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2017全国初中数学联赛

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷

第一试

一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）

1. 已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则

32b c

a b

++的值为（）. A. 2 B. 1 C. 0 D.1-

2-1-c-n-j-y

2. 已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，

1110135

a b c ++=+++，则()()()222

135a b c +++++的值为（）.

A. 125

B. 120

C. 100

D. 81

3. 若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的

个数为（）.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【出处：21教育名师】

4. 已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222

a b c ++的值为（）.

A. 424

B. 430

C. 441

D. 460

5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（）.

1023 B.103

C.32

D.33 21*cnjy*com

6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，

点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，

45DCE ∠=?，则DE 的值为（）.

A. 56

B. 58

C. 60

D. 62

二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）

1. 使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.

2. 已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<

者，则θ的最大值为________.

3. 设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b

=+为质数.则p 的值为________.

4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个

数之和的最小值为________.

21·cn ·jy ·com

第二试

一、

（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十

位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值.

2·1·c ·n ·j ·y

二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分

ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.

21·世纪*教育网

三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，且55a b b c

++为有理数，求

222

a b c a b c

++++的最小值.

P D

E F

参考答案

第一试

一、

选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）

1. 已知实数,,a b c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则

32b c

a b

++的值为（）. A. 2 B. 1 C. 0 D.1- 答案：B 对应讲次：所属知识点：方程

思路：因为所求分式的特点可以想到把2a b +，3b c +看成一个整体变量求解方程. 解析：已知等式可变形为()()223390a b b c +++=，()()32372a b b c +++=，解得218a b +=，318b c +=，所以

312b c

a b

2. 已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，

1110135

a b c ++=+++，则()()()222

135a b c +++++的值为（）.

A. 125

B. 120

C. 100

D. 81 答案：C 对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.

解析：设1x a =+，3y b =+，5z c =+，则10x y z ++=，

111

0x y z

++=， 0xy xz yz ∴++=，由()()2

2222100x y z x y z xy xz yz ++=++-++=.

则()()()222

135100a b c +++++=.

21教育名师原创作品

3. 若正整数,,a b c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(),,a b c 为好数组.那么好数组的

个数为（）.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 答案：B 对应讲次：所属知识点：数论

思路：先通过a b c ≤≤且()2abc a b c =++的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.

解析：若(),,a b c 为好数组，则()26abc a b c c =++≤，即6ab ≤，显然1a =或2. 若1a =，则()21bc b c =++，即()()226b c --=，可得()(),,1,3,8a b c =或()1,4,5，共2个好数组.

若2a =，则2b =或3，可得2,4b c ==；5

3,2

b c ==，不是整数舍去，共1个好数组. 共3个好数组()()()(),,1,3,8,1,4,5,2,2,4a b c =.

4. 已知正整数,,a b c 满足26390a b c --+=，260a b c -++=，则222

a b c ++的值为（）.

A. 424

B. 430

C. 441

D. 460 答案：C 对应讲次：所属知识点：方程

思路：由已知等式消去c 整理后，通过,a b 是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.

解析：联立方程可得()()2293175a b -+-=，则()2

3175b -≤，即16b ≤≤. 当1,2,3,4,5b =时，均无与之对应的正整数a ；

当6b =时，9a =，符合要求，此时18c =，代入验证满足原方程. 因此，9a =，6b =，18c =，则222441a b c ++=.

https://www.wendangku.net/doc/2013303653.html,

5. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AB =，4BC =，2CD =，1AD =，则梯形的面积为（）.

A.1023

B.103

C.32

D.33 答案：A 对应讲次：

所属知识点：平面几何

思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来. 解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则

3BE BC CE BC AD AB =-=-==，

则△ABE 是等腰三角形，3BE AB ==，2AE =，经计算可得42

AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()142102

14233

?+?=.

21*cnjy*com

6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，

点E 在AB 上，若42AE =，28BE =，70BC =，

45DCE ∠=?，则DE 的值为（）.

A. 56

B. 58

C. 60

D. 62 答案：B 对应讲次：

所属知识点：平面几何

思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.

