人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 (10)二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1. 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种: ① 当2 12121c c b b a a ==时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) ② 当2 12121c c b b a a ≠=时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) ③ 当 2121b b a a ≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解: ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x (这个解可用加减消元法求得) 2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。 3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解, ②无解, ③有唯一的解 解: ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时,方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a =1∶2≠7∶c 时,方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时,方程组有唯一的解, 即当a ≠10时,c 不论取什么值,原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时,方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数? 解:把a 作为已知数,解这个方程组
第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有: 1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置,确定最值的具体数据,在进行一般情况下的推证。 2.几何定理(公理)法:应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法:揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图,在锐角ABC ?中,24=AB ,45=∠BAC ,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BN BM +的最小值 。 (陕西省中考题) 思路点拨 画折线为直线,综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1
例2 【例2】 如图,在ABC ?中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ,则线段EF 的最小值( )。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 (兰州市中考题) 思路点拨 设O 与AB 相切与T ,连OC 、OT,EF 为O 直径,则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图,正方形ABCD 的边长为4cm ,点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点,连接AP ,过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ,设BP 的长为x cm ,CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值; (2) 当4 1 = y cm 时,求x 的值. (河南省中考题) 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式,由此导出y 的最大值 例3
培优竞赛训练一 1. 有理数a ,b ,c 在数轴上对应点位置如图所示,用“>”或“<”填空: (1)|a |______|b |; (2)a +b +c ______0: (3)a -b +c ______0; (4)a +c ______b ; (5)c -b ______a . 2. 已知321===c b a ,,,且c b a >>,那么c b a -+= . 3. 已知d c b a 、、、是有理数,169≤-≤-d c b a ,,且25=+--d c b a , 那么=---c d a b . 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ,则=+2 2y x . 5. a 与b 互为相反数,且54=-b a ,那么1 2+++-ab a b ab a = . 6. 设0=++c b a ,0>abc ,则c b a b a c a c b +++++的值是( ). A .-3 B .1 C .3或-1 D .-3或1 7. 若|x |=x ,并且|x -3|=3-x ,请求出所有符合条件的整数x 的值,并计算这些值 的和. 8. 已知m ,n 为整数,且|m -2|+|m -n |=1,求m +n 的值. 9. |x -1|+|y +2|+|z -3|=0,则(x -1)(y -2)(z +3)的值为( ). (A)48 (B)-48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题: (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( ). (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数,且0=++c b a ,那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面: 1.从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能. 2.有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解. 阅读与思考 【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住 其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同 形状的共有____________种。 (“五羊杯”竞赛试题) x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为 ........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究: 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为___________km。 (2)请解释图中点B的实际意义。 图像理解 (3)求慢车和快车的速度。 (4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。 问题解决 (5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时? (江苏省南京市中考试题)解题思路:函数图像包含了两种不同层次的信息:有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息,也有在0~4小时之间以及稍后的一段时间内,快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
八年级 第1题:下列命题: (1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等; (2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等; (3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等; (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案:B 解析: (1)全等三角形的中线、高、角平分线对应相等,正确 (2)可以先证明两边的夹角相等,再证明两三角形全等,正确 (3)可以用AAS或ASA判定两个三角形全等,正确 (4)参考等高模型,两三角形不一定全等,错误 第2题:如图,在△ABC中,IB,IC分别平分∠ABC和∠ACB,过点I作DE ∥BC,分别交AB于D,交AC于E,给出下列结论:①△DBI是等腰三角形; ②△ACI是等腰三角形;③AI平分∠BAC;④△ADE周长等于AB+AC,其中正确的是() A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
答案:C 解析: ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点,BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题:已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( ) A .6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案:B 解析: 根据当11AC BC =,2CC AC =,3BC AB =,44CC AC =,5AC AB = 6AC AB =,77CC BC =时,都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条
例1 (1)本题先结合平行四边形性质,根据ASA得出△ABM≌△CDN,从而得出DN=BM,AM=CN;再由三角形中位线得出CN=MN,BM=DN=2NF,同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC.
