第7章 逻 辑
第7章逻辑
7．1逻辑思维概述
思维活动和一切事物一样，是有规律的。逻辑思维的基本规律概括地表现了
逻辑思维的一般特征，普遍地适用于各类逻辑形式，因此，它是人们在运用概念、
判断、推理等思维形式思考问题时必须遵守的思维规律。逻辑思维的基本规律是
同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
逻辑思维的基本规律是客观世界相对稳定性在思维活动中的反映，是进行正
确思维的必要条件。它们的共同要求是在思维过程中，必须保持思维的确定性，
不自相矛盾，不含糊其词。在数学教学过程中，使学生学会遵守这些思维的基本
规律，掌握并运用这些规律进行m确思考，做到概念明确，判断恰当，推理有逻
辑性，论述有说服力，址使学?卜学好数学基础知识，培养与发展其数学能力的基
本前提与有效途径。
7．2逻辑思维种类
为什么说同一律、矛盾律、排中律和充足理由律是逻辑思维的基本规律呢?这
是由于它们决定着正确思维所必须具有的确定性、无矛盾性和明确性等特征。思
维的确定性表现为概念、判断和自身等同，这是同一律的要求；思维的无矛盾性
表现为分析思考过程中的前后一致，不自相矛盾，这是矛盾律的要求；思维的明
确性表现为在两个互相矛盾的判断中排除中间的可能性，不能模棱两可，这是排
t卜律的要求。如果在进行逻辑思维时不遵守这些规律，思考过程中就必然会出现
游移不定、自相矛盾和含混不清。
7．2．1 同一律
同一律是指在同一思维过程中，每一思想都必须与其自身保持同一。也就是
说，在同一论证过程中，概念和判断必须保持同一性，亦即确定性，它的公式是
“A是A”。
这里的“A”指概念或判断。“A是A”是说在同一思维过程中，A这个概念
或判断无论重复或使用多少次，自身始终不变，前后一致，保持确定。
在数学思考过程中，必须遵守同一律，否则会造成逻辑混乱或错误。例如“整
除”的概念是说，“数日除以数6，除得的商正好是整数而没有余数，就说口能被
6整除”。这一概念的组成部分是，①被除数是整数；②除数是整数；③商是整数；
④余数是0。
因此，由45÷9=5，商是整数，余数为0，从而可以断定45能被9整除。
但是由4．5÷0．9=5，商是整数，余数为O，也断定4．5能被0．9整除就错了。
这是由于前一个判断与其组成部分是同一的，而后一个判断与其组成部分不同…，c!1]被除数和除数不是整数和自然数。因此，后者是错误的判断，其根本原
因是混淆了“整除”与“除尽”这两个不同的概念。
同一一律要求的同…是对象、时间、关系三者的同…。若针对同一对象，在不
同时问或不同关系下，人们使用的概念或判断发生了变化，这不能看成是违反了川…律，丽是属于时间不同或关系不同的两个思维过程。
l。时间不同的两个思维过程
例如，在小学阶段“数”是指“自然数和零”、“非负有理数”；而在中学阶段
“数”是指“有理数”、“实数”、“复数”。
再如，在小学阶段“两个数的差是唯一的”，而在中学阶段“两个数的差不唯一”。
以上两个例子中的概念和判断虽然都发生了变化，但它们显然属于时问或阶
段不同的两个思维过程，因此不能说成是违反了同一律。
2．关系不同的两个思维过程
例如，对“平行四边形”来说，“矩形”是种概念，而对“正方形”来说，“矩
形”又导属概念。
同样都是“矩形”，而得到的却是“种概念”和“属概念”两个不同的判断。
这是由于两者所对应的关系不同，因此也不能说成是违反了同一律。
7．2．2 不矛盾律A
不矛盾律是指在Iq-·思维过程中，一个。l~t$。。171…"-,L,。w。。疋El自身又是对自身的否定。
它的公式是“爿不是才t,o这里“爿??指概念或判断。“才”(~Ib-彳)表示对爿的否
定。“彳不是才??是指在同一思维过程中，两个不同的概念不能反映同一对象，或