解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90?至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，EG ED ∴=. 设DE x =，则28DF BG x ==-，98AD x =-. 在Rt △EAD 中，有()2

224298x x +-=，解得58x =.

21教育网

B C

E A D

H B

二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）

1. 使得等式311a a ++=成立的实数a 的值为________.

答案：8 对应讲次：所属知识点：方程

思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式. 解析：易得()

211a

a ++=.

令1x a =+，则0x ≥，代入整理可得()()2

310x x x -+=，解得1230,3,1x x x ===-，舍负，即1a =-或8，验证可得8a =.

【来源：21cnj*y.co*m 】

2. 已知△ABC 的三个内角满足100A B C <<

者，则θ的最大值为________. 答案：20? 对应讲次：所属知识点：代数

思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：100C θ≤?- ，C B θ≤-，

B A θ≤-()()()1

31002206C C B B A θ∴≤?-+-+-=????

? 又当40,60,80A B C =?=?=?时，20θ=?可以取到. 则θ的最大值为20?.

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3. 设,a b 是两个互质的正整数，且38ab p a b

=+为质数.则p 的值为________.

答案：7 对应讲次：所属知识点：数论

思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a b +、a 、b 两两互质来拆分3

8ab a b

+的

可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.

解析：因为,a b 互质，所以a b +、a 、b 两两互质，因为3

8ab a b +质数，所以

318ab p a b

?=?

?=?+?可得1a b ==，4p =，不是质数舍； 38

1ab p a b

?=?

?=?+?可得7a =，1b =，7p =，符合题意. 则7p =.

4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个

数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论

思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.

解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()1

,,,14,*k k k i i i k

i k

a a a k k N ++==≤∈∑∑ ，依抽

屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34. 由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.

第二试

一、

（本题满分 20 分）设,A B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十

位数字所得，如果22A B -是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论

思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a b +，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.

解析：设()101,9,,A a b a b a b N =+≤≤∈，则10B b a =+，由,A B 不同得a b ≠，()()()()2

221010911A B a b b a a b a b -=+-+=??+-.

………5分

由22A B -是完全平方数，则a b >，()()11|a b a b +-，可得11a b +=， ………10分

a b -也是完全平方数，所以1a b -=或4.

………15分

若1a b -=，则6a =，5b =；若4a b -=，则没有正整数解. 因此6a =，5b =，65A =.

………20分

【来源：21·世纪·教育·网】

二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分ADB ∠，DF 平分

ADC ∠，BE DE ⊥，CF DF ⊥，P 为AD 与EF 的交点.证明：2EF PD =.

对应讲次：

所属知识点：平面几何

思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，

所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF ∠=?，P D

E F

此时若能得出EP PD =，则自然可以得到结论.

解析：由DE 平分ADB ∠，DF 平分ADC ∠，可得90EDF ∠=?. ………5分由BE DE ⊥得BE ∥DF ，则EBD FDC ∠=∠.

………10分又BD DC =，90BED DFC ∠=∠=?，则△BED ≌△DFC ，BE DF =. ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，PED EDB EDP ∠=∠=∠，EP PD =. ………20分又△EDF 是直角三角形，2EF PD ∴=.

………25分

三、（本题满分 25 分）已知,,a b c 是不全相等的正整数，且55a b b c

++为有理数，求

222

a b c a b c

++++的最小值.

答案：3 对应讲次：所属知识点：数论

思路：通过,,a b c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到50b c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,a b c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值. 解析：50b c -≠，由()(

)()2

5555

5555a b

b c

ab bc b

ac a b b c b c b c

+--+-?+=

=--+是有理数，

可得2b ac =.

………10分 ()()

2222a c b

a b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.

………15分

不妨设a c <，若1a =，2c b =，因为a b ≠，则()113a c b b b +-=+-≥，取等号当且仅当2b =时.

………20分

若2a ≥，因为1c b ≠≠，则()1243a c b a b b a +-=+-≥+≥>.

所以222a b c a b c

++++的最小值为3，当1a =，2b =，4c =时.

………25分

https://www.wendangku.net/doc/2013303653.html,