《数值分析》第一章答案
习题1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；
（2）*
2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；
（3）*
3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4； （4）*
4x ＝3
1
， 4x ＝0.333 3；
（5）*
5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*
6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。 解：(1) =*
1x 451.023 =1x 451.01
=-1*1x x 0.0131
10
2
1-?≤
，1x 具有4位有效数字。→1x 451.0
(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18
=-
24
10
21x x 0.045 18045113.0-=0.000 0673
10
2
1-?<
2x 具有2位有效数字，045
.02
-→x
(3)=*
3x 23.4213 =3x 23.4604
=-3*
3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231
10
2
10391.0-?≤
3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)
(4) =
*
4x 3
1 ，=4x 0.3333
=-4*
4x x 4
10
2
1000033.0-?<
,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333
(5) =*
5x 23.496，=
5
x 23.494
=-5
*5
x x =-494.23496.232
10
21002.0-?<
5x
具有4位有效数字，
→
5x 23.50 (不能写为23.49)
(6) =
*
6x 5
1096?7
10
96.0?=
=6x 5
10
1.96?7
10
961.0?=
=-6*6
x x 7
10
001.0-?7
2
10
102
1--??≤
6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x
(7) =*7x 0.00096 3
71096.0-?=x
3
*710
96.0-?=x =-7*
7x x 0 7x 精确
(8) 8700*
8-=x 8x 3.8700-=
8*8
x x -0
10
2
13.0?≤
=
8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确
2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83;
(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？ 解：(1)
1x =0.1062，2x =0.947，1x +2x =1.0532
)(1x e 4
10
2
1-?≤
，)(2x e 3
10
2
1-?≤
)()()(2121x e x e x x e +≈+≤
+≤)()(21x e x e 3
4
10
2
110
21--?+
?
=0.00055
*
2*1x x +∈[1.053200055
.0-，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375] (2)
1x =23.46， -=2x 12.753
=
-21x x 10.707
)(1x e 2
10
2
1-?≤
，)(2x e 3
10
2
1-?≤
)()()(2121x e x e x x e -≈-≤)
()(21x e x e +
3
2
10
2
110
2
1--?+
?≤
=0.0055
∈-*
2*
1x x [10.7070055
.0-, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
(3)
=1x 2.747
=2x 6.83
=21x x 18.76201,
≤
)(1x e 3
10
2
1-?, )(2x e 2
10
2
1-?≤
)()()()()(2112211221x e x x e x x e x x e x x x e +≤+≈
??=
??
+??
≤---2
2
3
10
2
110
2
1747.210
2
183.6(0.683+2.747)=0.01715
]77916.18,74486.18[]01715.076201.18,01715.076201.18[*
2*1=+-∈x x
(4)
=1x 1.473 ,
=2x 0.064 ,
=21x x 23.015625
)(1x e 3
102
1-?≤, )(2x e 3
10
2
1-?≤
)()(1)(222
1
12
2
1
x e x x x e x x x e -
≈
=
+≤
)()(1)(
222
1
12
2
1
x e x x x e x x x e 3
2
3
10
2
1064
.0473.110
21064
.01--??
+
??
=0.187622
∈*2
*1
x x [23.015625187622.0-, 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247] 3.对一元2次方程01402
=+-x x ，如果≈39919.975
具有5位有效数字，
求其具有5位有效数字的根。
解：01402
=+-x x
399
400402
=+-x x
=*
1x 39920+
, =*
2x 399
20139920+
=
-
记
=
*
x 399
,=x 19.975 )(x e 3
10
2
1-?≤
=1x 20x +=20+19.975=39.975 )()(21x e x e =3
10
21-?≤
∴
1x 具有5位有效数字。
=
2x
025*******
.0975
.391975
.19201201==
+=
+x
-
≈)(2x e 2
)20()(x x e + ，
≤+≈
2
2)
20()
()(x x e x e 6
6
2
310
2
110
313.0975
.3910
2
1---?<
?=?