者在同一论证过程中，对lq一对象的两个互相矛盾(对立)的判断不能同时成立，
其中至少有一个是假的。
在数学思维过程中必须遵守不矛盾律。例如，两个数相等与不相等不能认为
同Ⅱ寸成立，两直线相交与不相交也不能认为Iqi~-,：i一成立。因为根据不矛盾律，两数相等与不相等，其中必有一个判断是错误的。两直线相交与不相交，其中电必有
一个判断是错误的。
还要指出，在同一思维过程中，对某一对象除了两个互相矛盾的判断外，还
可能有第三种判断。因此不矛盾律指出，不仅这两个矛盾(对立)的判断不能同
真，还可能两个判断都为假。
例如，对某…一实数以，除了两个互相矛盾的判断“口>0”或“a<0”外，还
可能有第三种判断“口=0”。
因此，当“日：0??为真时，则“a>0”和“口<0”这两个判断都为假。
由此可见，不矛盾律只指出两个互相对立的判断是不相容的，其中至少有一
为假，但没有指出哪一个为假，也没有指明究竟只有一假还是两个都为假，因而
我们不能用不矛盾律来断定某一判断是真。
不矛盾律和同一律一样，都要求思维要有确定性，要前后一致。不矛盾律不
允许思维白相矛盾，然而，这也是有条件的，即同…对象、同一时间和同一关系。
如果不是在同一思维过程中，对不同的事物，或同一事物在不同~,i rq，从不同方
面作出的矛盾判断，不能认为违反不矛盾律。
7．2．3 排中律
排中律县指存同一恩维过程中，互相矛盾关系的判断中必有一个为真。它的公式是“或是爿，或是才”。
这里爿和彳是一对具有矛盾关系(不是对立关系)的判断，排中律“或是爿，
或是爿”是指在同一思维过程中，这两个互相矛盾的判断必有一个是真的，不能
同假，中间的可能没有。“排中”即排除第三种情况。
例如，口能被6整除与臼不能被6整除。
这是两个互相矛盾的判断，其中必有一个是真的，没有第三种情况。
排中律要求人的思想有明确性，避免模棱两可、含含糊糊。排中律是在一定
条件下发生作用，它只是在互相矛盾的两个判断中排除中问的可能。不是在两个
互相矛盾的判断中选择，如果还存在着第三种可能情况，那么排中律就不起作用
了。
例如，比较两个实数a，6的大小。
除了两个互相矛盾的判断“口>6”或“口<6”外，还可能有第三种判断“以：6”。
7．2．4充足理由律
充足理由律是指任何真实判断，都必须有充足理由作为依据。也就是说，正
确的判断必须有充足理由。它的公式是“彳真，因为B真并且B能推出爿”。
在数学学科中，充足理由律要求我们必须以数学的己知概念和公理以及由此
推导出来的定理、公式作为根据进行推理判断。
解答数学问题进行正确判断也必须有充足的理由，否则会造成错误。
侈0女[f，设臼=6(≠0)
两边乘以口得订。=动
两边减去6。得日。～6。：臼6—6。
两边因式分解得(臼+6)(a一6)=6(口一6)
两边除以f口一6)得口+6=6
由口=6(≠0)得26=6
两边除以6得2=l
显然，所得结果是错误的，错误的原因在于以(a一6)除等式两边。因为由d：6 推出口一6=0，用0除等式两边，理由就不充足了。
7．2．5逻辑思维基本规律之间的关系
逻辑思维的四条基本规律之间有着相互密切的联系，都是保证思维正确的必
要条件，它们分别从同一思维过程中对同一事物从不同的角度来要求人们的思维
具有相对的稳定性。
同一律“A就是A”，是从肯定的方面确定事物的某一特征，从而要求思维过
程中的对象必须有确定性。
矛盾律“A不是万”，是从否定的方面来确定事物的某…特征，即从否定的方
面来肯定同一律，它要求思维过程中的判断不能自相矛盾。
排中律“或是A，或是才”，是对两个矛盾关系的判断从肯定和否定两个方面
来肯定同一律。排中律是矛盾律的继续，都是为了保证思维的明确性。
充足理由律是对某一明确的判断，在确定的、没有矛盾的基础上，指出其正
