-= 2． 有限的MA 过程具有在某点之外全为零的自相关函数，但由于它等价于一个无限阶的AR 过程，因此其偏自相关函数无限伸延，且被衰减指数和（或）衰减正弦波所控制。与此相反，AR 过程具有在某点之外全为零的偏自相关函数，但是它的自相关函数无限伸延，且有衰减指数和（或）衰减正弦波混合生成。 3． 对于一个有限m 阶自回归过程，其参数不必满足任何条件就能保证可逆性，然而，为满足平稳性，φ(B)=0的根必须都在单位圆外。与此相反，MA 过程的参数不需要满足任何条件就能保证平稳性，然而，为满足可逆性，θ(B)=0的根必须都在单位圆外。 4． 滑动平均过程的谱与对应的自回归过程的谱存在互逆关系。 七、本章小结 零均值时间序列统计分析结果 基于ARMA模型的湖南省工业总产值的时间序列分析 摘要:改革开放以来，湖南省的工业经济增长取得了举世瞩目的成就。故本文以1978-2013年湖南省工业总产值的历史数据为基础，对1978-2009年的数据进行了平稳化处理，并进行了模型的识别、参数估计、显著性检验、优化，建立了适合湖南省工业发展的自回归移动平均模型（ARMA）；然后对2010-2013年湖南省工业总产值进行了拟合预测，以检验模型的实际拟合效果；最后对2014-2016年的工业总产值进行了统计预测，得出ARMA模型是一种很好的短期时间序列预测方法，并从中找出了湖南省工业发展的内在规律，提出了工业发展的相关政策建议。 关键词：ARMA模型；工业总产值；时间序列；短期预测 一、引言 2014年湖南省政府工作报告在回顾2013年工作时指出“工业实力增强，全部工业增加值突破1万亿元，规模工业主营业务收入超过3万亿元”。改革开放以来，湖南省工业总产值从1978年的142.78亿元上升到2013年的40004.55亿元，工业增加值占地区生产总值的比重也由1978年的35.3%上升到2013年的40.8%。2013年，湖南省规模以上工业增加值增长11.6%，规模以上工业新产品产值增长23.2%，占工业总产值比重为13.1%，比上年提高1个百分点。可见湖南省工业不断得到发展，并取得了较为瞩目的成就。但是工业的发展也呈现出一系列问题，工业的发展速度从1978年的121.6%呈现波动性下降，这进一步说明湖南省工业经济在取得重大发展的过程中也付出了极大的代价，特别是环境方面的代价，这在某种程度上阻碍了湖南省工业经济的进一步发展。此外，随着我国经济增长中心由东部沿海地区向西部地区推移，作为我国主要的能源基地和原材料工业基地的中部六省必定成为我国工业经济的高速增长点，而湖南省两型社会（资源节约型和环境友好型）的构建，使其面临了更多的机遇和挑战。从某种程度上说，湖南省工业发展的好坏，将会影响我国未来经济的发展和环境友好型社会的构建，这就迫切需要我们对湖南省工业经济发展的模式做出重新选择。为了探索出湖南省工业发展的内在规律和短期波动情况，促进湖南省工业经济的发展，从而更好定位我国未来经济的发展和构建环境友好型社会，本文运用ARMA模型对湖南省工业总产值序列进行了平稳化处理、模型识别、参数估计、模型检验以及模型优化，最终建立起符合湖南省工业经济发展的疏系数模型（ARIMA模型），并对2014-2016年的工业总产值进行了统计预测。 ARMA模型是国际上比较流行的单一时间序列预测模型，特别适合处理复杂时间序列的预测，且在短期预测时精度较高，故在各个领域运用得也非常广泛。从宏观层面来看，张煜（2006）将ARMA模型应用于我国外贸进出口总额的时间序列的分析中，证实了ARMA模型是一种较好的短期预测模型]1[。夏蓉（2008）以1952-2004年我国工业总产值的历史数据为基础，建立ARMA模型，探析出ARMA 模型能较好的分析和计算我国工业的发展波动情况，我国工业总产值在保持稳定速度增长的同时也存在一些问题]2[。陈德艳（2011）]3[、苏雷（2012）]4[等分别将ARMA模型应用于我国城乡收入差距、土地利用需求量的预测中。从微观层面 基于ARMA模型的短期风速建模 摘要：建立能够正确反映实际风速特性的风速模型对于风力发电系统动态分析十分必要。自回归滑动平均模型（ARMA）是分析时间序列的重要方法。在分析实际风速统计特性和ARMA模型性质的基础上，建立了可用于动态仿真的短期风速模型。仿真结果表明，所得风速序列能够正确反映实际风速的特性。 