因而
2x 具有
5位有效数字。
≈2x 0.025016
也可根据
=21x x 1
得到 =
=
1
21x x 025*******
.0975
.391
= 21
12)
()(x x e x e -
≈ 2
6
21
12975
.3910
2
1
)
()(-?≤≈
x x e x e
4.若937.01≈x 具有3位有效数字，问1x 的相对误差限是多？设
x x f -=
1)(，求)(1x f 的绝对误差限和相对误差限。
解：=1x 0.937
)(1x e 3
10
2
1-?≤
≤=
111)()(x x e x e r 3
3
10
534.0937
.010
2
1
--?=?
x
x f -=
1)( ,x x f --=
'121)(
='≈)()()(x e x f f e 21-
)(11x e x
-?
,
≈
))((1x f e 2
1)(1111x e x -?
3
3
10
996.010
21937
.0112
1--?=??-?≤
-≈=
f
f e f e r )()()(11
21x e x
-?
，
≈
))((1x f e r 21
≤
-?
)(11
11
x e x 3
10
2
1937
.0112
1-??-?
=3
10
97.300397.0-?=
5.取
42.101.2≈，
41.100.2≈试按00
.201.2-
=A 和
)00.201.2(01.0+=A 两种算法求A 的值，并分别求出两种算法所得
A 的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位有效数字？
解：1) 记 =
*
1x 01.2 ，=1x 1.42 ，*
2x =00.2 ，=2x 1.41
则 ≤
)(1x e 2
10
2
1-? ，)(2x e 2
10
2
1-?≤
*A 01.041.142.100.201.2=-≈-=
1A 01.041.142.1=-=
)()()()(21211x e x e x x e A e -≈-=
)()()()()(21211x e x e x e x e A e +≤-≈2
2
2
10
10
2
110
2
1---=?+
?=
≤
=
1
11)()(A A e A e r 101
.010
2
=-
不能肯定所得结果具有一位有效数字。 2 ) *A =)00.201.2(01.0+，
=2A
00353356.083.201.0)41.142.1(01.0==+
)()(101.0))
(01.0()(212
21212x x e x x x x e A e ++?
-=+=
)10
2
110
2
1()
41.142.1(1
01.0)(2
2
2
2--?+
??+?
≤A e
4
410
2
11012486.0--?<
?=
∴ 具有2位有效数字。
≤
=
2
22)()(A A e A e r 2
4
10
3533547.000353356
.01012486.0--?=?
3) 2*121*A A A A A A -+-=- 2*121*A A A A A A ---≥- 2
4
10
2
1006.010
2101.000353356.0--?>
=?-
-=
∴ 1A 无有效位数。
6.计算球的体积所产生的相对误差为1%。若根据所得体积的值推算球的半径，问相对误差为多少？ 解：
π3
4=
V 3
R ,π4=dV dR R 2
3
2
3
44R
dR R V
dV ππ=
=3
R
dR
)(3
1
)(V e R e r r ≈
由 )(V e r =210- 知 2
10
3
1)(-?≤
R e r
7.有一圆柱，高为25.00 cm ，半径为20.00±0.05 cm 。试求按所给数据计算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) h R R V 2)(π=
)(2)(2)()()(2
R e R e h
R R
hR R e V
R R V V e r r r r =?
=?
'≈ππ
≤≈)(2)(R e V e r r 005
.0200
120
05.02==?
2) π2)(=R S Rh
)()(22)()()(R e R e Rh
R h R e S
R R S S e r r r r =?=?
'≈ππ
)()(R e S e r r ≈0025
.020
05.0=≤
答 计算体积的相对误差限为0.005，计算侧面积的相对误差限为0.0025 9.试改变下列表达式，使计算结果比较精确：
(1) 21
cos 1cos 1??