确的充足理由。因此，一切违反同一…律、矛盾律和排中律的思维过程，必然导致
违反充足理由律。
-------------------------------------------------
7．3违反逻辑思维基本规律的错误
7．3．1违反同一律的逻辑错误
遵守同一律就是在同一思维过程中，所使用的概念或判断必须保持确定，保
证这种确定性是进行正确思维和表达思想的必要条件，它是各种逻辑思维形式都
必须遵守的最基本的规律，不论是概念要明确，判断要准确恰当，还是推理要合
乎逻辑，都离不开思维确定性的要求。因此，违反同一律的逻辑错误是“同一思
维过程中的概念、判断不确定”，具体表现是“偷换概念”(或者叫“混淆概念”)
和“偷换论题”(或者叫“转移论题”)的逻辑错误。
1．同一思维过程中，概念不确定的逻辑错误
所谓概念不确定是指概念的内涵、外延不同一。就是说，在同一思维过程中，不加说明地用一个完全不相同的概念去代替原有的概念进行推理和证明(即“偷
换概念??)，或者用一个相近、类似的概念去代替原有的概念进行推理和证明(即
混淆概念)。
例如，当被除数和除数的末位有零时，有的学生利用商不变性质进行如下计算840?50=84?5=16……4 (：l：)
我们知道840÷50=84÷5，84?5=16……4这两个等式都是成立的，但840
?50≠16 (4)
(。)式中前面一个等式反映的是等号两边算式的商相等，而后一个等式则是
反映算式中被除数、除数、商和余数之间的关系，这是两个完全不同的概念，这
里出现错误是由于“偷换概念”，违反了同一律所致。
2．N一思维过程中，判断不确定的逻辑错误
判断不确定是指判断的组成部分不同。一，即在同一思维过程中，不加说明地用”一个完全不同的判断去代替原有的判断。如前面提到的由4．5÷0．9=5，商是整数，余数为0，从而断定4．5能被0．9整除就是这方面的例子。
判断不确定的另一种情况是，在同一思维过程中，判断的论题不同一。如讲
长方形的周长概念时，有的教师对学生说：“长方形的一周，就是长方形的周长。”
并用手指沿着长方形的黑板画一圈。在推导公式时又说：“长方形四条边的和，就
是长方形的周长。”其实，长方形的…周或四条边都是形，都没有涉及到量。“边
长”、“一周的长”说的才是最，而量是要通过度量才能知其大小。边与边长、一
周与一周的长是性质完全不同的概念，不能混淆不清，这属于“偷换论题”的错
误，在小学数学教学中是比较常见的。
例如，从直线外一点到一条直线所画的垂线段叫这点到这条直线的距离。
题中定义的概念是符合某一条件的一条线段，而被定义的概念却是“距离”。
“线段”是几何图形，“距离”却是度量的长度，形与量不同一。
7_3．2违反矛盾律的逻辑错误
矛盾律要求在同一思维过程中，两个不同的概念不能反映同一对象，或两个
相互否定的判断(矛盾的或对立的)不能同时成立。
因此违反矛盾律的错误就是既肯定又否定，即两个相互否定的判断都成立，
我们熟知的古代寓言楚人“白相矛盾”就是这种情况。
俐由n角的十，I、E；由自白托拓沿右芏乏
通用小学数学教材对角的描述是“从一点引出两条射线，就组成一个角”。而
后面又说“角的大小同边的长短没有关系”。既然“角的边是射线”，射线本无长
短可言，角的边又哪来的长、短呢?一方面说“角的边是射线”，同时又说“角的
大小与边的长短没有关系”，对“角的边是射线”加以否定，岂不自相矛盾?由于
违背了矛盾律，因此，这个命题是不妥当的。
7．3．3违反排中律的逻辑错误
排中律要求人们在同一思维过程中，对具有矛盾关系的两个判断作出“非此即彼”的明确抉择。因此，违反排中律的逻辑错误是“模棱两可”或“含混不清”。
例如，在整数范围内，对数日作“日既不是奇数也不是偶数”的判断就违反了排中律。