关键词：短期风速模型，ARMA，V on Karman功率谱 Short-term Wind Speed simulation based on ARMA Model Abstract: It is necessary to build a wind speed model which accurately reflects the characteristics of actual wind for dynamic analysis of wind power generation system. Auto-regressive and moving average model (ARMA) is an important method of time series analysis; based on the analysis of the statistical characteristics of actual wind speed and the nature of ARMA model, this paper established a short-term wind speed model which can be used for dynamic simulation. Simulation results show that the wind speed model correctly reflects the characteristics of the actual wind speed. Keywords: Short-term Wind Speed Model, ARMA, V on Karman power spectrum 1 引言 随着能源问题日益突出，风力发电等以可再生能源为基础的发电技术越来越受到关注。建立能够正确反映实际风速特性的风速模型是研究风力发电系统控制策略以及并网运行特性的重要基础[1]。由于风速的随机性和波动性，系统中的机械设备和电气设备以及电网均会受到扰动，这种扰动对于系统设备的寿命、运行性能以及电网的稳定性都将产生一定的影响。因而，在研究风电场接入电网的功率波动与电能质量等动态特性时，需要建立与之相适应的风速模型。 目前，用于风电系统仿真的风速模型有两种，一是由基本风速、渐变风速、阵风和随机风四种分量合成风速模型[2-4]，其中阵风是风速变化的主要分量；一是由平均风速与湍流风速叠加而成[5-7]。前者无法确定风速变化的具体参数，只能简单描述风速的变化情况，而后者具有特定的参数描述风速变化的特征，是电力系统动态仿真中常用的风速模型。基于对后者模型中湍流风速特性的研究，利 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/2513089805.html, 基于ARMA模型的股价预测及实证研究 作者：刘伟龙 来源：《智富时代》2017年第02期 【摘要】在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化通常都是一个时间序列。然而经济时间序列不同于横截面数据存在重复抽样的情况，它是一个随机事件的唯一记录，这个过程是不可重复的。横截面数据中的随机变量可以非常方便地通过其均值、方差或数据的概率分布加以面熟，但是时间序列中这种描述很不清楚，这就需要用一些特定的计量方法和手段分析其变化规律。ARMA模型在经济预测过程中即考虑了金融市场、股票市场指标在 时间序列上的依存性，又考虑了随机波动你的干扰性，对其指标短期趋势的预测准确率较高，它用有限参数线性模型描述时间的自相关结构，便于进行统计分析与数学处理，因此ARMA 模型是目前常用的用于拟合平稳序列的模型，尤其在金融和股票领域具有重要意义。本文将利用ARMA模型结合民生银行股票的历史数据建模，并运用该模型对招商银行的股票日收盘价进行预测，从而推断其未来趋势。 【关键词】ARMA模型；金融时间序列；平稳序列；收益率；股价预测 一、ARMA模型的理论介绍 ARMA（p，q）模型是由美国统计学家Box GEP和赢过统计学家Jenkins GM在二十世纪七十年代提出的时间序列分析模型，即自回归移动平均模型，一般的ARMA（p，q）模型的 形式可以表示为： yt=c+Φ1yt-1+Φ2yt-2+...+Φpyt-p+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+... +θqεt-q 其中：εt是白噪声序列，p和q是非负整数，AR和MA模型都是ARMA模型的特殊情况，p=0时，ARMA模型为MA（q），q=0时，ARMA模型为AR（p）。ARMA模型针对的是平稳序列，对于非平稳的时间序列，不能直接用ARMA模型去描述，只有经过某种处理后，产生一个平稳的新序列，才可应用ARMA模型。对于含有短期趋势的非平稳序列可以进行差分使非平稳序列变成平稳序列。 二、对民生银行的股票日收盘价的实证分析及预测 在wind资讯数据库选取民生银行（600016）的股票日收盘价数据，时间区间为2013/5/22至2016/1/15共计649个样本。下面旨在利用ARMA模型的建模理论结合软件STATA进行ARMA模型的建立和预测分析。 （一）原始数据的平稳化处理 基于ARMA模型的上证指数预测的实证报告 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 基于ARMA模型的上证指数预测的实证报告 引言 生活中有很多问题都可以看成是时间序列问题，例如银行利率波动、股票收益率变化以及国际汇率变动等问题。