1.3.1单调性与最大最小值练习题及答案解析
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1. 函数 f(x)= 2x 2- mx + 3,当 x € [ — 2,+^ )时，f(x)为增函数，当 x € ( — ^，― 2]时， 函数f(x)为减函数，贝U m 等于( )
A . — 4
B .— 8
C . 8
D .无法确定
解析：选B ?二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.
由题意得函数的对称轴为 x =— 2, 则m =— 2,所以 m = — 8.
2.
函数f(x)在R 上是增函数，若 a + b w 0,则有(
) A . f(a) + f(b)<— f(a)— f(b)
B. f(a)+ f(b)>— f(a)— f(b)
C. f(a) + f(b) w f( — a) + f( — b)
D. f(a) + f(b)>f(— a)+ f( — b)
解析：选C.应用增函数的性质判断.
a +
b w 0,.°. a w — b , b w — a.
又???函数f(x)在 R 上是增函数，
??? f(a)w f(— b), f(b)w f(— a).
f(a) + f(b) w f(— a) + f (— b).
m , 0)上为减函数的是(
) A .①
B .④
C .①④
D .①②④ 解
析： 选A.①丫=亠=红灶=1 +丄. x — 1 x — 1 x — 1
其减区间为(一a, 1), (1 , + m ).
11 1
② y = x 2 + x = (x + 2)— 4,减区间为(一a,— 2).
③ y =— (x + 1)2，其减区间为(一1 ,+a ),
④ 与①相比，可知为增函数.
4.若函数f(x) = 4x 2— kx — 8在［5,8］上是单调函数，则 k 的取值范围是 ________ .
解析：对称轴x = k ，则k w 5,或8，得k w 40,或k >64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8
答案：( — a, 40］ U ［64 ,+a )
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1 .函数y =— x 2的单调减区间是(
) A . ［0,+a ) B . (— a, 0］
C . ( —a, 0)
D . (— a,+a )
解析：选A.根据y = — x 2的图象可得.
2.若函数f(x)定义在［—1,3］上，且满足f(0) () A .单调递增 B .单调递减 C .先减后增 D .无法判断 解析：选D.函数单调性强调 ％ , ［ — 1,3］，且％ , X 2具有任意性，虽然f(0) 不能保证其他值也能满足这样的不等关系. 3. 已知函数y = f(x), x € A ，若对任意a , b € A ，当a A .有且只有一个 B .可能有两个 3.下列四个函数：① y = x :② y = x 2 + x ； x — 1 ③ y =— (x + 1)2:④ y =^ + 2?其中在(一 1 — x C.至多有一个 D.有两个以上 解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数.若y= f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)= 0至多有一个根. 4. 设函数f(x)在(-m,+m )上为减函数，则() A . f(a)> f(2a) B. f(a2)v f(a) C. f(a2+ a)v f(a) D . f(a2+ 1)v f(a) 解析：选D. ?/ a2+ 1 —a= (a-》2 + 3> 0, ??? a? + 1 > a, ??? f(a2+ 1) v f(a),故选D. 5. 下列四个函数在(一a, 0)上为增函数的是() ①y=凶；②y=凶;③y=—右;④y= x+右. X |X| |x| A .①② B .②③ C.③④ D .①④ 解析：选C.①y=|x| =—x(x v 0)在(-a, 0)上为减函数； ②y=凶=—1(x v 0)在(-a, 0) 上既不是增函数，也不是减函数； x 2 x ③y=—门=x(x v 0)在(—a, 0)上是增函数； 凶 ④y= x+ x= x—1(x v 0)在(—a, 0)上也是增函数，故选C. |x| 6. 下列说法中正确的有() ①若X1, X2€ I，当X1< X2 时，f(X1) v f(X2)，则y= f(x)在I 上是增函数； ②函数y= x2在R上是增函数； ③函数y=—1在定义域上是增函数； X 1 ④y=—的单调递减区间是(一a, 0) u (0,+a ). X A . 0个B. 1个 C. 2个 D. 3个 解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值X1, X2,强调的是任意，从而①不对；②y = X2在x> 0时是增函数，X W 0时是减函数，从而y = x2在整个定义域上不 1 具有单调性；③y=—丄在整个定义域内不是单调递增函数.如—3v 5,而f(—3) >f(5):④y X =1的单调递减区间不是(一a, 0)U (0 , + a )，而是(—a, 0)和(0 , + a )，注意写法. X 7. ___________________________________________________________ 若函数y=——在(0,+a )上是减函数，则b的取值范围是_____________________________________ . X 解析：设0v x1v x2,由题意知 b b bx1 —X2\ 一 f(X1) —f(X2) =—_+_= > 0, X1 X2 X1 X2 ■/ 0v x1v x2,二x1—x2v 0, x1X2> 0. ? b v 0. 答案：(—a, 0) &已知函数f(x)是区间(0，+a )上的减函数，那么f(a2—a+ 1)与1)的大小关系为 解析：???a2-汀1=(-y+4>4,? f(a2—a+ 1) w f?. ax —k 1 12.设函数y = f(x)= —在区间(一2,+^ )上单调递增，求 a 的取值范围. x + 2 解：设任意的 X 1 , X 2 € (— 2,+ 8 )，且 X 1 v X 2, “ ax 1 + 1 ax 2+ 1 ■ f(X1) — f(X2) = X 1+ 2 - X 2+ 2 (ax 1 + 1 弹2+ 2 — (ax ?+ 1 列+ 2 ) (X 1 + 2 ]X 2+ 2 ) =(X 1 — x 2 (2a — 1 . (X 1+ 2 1(X 2+ 2 y ■ f(x)在(—2,+ )上单调递增， ?- f(X 1) — f(X 2) v 0. 答案：f(a 2— a + 1)w 9. y =— (x — 3)|x|的递增区间是 解析： y =— (x — 3)|x|= —x 2 + 3x x 2— 3x 为[0，|]. ，作出其图象如图，观察图象知递增区 x W 0 3 2] 10 .若 f(x) = (1) 求b 与c 的值； ⑵试证明函数f(x)在区间(2,+^ )上是增函数. 解：(1) ?/ f(1)= 0, f(3) = 0, 1 + b + c = 0 ?- ，解得 b = — 4, c = 3. 9+ 3b +c = 0 2 (2) 证明：■/ f(x)= x — 4x + 3, ???设 x 1, X 2€ (2,+^)且 x 1v x 2, 2 2 f(X 1)— f(X 2)=(X 1 — 4X 1 + 3) —(X 2 — 4X 2 + 3) 2 2 =(x 1 — X 2)— 4(X 1 — X 2) =(X 1 — X 2)(X 1 + X 2 — 4), ■/ x 1 — x 2v 0, x 1> 2, x 2> 2, ? ? X 1 + X 2 — 4> 0. 二 f(x 1)— f(X 2) v 0,即 f(X 1)V f(X 2). ?函数f(x)在区间(2 ,+8)上为增函数. 11.已知f(x)是定义在[—1,1]上的增函数，且f(x — 1) v f(1 — 3x)，求x 的取值范围. —w —W 答案：［0, x 2 + bx + c ,且 f(1) = 0, f(3) = 0. 解：由题意可得 —1 < 1 — 3x w 1, x — 1 v 1 — 3x 0< x < 2 2 即 0w x w 3， ??? 0 w xv - 2 ... XLX2 2a—J V 0, x i+ 2 X2 + 2 X i —X2 V 0, X i+ 2> 0, X2+ 2 > 0, 2a —1 > 0,. a> 二 ' 2'