因为在整数范围内，“d为奇数”和“口为偶数”是具有矛盾关系的判断。但如果超出整数范围，则这两个判断就是对立关系的判断，那么以上的判断就没有违反排中律。例如，当口是一个小数或分数时，则日既不是奇数也不是偶数。
7．3．4违反充足理由律的逻辑错误
充足理由律要求人们思维具有论证性，即论证要有充足理由，也就是常说的“言之成理，持之有故”，任何推断的理由必须是真实的，推断与理由之间要有必然的联系。因此，违反充足理由律的逻辑错误是“理由不充分”或“虚假理由”。
1。理由不充分
例如，计算412?58=7……5后说“由于余数5比除数58小，所以这道题的
计算结果是正确的”。
在有余数的除法中，余数比除数小，计算结果并不一定正确。余数比除数小
只是计算正确的必要条件，而不是充分条件。由此可见，由于理由不充分，这个
推断是错误的。
由上例可知，如果判断B真，论断A是B的必要条件，但由B不足以推出论
断A真，则B不是A的充分条件，这时候我们称由B推出论断A真的理由不充分，即缺少条件。
以下例子的推断中理由都不充分。
1歹0 1 若口=庀·6，贝0 6l以。
(缺少条件口，6为整数，尼为自然数)
例2 在四边形ABCD中，爿B／／CD j爿BCD是梯形。
(缺少条件4C≠BD)
例3因为(口+6)是偶数，且口，6是整数。
所以d，6都是偶数。
(缺少条件口×6是偶数)
例4因为自然数的个数是无限的，所以质数和合数的个数也是无限的。
(从自然数无限多这个条件出发，只能推出“质数和合数中至少有一种是无限多的”，自然数无限多仅仅是质数和合数都无限多的必要条件，而不是充分条件)
2．虚假理由
虚假理由是指在判断B和论断A中，B不是A的充分条件，且A亦不是B
的必要条件，即A和B没有因果关系。
例如，因为1是奇数，b是偶数，
所以a与b互质。
例如，因为扇形是圆的一部分，
所以扇形面积都比圆面积小。
7．3．5逻辑思维教学的作用
逻辑思维的四条基本规律，是互相联系的统一体，是保证正确思维的必要条件。遵循这些思维的基本规律，对学生正确建立数学概念，学会科学地进行分析、判断、推理及论证同样也有着不可缺少的指导作用。掌握这些基本规律，不仅保证了数学思维的严谨性与条理性，而且也为一些数学思想方法的学习提供了理论上的依据。
1．确保思维的条理性及逻辑性
在数学活动中，要保证思维的条理性和逻辑性，就必须严格遵循思维的基本
规律，每一正确的推理都是建立在符合以上四条基本规律之上的。
例5 红、蓝、黄、白、紫五种颜色的珠子各一粒，都用纸包好摆在桌子上。甲、．乙、丙、丁、戊五人猜纸包里的珠子的颜色，每人限猜两包。
甲猜：第二包是紫色，第三包是黄色；
乙猜：第二包是蓝色，第四包是红色；
丙猜：第一包是红色，第五包是白色；
丁猜：第三包是蓝色，第四包是白色；
戊猜：第二包是黄色，第五包是紫色。
猜完后打，开纸包一看，每人都猜中了一种，并且每包都有一人猜对，试判
断他们各自猜对了哪种颜色的珠子。
解(i)由于每一个数字都表示一种颜色，不同的数字表示不同的颜色(这
里遵循了同一律)，而第一包只有红色珠子这一判断，所以丙猜中了“1是红色”，
又。。每人都猜中了一种”，从而丙猜“5是白色”为假，即“5不是白色”(这里遵
循了充足理由律)。
(ii)由于在推理过程中，一个数字要么是某色，要么不是某色，两者必居其一且只居其一(这里遵循了排中律)，因此由“5不是白色”可判断出戌猜中了“5
是紫色”，则“2不是黄色”。
(iii)同理，由“2不是黄色??可以断定甲猜对了“3是黄色”，则“2不是紫色”。
(iv)由“5不是白色??可以断定丁猜对了“4是白色”，则“4不是红色”。
(v)由“4不是红色，，可以断定乙猜对了“2是蓝色”，从而可知“2不是紫色”
或“2不是黄色，，(这里遵循了矛盾律)，这与前面得出的判断相一致(此时又遵循