所谓的时间序列问题，是指某一统计对象长时间内的数值变化情况。在实际应用中，经常会遇到许多不满足平稳性的时间序列数据，尤其是在经济、金融等领域。因此，能否有效地挖掘非平稳时间序列的有用信息，对于解决一些经济、金融领域的问题显得尤为重要。目前关于预测股票价格的研究文章有很多，这些已有研究大都采用回归分析、组合预测等方法对股票价格未来变动值进行探讨，得出股票价格在未来短期内的变化趋势及预测值，但预测结果并不非常精准，存在较大的误差。模型不仅可用于拟合平稳性时间序列问题，而且对非平稳时间序列问题同样具有良好的拟合效果，尤其是在金融和股票领域应用最为广泛。 本文主要针对 2016-04-18 至 2017-03-15 (共计222个工作日) 期间上证综合指数每日收盘价数据，建立上证综合指数每日收盘价预测模型，采用 模型对上证综合指数每日收盘价进行高精度的拟合预测。研究结果表明，上证综合指数每日收盘价在短期内将保持平稳上涨，不会有大幅涨跌的情况。研究上证综合指数每日收盘价的短期变动情况了解股票市场变化及制定投资决策具有现实意义，能够为投资者和决策者提供可靠的信息服务及决策指导。 1 模型的理论介绍及平稳性检验 1.1模型建模流程 1）时间序列的预处理，用模型预测要求序列必须是平稳的，若所给的序列是非平稳序列，则必须对所给序列做预处理，使其为平稳非白噪声序列。 2）计算出样本自相关系数和偏自相关系数的值。 ARMA模型及分析 本次试验主要是通过等时间间隔，连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一个时间序列。试对该时间序列进行ARMA模型拟合以及模型的优化，最后进行预测。以下本次试验的数据： 表1 连续读取70个化学反应数据 47 64 23 71 38 64 55 41 59 48 71 35 57 40 58 44 80 55 37 74 51 57 50 60 45 57 50 45 25 59 50 71 56 74 50 58 45 54 36 54 48 55 45 57 50 62 44 64 43 52 38 59 55 41 53 49 34 35 54 45 68 38 50 60 39 59 40 57 54 23 资料来源：O’Donovan, Consec. Readings Batch Chemical Proces, https://www.wendangku.net/doc/2513089805.html,ler et al. 下面的分析及检验、预测均是基于上述数据进行的，本次试验是在Eviews 6.0上完成的。 一、序列预处理 由于只有对平稳的时间序列才能建立ARMA模型，因此在建立模型之前，有必要对序列进行预处理，主要包括了平稳性检验和纯随机检验。 序列时序图显示此化学反应过程无明显趋势或周期，波动稳定。见图1。 图2 化学反应过程相关图和Q统计量 从图2的序列的相关分析结果:1. 可以看出自相关系数始终在0周围波动，判定该序列为平稳时间序列2.看Q统计量的P值：该统计量的原假设为X的1期，2期……k期的自相关系数均等于0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于0，因此如图知，该P值在滞后2、3、4期是都为0,所以拒接原假设,即序列是非纯随机序列,即非白噪声序列(因为序列值之间彼此之间存在关联,所以说过去的行为对将来的发展有一定的影响,因此为非纯随机序列,即非白噪声序列)。 二、模型识别 由于检验出时间序列是平稳的，且是非白噪声序列，因此可以建立模型，在建立模型之前需要识别模型阶数即确定阶数。阶数确定要借助于时间序列的相关图，即序列的自相关函数和偏自相关函数，并根据他们之间的理论模式进行阶数最后的确定。 下面给出自相关函数和偏自相关函数之间的理论模式： 基于ARＭＡ模型的社会融资规模增长分 析 --——AＲMA模型实验 第一部分实验分析目的及方法 一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质，则可用经典的AＲMA模型进行建模和预则.但是，由于金融时间序列随机波动较大，很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。通过对数化及差分处理后，将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列，可以采用AＲMＡ模型进行建模和分析。 第二部分实验数据 2．1数据来源 数据来源于中经网统计数据库.具体数据见附录表5．1 。 2.２所选数据变量 社会融资规模指一定时期内(每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额,或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定,反映金融体系对实体经济的资金量支持。 