? ??+-x x , 当1< (2) x x - +1, 当1>>x 时； (3) x x x +--+11211, 当1< (4) x x sin cos 1-, 当1< 解 : (1) 22cos 22sin 2cos 1cos 121 22 2 1 x tg x x x x =???? ? ? ? ?=? ? ? ??+- (2) x x x x ++=-+111 (3) ) 1)(21() 21()1() 1)(21() 21)(1()1(112112 x x x x x x x x x x x x x ++-+-+= +++--+= +-- + = )1)(21(22 x x x ++ (4) 2 2cos 2 sin 22sin 2sin cos 12 x tg x x x x x ==- 10.若1个计算机的字长3=n ，基数10=β，阶码22≤≤-p ，问这台计算机能精确表示几个实数。 解：3=n , 0=β, 2-=L , 2=U 所能精确表示的实数个数为 9001)122(10921)1()1(2121=++???+=+--+-L U n ββ 11.给定规格化的浮点数系F:2=β，3=n ,1-=L ,1=U ,求F 中规格化的浮点数的个数，并把所有的浮点数在数轴上表示出来。 解：2=β, 4=n , 1-=L , 1=U 所有规格化浮点数个数为 49)111(2121)1()1(2131=++???+=+--+-L U n ββ 机器零 0 p=1 1 2 1000.0?±, 1 2 1001.0?±, 1 2 1010.0?±, 1 2 1011.0?± 1 2 1100.0?±, 1 2 1101.0?±, 1 2 1110.0?±, 1 2 1111.0?± p=0 21000.0?±, 0 21001.0?±, 0 21010.0?±, 0 21011.0?± 02 1100.0?±, 02 1101.0?±, 021110.0?±, 2 1111.0?± p=1- 1 21000.0-?±, 121001.0-?±, 1 2 1010.0-?±, 1 2 1011.0-?± 12 1100.0-?±, 1 2 1101.0-?±, 1 2 1110.0-?±, 1 2 1111.0-?± 12.设有1计算机：3=n ，2==-U L ,10=β,试求下列各数的机器近似值（计算机舍入装置）： (1) 41.92; (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918; (5)0.007 845; (6)98 740; (7) 1.82310?; (8) 4.716 10 -?; (9)6.644 521 10 ?; (10) 3.8791010-?; (11) 3.19610010-?; (12) 13.65499 10 ? 。 解：3=n , 2-=L , 2=U , 10=β (1) 41.92 (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918 (5) 0.007845 (6) 98740 (7) 1.82310? (8) 4.71610-? (9) 6.64452110? (10) 3.8791010-? (11) 3.19610010-? (12) 13.6549910? 2 10419.0)92.41(?=fl )7.328(fl 溢出 1 10483.0)0483.0(-?=fl 10 918.0)918.0(?=fl 2 10785.0)007845.0(-?=fl )98740(fl 溢出 )1082.1(3 ?fl 溢出 )10 71.4(6 -?fl 溢出 )106445.6(21 ?fl 溢出 )10 879.3(10 -?fl 溢出 )10 196.3(100 -?fl 溢出 )10 654.13(99 ?fl 溢出 16.考虑数列1，31 ，9 1， 27 1， 81 1， 。设10=p ，则用递推公式 13 1-= n n p p (n =2，3， ) 可以生成上述序列。试考察计算n p 的算法的稳定性。 解：13 1-= n n p p , ,3,2,1=n 。若0p 有误差，则实际按如下递推 1~ ~ 3 1-= n p p n 1~ 1~ 3 131--- =- n n n p p p n p = )(3 11~ 1---n n p p 记 ~ n n n p p e -=, 则有 013 13 1e e e n n n === - 3 1e e n n = 1 3 1-= n n e e ,误差逐步缩小，数值稳定 17.考虑数列1，3 1 ，9 1， 27 1， 81 1， 。设10=p ，3 11= p ，则用递推公 式 213 10---= n n n p p p (n =2，3， ) 可以生成上述序列。试问计算的上述公式是稳定的吗？ 解：213 10---= n n n p p p , ,3,2=n 。若0p 和1p 有误差，则实际按如下 递推： ,3 102~ 1~ ~ ---= n n n p p p ,3,2=n 。 记 ~ n n n p p e -= ,则有 213 10---= n n n e e e ， ,3,2=n )3 1 (3)3 1 (333 101121211e e e e e e e e n n n n n n n -=-=-=------- (A) )3(3 1)3(3 13 13011 21211e e e e e e e e n n n n n n n -= -=-=------- (B) 9(A)-(B) 得 ?? ? ??? ---=-+)3(31 )31(381011011e e e e e n n n 只需 03 1 01≠-e e , 则 ∞=∞ →n n e lim 因而递推过程不稳定 18.已知47311230125)(2 35-+-+=x x x x x p ，用秦九韶法求)5(p 。 解： 125 0 230 11- 3 47- 5 625 3125 16775 83820 419115 125 625 3355 16764 83823 419068 419068)5(=p 19.已知5 3 2) 4(4)4(6)4(3)(-+---++=x x x x x f ，用秦九韶法求)9.3(f 及)2.4(f 。 解：7)4()4()4(6)4(4)(2 3 5+-+-+---=x x x x x f 令4 -=x z ，则9 .30 =x 时，1.0400-=-=x z ，由 4 0 6 - 1 1 7 -0.1 -0.4 0.04 0.596 -0.1596 -0.08404 4 -0.4 -5.96 1.596 0.8404 6.91596 得 91596 .6)9.3(=f ； 2.40=x 时，2.0400=-=x z ，由 4 0 6 - 1 1 7 0.2 0.8 0.16 -1.168 -0.0336 0.19328 4 0.8 -5.84 -0.168 0.9664 7.19328 得 19328 .7)2.4(=f 。 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+< 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 第七章非线性方程求根 一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为 函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在 (a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001 ()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10 a a b x ==,得新的有根区间 11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001()2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得 出新的有根区间22[,] a b ,如此反复进行,可得一有根区间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --???? 