(2)用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 (三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC); ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定,任取两个进行推理.
解:根据平行四边形的判定,符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种:(1)(2);(3)(4);(5)(6);(1)(3);(2)(4);(1)(5);(1)(6);(2)(5);(2)(6)共九种. 例3熟记平行四边形的判定,其中对角线互相平分,是平行四边形,延长AC 后,证明AD∥BC,然后再证明三角形全等,证得对角线互相平分,得到结论. 证明:延长AC,在C上方取N,A下方取M,使AM=AE,CN=CF,则由已知可得PM=PN,易证△PME≌△PNF,且△AME,△CNF都是等腰三角形. ∴∠M=∠N,MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC, 可证得△PAE≌△PCF,得PA=PC, 再证△PED≌△PFB.得PB=PD. ∴ABCD为平行四边形. 例4(1)先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G,由EG∥CD,AB∥CD,可得,CD∥GE,再有BE∥AG,那么四边形ABEG是平行四边形,就可得,AB=GE=CD,而GE∥CD,会出现两对内错角相等,故△EGF≌△DCF,即EF=DF.
奥数培训之趣味数学 生活中的数学: 1、诗仙李白豪放豁达,有斗酒诗百篇的美名,为唐代“饮中八仙”之一, 民间流传李白买酒歌谣,是一道有趣的数学问题:李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一抖,三遇店和花,喝完壶中酒。试问:酒壶中原有多少酒? 解:设酒壶中原有酒x 斗,“三遇店和花”意思是李白三遇店,同时也三见花。 第一次见店又见花后,酒有:12-x ; 第二次见店又见花后,酒有:1-122)( -x ; 第三次见店又见花后,喝完壶中酒,所以 依题意,得 ()[]0111222=---x 解方程,得 87= x 答:酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,我们的羊数就一样了”,求两个牧童各有多少只羊。 解:设甲有x 只羊,乙有y 只羊。依题意,得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组,得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只,乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快,已知60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完.那么,若在120天里将草吃完,则需要( )头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c ,根据60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完,列方程组,用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c 。 根据题意,得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得, 则若在120天里将草吃完,则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A .一样多. B .多了. C .少了. D .多少都可能. 解:设杯中原有水量为a ,依题意可得, 第二天杯中水量为a ×(1-10%)=0.9a ; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C . 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水,乙杯中盛有m 毫升蓝墨水,从甲杯倒出a 毫升到乙杯里(0<a <m ),搅匀后,又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里,则这时( )。 A .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少. B .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多. C .甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同. D .甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定. 解:从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后: 乙杯中含红墨水的比例是a m a +, 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +, 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后: 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化: (一)几个小知识点的梳理与强化:小知识点是常考的考点,也是易错点。理清小知识点,减少失误 1.字母可以表示任意有理数,不能说a 一定是正数,-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ;平方等于本身的数是 ;立方 等于本身的数是 ;倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|-x |=|2 1-|,则x =______; 若|x |=|-4|,则x =____; 若-|x|=-|2|,那么x=___;若-|-x|=-|2|,那么x=____ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ,那么a=____;若 x 2=(-2)2,则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。(-2)3的底数是_______,结果是_______; -32的底数是_______,结果是_______;n 为正整数,则(-1)2n =_ __, (-1) 2n +1=_ __。计算: (1) = ; (2) = ; (3) = ;(4) = (5) = 6.a 的相反数是 ;a+b 的相反数是 ;a-b 的相反数 是 ;-a+b-c 的相反数是 ; 变式训练:若a <b ,则∣a-b ∣= ,-∣a-b ∣= (二)突破绝对值的化简: 7.绝对值即距离,则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为:(体现分类讨论的思想) (a >0) |a| = (a =0 ) (a <0 ) 9.绝对值的非负性: 162=a