本实验拟选取20０5年11月到2０14年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMＡ模型，并利用该模型进行分析预测。 第三部分 ARMＡ模型构建 3。1判断序列的平稳性 首先绘制出M的折线图，结果如下图： 图3．1 社会融资规模Ｍ曲线图 从图中可以看出,社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。此外,ｍ在每年同时期出现相同的变动趋势,表明m还存在季节特征.下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验. 为了减少ｍ的变动趋势以及异方差性,先对m进行对数化处理,记为lｍ，其时序图如下: 图3。2 lｍ曲线图 对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性,下面观察lｍ的自相关图 针对乳制品月产量数据的时间序列分析 摘要：随着经济的发展，乳制品产业对国民健康水平的影响逐渐加大。该文从乳制品行业月产量的角度出发，采用时间序列数据分析方法，对我国自1990年至2010年以来的乳制品行业月产量进行了建模分析，并在得到模型后对其进行了预测。从分析结果来看，我国的乳制品产量在2004年发生突变，特定的月份也会对其产生影响，并且在不同的时间，影响会发生变化。 关键词：乳制品；月份特征；产量突变；产量预测； 背景： 纵观自1949年发展至今，整个行业可以分为四个发展阶段： 1、缓慢发展阶段（1949~1977）：这段时期，我国乳产业受国家经济状况制约发展缓慢。 2、迅速扩张阶段（1978~1992）：由于开始实行多种所有制进行奶牛饲养与奶制品加工，原奶与乳品的产量、种类、质量都有明显的提高 3、结构调整阶段（1993~1998）：1993年开始，乳品供给增长明显快于消费增长速度，产能出现比较严重的过剩，乳粉出现滞积，部分乳品企业发展艰难。 4、高速增长阶段（1999~至今）：1998年起，乳制品产业经过产品结构大力调整，经济效益明显提高，随着消费需求的迅速增长，乳制品产量也连年增长，乳产业已经从一个传统产业摇身一变成为一个朝阳产业。 从市场格局上看，乳制品企业可以分为4类：1、以伊利、蒙牛为代表的全国性企业；2、以光明、三鹿、维维等为代表的区域性企业；3、以北京三元、济南佳宝为代表的本省省会企业；4、以雀巢为代表的外资企业。在行业中，企业之间的竞争非常激烈，特别地，在近十年中市场竞争引起了市场格局的极大改变。 本文将选取1993年1月起到2010年6月的月产量数据进行时间序列分析，尝试建立该时序的时间序列模型及其详细的建立过程，并对模型结果给出必要的经济意义解释。 建立模型过程： 1、建模过程使用eviews软件，将1990年1月到2010年6月总计246个月度数据输入eviews中，Yt即是产量月度序列，现作出散点图如下： 基于ARMA模型的 国内生产总值分析 班级：金融工程3班 学号：2012302350006 姓名：严珂 一、案例分析目的 经济运行过程从较长时间序列看，由于市场机制的作用，呈现一定的规律，这对预测提供了依据。目前，预测经济运行时间序列的理论与方法较多，而ＡＲＭＡ模型在经济预测过程中既考虑了经济现象在时间序列上的依存性，又考虑了随机波动的干扰性，对经济运行短期趋势的预测准确率较高。由于国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。不仅能够在总体上度量国民产出和收入规模，也能够在整体上度量经济波动和经济周期状态，因此，对GDP进行精确的拟合和分析对分析一国的宏观经济发展趋势具有重要意义。 我国实行改革开放政策后，逐步走上了市场化的经济道路，在高效率的市场经济机制推动下，我国的GDP的产出规模呈现增长模式，说明我国经济产出能力的不断增强，规模的不断变大。虽然经济的发展有着诸多不确定性，但是这并不影响在既定模式下对GDP产出规模的大概预测。在近十年的经济发展中，我国GDP的规模平稳较快发展，尤其在当前经济形势没有大的危机的情况下，每年的GDP产出规模是一个可以进行较为精确预测的数据。所以，在数据可以预测的情况下，如何以最为精确的方式预测到GDP产出规模是国家管理工作的基础和前提。 本案例拟选取1997年1月到2007年10月的国内生产总值的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。 二、实验数据 我们以GDP为研究标的，在数据的选取上，我们选择了1994年3月至2013年12 基于ARMA模型的社会融资规模增长分析 ————ARMA模型实验 第一部分实验分析目的及方法 一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质,则可用经典的ARMA模型进行建模和预则。