了同一律)。
2．提供概念分类的逻辑依据
由于排中律对具有矛盾关系的两个判断能作出“非此即彼”的明确抉择，因此对某些较为复杂的概念，采用二分法则能很快地进行明确的分类。
例6对平行四边形分类
／一邻边相等且有…直角的平行四边形
／／邻边相等的平行四边形<二=二～《B边相等没有直角的平行四边形
平行四边形<＼MR仂不笺的平行叨j力形．—一．，邻边不等且有一直角的平行心边形
、峻B边不等的平行四边形<=一～”““…”“” ““川川¨纠地肜
、、啥邻边不等且没有直角的平行四边形
二分法是按概念的对象有无某一属性来进行划分，即将属概念一贯地分为两个互相矛盾的种概念，一直分划到不能再分为止。
3．运用反证法进行推理的逻辑依据
对于两个互相矛盾的判断，运用排中律“非此即彼”，二者必有一真。因此当需要判断“A为真”时，若不便赢接证明“A为真”，则可以先证明与其具有矛盾
关系的判断“爿为假”，由此可得“A为真”，这就是反证法。可见，排中律是数
学反证法的逻辑依据，反证法在数学论证中有着』。…泛的应用。
例7证明没有最大的质数
证明假设最大的质数是』V，令M=(2×3×5x 7×11×13×…×Ⅳ)+l，由于M 比所有的质数的积还大1，当然比Ⅳ也大得多。显然，M是不能被Ⅳ以内(包括
Ⅳ)的任何质数整除的，因为由M的构造可知，M除以任何质数(包括“最大的
Ⅳ”在内)，余数都是l。因此，M要么本身也是质数，要么是个能被大于Ⅳ的质
数整除的合数，而这两种情况都与假设(Ⅳ为最大的质数)相矛盾。从而，“没有
最大的质数”得证。
这一命题是古希腊数学家欧几里得最先想到的，这一优美、简洁的反证法证明也由他本人给出。
7-3．6逻辑思维教学的注意事项
数学的概念、判断、推理和论证必须做到对象确定(J司一律)，判断不自相矛盾(矛盾律)，不是模棱两可(排中律)，有充分根据(充足理由律)。教师在描述
概念、设计提问以及练习的过程中首先要做到符合思维的基本规律，尽量避免出
现逻辑性错误，并注重对学生的严格训练，使他们养成遵守这些规律思考问题的
习惯，以发展和提高学生的数学思维能力。
1．注意数学概念的同一性
根据同一律的要求，对同一概念而言，其内涵及外延在论证的过程中要前后
一致，保持确定。教师在备课中，对一些重要的数学基本概念，都要首先明确它
们的内涵和外延，以后就在这个确定的、同一的意义上反复使用它。这样，在整
个思维过程中，才能避免发生混乱，产生歧义。
值得注意的是，对教材中出现的某些容易引起混淆的概念，要注意及时地进
行比较和区别。
例如，现行小学数学通用教材关于长方体有这样两段叙述：“长方体的6个喵都是长方形(也可能有两个相对的面是正方形)”，又说：“长、宽、高都相等的长
方体叫做正方体(也叫立方体)”。
显见，一Li~I*J次所提到的“长方体”的概念是不一致的。前一个“l女方体”，由于最多只限“两个相对的面是正方形”，因此并不包括正方体，而后一个“长方体，，却是包括r，正方体??在内的。因此它们的内涵、外延是不一致的，容易引起学生理解上的混乱。
为了能更明确的概括出这一关系，教学日寸…可将前段叙述中括号内的说明改为“也可能有两个相对的面或者六个面都是正方形”。这样，两次所叙述的“长方体”这一概念的外延就同一了，即第一段叙述的“长方体”就包含了正方体。
2．注意教学用语的严谨性
在数学教学中，教师对概念的内涵与外延要做到心中有数，讲解或应用都应
力求严谨、准确，尽可能避免把日常口语以及不准确规范的语言带到课堂上，这
样的例子在教学中是很常见的。
例如，有的教师这样提问同学们：“这个等腰三角形的两腰相等吗?”腰正是
对等腰三角形而言的，一般三角形只称边，只有等腰三角形才把两条相等的边称
为腰。既然是两腰，就一定相等，否则就违反了矛盾律。因此，这样的提问是错