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快. 第七章 偏微分方程数值解法 ——Crank-Nicolson 格式 ****（学号） *****（姓名） 上机题目要求见教材P346,10题。 一、算法原理 本文研究下列定解问题(抛物型方程) 22(,) (0,0)(,0)() (0) (0,)(), (1,)() (0)u u a f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ?αβ???-=<<≤≤???? =≤≤??==<≤?? (1) 的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ?αβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线 (0) (0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤?? ==≤≤? 分割成矩形网格，其中,l T h M N τ==分别为空间步长和时间步长。将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。 Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2 i k x t τ +处考虑式(1)，有 22(,)(,)(,)222 i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ??+-+=+?? (2) 对偏导数 (,)2 i k u x t t τ ?+?用中心差分展开 []2311+13 1(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u u x t u x t u x t x t t t t ττηητ++??+=--< 第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-? 第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数() f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内 仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和 0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若 00()()0 f a f x >,则令 10,1a x b b ==,得新的有根区间 11[,] a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10a a b x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001 () 2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区 间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --???? 且110011 *,0,1,2,...,()...() 22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1 lim()0,lim lim ()* 2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q (1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=-- 第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。 计算方法 第七章 习题 复习与思考题 1．设f ∈C [a , b ]，写出三种常用范数2 1 f f 及∞ f 。 2．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{? 0, ? 1, …, ? n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？ 3．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？ 4．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m i f 0的最小二乘曲 线拟合？ 5．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什 么重要性质？ 6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？ 9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？ （1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。 （2）n n H x P ∈)(* 是f (x )在[ a , b ]上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim * x f x P n n =∞ →对 ],[b a x ∈?成立。 （3）f (x ) ∈C [a , b ]在[a , b ]上的最佳平方逼近多项式P n (x ) ∈ H n 则)()(lim x f x P n n =∞ →。 （4）)(P ~ x n 是首项系数为1的勒让德多项式，Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 ? ? --1 1 21 1 2d )(d )](P ~ [x x Q x x n n 。 （5）)(T ~ x n 是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 .)(max )(~ max 1 11 1x Q x T n x n x ≤≤-≤≤-≤ （6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。 数值分析复习题 一、填空 Chapter1 绪论 近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。 设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。 设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。 当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法 设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。 若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。 对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。 设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。 已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么 均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性） 设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。？？？ 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：数值分析课后题答案
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