但是, 由于金融时间序列随机波动较大,很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。通过对数化及差分处理后,将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列,可以采用ARMA模型进行建模和分析。 第二部分实验数据 2.1数据来源 数据来源于中经网统计数据库。具体数据见附录表5.1 。 2.2所选数据变量 社会融资规模指一定时期内（每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额，或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定，反映金融体系对实体经济的资金量支持。 本实验拟选取2005年11月到2014年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行分析预测。 第三部分 ARMA模型构建 3.1判断序列的平稳性 首先绘制出M的折线图，结果如下图： 图3.1 社会融资规模M曲线图 从图中可以看出，社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。此外，m在每年同时期出现相同的变动趋势，表明m还存在季节特征。下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验。 为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下： 图3.2 lm曲线图 对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面观察lm的自相关图 表3.1 lm的自相关图 上表可以看出，该lm序列的PACF只在滞后一期、二期和三期是显着的，ACF随着滞后结束的增加慢慢衰减至0，由此可以看出该序列表现出一定的平稳性。进一步进行单位根检验，由于存在较弱的趋势性且均值不为零，选择存在趋势项的形式，并根据AIC自动选择之后结束，单位根检验结果如下： 表3.2 单位根输出结果 Null Hypothesis: LM has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=12) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -8.674646 0.0000 Test critical values: 1% level -4.046925 5% level -3.452764 10% level -3.151911 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. 单位根统计量ADF=-8.674646小于临界值，且P为0.0000，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。 由于趋势性会掩盖季节性，从lm图中可以看出，该序列有一定的季节性，为了分析季节性，对lm进行差分处理，进一步观察季节性： 图3.3 dlm曲线图 观察dlm 的自相关表： 表3.3 dlm的自相关图 Date: 11/02/14 Time: 22:35 Sample: 2005M11 2014M09 Included observations: 106 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ****|. | ****|. | 1 -0.566 -0.566 34.934 0.000 .|* | **|. | 2 0.113 -0.305 36.341 0.000 .|. | *|. | 3 0.032 -0.093 36.455 0.000 *|. | *|. | 4 -0.084 -0.114 37.244 0.000 .|* | .|. | 5 0.105 0.015 38.494 0.000 *|. | *|. | 6 -0.182 -0.182 42.296 0.000 .|* | *|. | 7 0.105 -0.156 43.563 0.000 .|. | *|. | 8 -0.058 -0.171 43.954 0.000 .|. | *|. | 9 -0.019 -0.196 43.996 0.000ARMA模型的应用
基于ARMA模型的短期风速建模
基于ARMA模型的股价预测及实证研究
基于ARMA模型的上证指数预测的实证分析报告
时间序列ARMA模型及分析
时间序列分析——ARMA模型实验
基于时间序列arma模型的分析
ARMA模型案例分析
时间序列分析——ARMA模型实验(1)