误的。
又如，当学生忘了写出单位名称(计量单位)，或忘了给单位名称加括号时，
教师常说“不要丢掉名数”或“不要忘了给名数加上括号”。我们知道，用选定的
计量单位去度量某个同类量，结果得到这个量含有相应计量单位的若干倍，这个
数值就叫做这个量的量数，用“量数”和“计量单位”相结合的方法，可以确切
地表述一个量的程度。名数的正确含义应是“量数和计量单位的名称合起来叫做
名数”，也可以说“量数后面带有计量单位名称的叫做名数”。
因此，上面的说法是把计量单位与名数混淆起来了，是不正确的。
再如有的教师对学生这样提问：“平行四边形的对边是否为平行线???或对学
生说：“长方形的两条边都是平行线”、“带有一个单位名称的数叫做名数”，等等，这些语言都是不够确切的。
因此，每个教师在教学中应充分注重自己的教学语言的规范化，符合逻辑思
维的基本规律。在此基础上，对学生进行严格要求，规范操练，这样不仅能使他
们养成思维严谨，语言准确的良好习惯，也有利于锻炼学生思维的深刻性。
3．注意构题的合理性
现代教学观认为，数学教学的三个主要任务是使学生获得知识、技能与发展
智能。这里的技能，特别是智力技能是从知识的掌握到智能的发展的中间环节，
而技能总是通过一定的练习而形成，所以练习在数学教学中的作用及意义历来受
到广大教师的重视。不少教师还针对学习的重点和关键内容，有针对性地选编一
些课内课外练习及专项训练，这对巩固与加深学生对所学知识的理解与掌握是非
常必要的。在编拟习题时，除了注意把握好习题的针对性、层次性和形式的多样
性外，注重习题编拟的科学性是极为重要的。这就要求我们在编拟时构题必须符合逻辑思维的基本规律，避免发生以下类似错误。
例8求下面各个三角形的周长
这里出现了三角形两边之和等于或小于第三边长的谬误，显然与三角形的性
质相矛盾。
1
例9某工地运来水泥和黄砂210吨，其中水泥占总数的{，以后又运来一些?)
1
水泥，这时水泥占总数的妻，以后又运来水泥多少吨?
j
题中两次出现了“总数”这一概念，其中后一个究竟是指原来的总数，还是
指后来的总数，内涵不明确，模棱两可，这种歧义的产生是由于违反了排中律。
总之，作为一名合格的数学教师，不仅需要扎实的数学专业理论知识，还应学习与掌握一些必要的逻辑思维的基本理论和方法，这是不断提高自己业务素质和教学能力的一个重要方面。
逻辑运算符
C的运算符有以下几类： 1.算术运算符：* - + / 2.关系运算符： > < == != >= <= 3.逻辑运算符：! && || 4.位运算符：<< >> ~ | ^ & 5.赋值运算符：=及扩展赋值运算符 6.条件运算符：?: 7.逗号运算符：, 8.指针运算符：*和& 9.求字节数运算符：sizeof 10.强制类型转换运算符：(类型) 11.分量运算符：. -> 12.下标运算符：[ ] 13.其他：如函数调用运算符:() a = 5+6 * 3.4 ; 操作数a 5 6 3.4 运算符+ * = 表达式a = 5+6 * 3.4 语句 a = 5+6 * 3.4 ; 除法运算符 2个操作数都是整数计算机过也是整数如何过结果是小数会舍弃小数 如果操作数有一个是浮点数就会发生转换会吧整数转换浮点数运算结果也是浮点数 取模运算符% 求余数 自增运算符++ i++ 先运算在加— ++I 先加—在运算 I =2; i=2
J=i++ j=++i I=2 i=2 J=I; i=i+1 I=i+1 i=3 j=I j=3 自减运算符 赋值运算符 复合赋值运算符 符号功能 += 加法赋值 -= 减法赋值 *= 乘法赋值 /= 除法赋值 %= 模运算赋值 <<= 左移赋值 >>= 右移赋值 &= 位逻辑与赋值 |= 位逻辑或赋值 ^= 位逻辑异或赋值 到底Total=Total+3;与Total+=3; 有没有区别？答案是有的，对于A=A+1，表达式A被计算了两次，对于复合运 算符A+=1，表达式A仅计算了一次。一般的来说，这种区别对于程序的运行没有 多大影响，但是当表达式作为函数的返回值时，函数就被调用了两次(以后再说 明)，而且如果使用普通的赋值运算符，也会加大程序的开销，使效率降低。 赞同 Int I =4 Int j=6 I*=j+4 等同于i=i*（j+4） 关系运算符 运算结果true false = 为赋值运算符== 为等于运算符
形式逻辑知识点总结
1、逻辑形式的组成： 由逻辑常项和逻辑变项两部分组成的。 2、概念的种类 判断是单独概念还是普遍概念取决于其外延中分子对象数量的多少，仅仅包含一个分子对象就是单独概念，包含两个或两个以上分子对象就是普遍概念。 单独概念：只有一个分子对象的概念； 普遍概念：具有两个或两个以上分子对象的概念。 判断是集合概念还是非集合概念取决于语句中所规定的对象的属性是整体具有还是其中的分子对象也具有。 集合概念：把对象作为集合体来反映的概念 非集合概念：不把对象作为集合体来反映的概念 正概念：也叫肯定概念。反映对象具有某种属性的概念。 负概念：也叫否定概念，反映对象不具有某种属性的概念。 3、概念间的关系 全同关系（同一关系）：a b 真包含于关系（种属关系）： 真包含关系（属种关系） 交叉关系： 全异关系：设a,b两个概念,a概念与b概念的全部外延没有任何部分相重合即所有的a都不是b并且所有的b也都不是a 矛盾关系：a,b两个概念外延全异，并且二者外延之和等于其邻近属概念的外延 反对关系：a,b两个概念,外延全异，并且二者外延之和小于其邻近属概念的外延 4、定义的规则： （1）定义项外延与被定义项外延之间必须是全同关系。 违犯规则所犯错误： 定义过宽：定义项的外延大于被定义项的外延。 定义过窄：定义项的外延小于被定义项的外延。 （2）被定义项不得直接或间接出现在定义项中。 违犯规则所犯错误：同语反复：在定义项中直接出现了被定义项。 定义循环：在定义项中间接出现了被定义项。 （3）定义项必须用清楚确切的概念。 违犯规则所犯错误：定义含混；在定义项中使用了含混不清的概念。 以比喻代定义：定义项用了形象比喻。 4）定义联项不能是否定的。 违犯规则所犯错误：定义用否定联项 5、划分的规则 （1）划分必须是相应相称的（划分子项的外延之和等于划分母项的外延）
集合与简易逻辑知识点归纳(1)
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-
《形式逻辑》
形式逻辑教学大纲 课程的性质目的和任务 一、形式逻辑是研究思维的形式及其规律的科学。是大学本（专）科各专业的专业基础课。作为一门思维科学，它既有认识的作用，又有表达和论证思想的作用。学习形式逻辑对于自觉地进行思维的逻辑训练，提高逻辑思维能力，增强逻辑论证的力量，具有重要意义。 二、本课程应坚持理论联系实际的学习原则和方法，要准确地理解和掌握形式逻辑的基本概念、逻辑规律和逻辑原理，同时，联系学习生活实际，自觉地运用学过的逻辑理论和知识去分析解决实际活动中碰到的各种逻辑问题。通过学习本课程，提高逻辑思维能力。 三、就中文系而言，本课程应注意同现代汉语、古代汉语、写作等基础课程相联系，从形式逻辑的角度提高学生运用语言的能力。 四、本课程的一些内容比较抽象，教学中应注意重点突出、例证生动，在保证科学性的前提下加强趣味性。教材一般都借用了数理逻辑的语言形式，应注意自然语言和形式语言的转换。 五、本课程讲授一学期，约32学时。书面作业2次。 六、本大纲课程教学内容顺序依托华东师大《形式逻辑》教材内容顺序编排，教学重点为第二、三、四、五、六、十章，教师在完成大纲基本要求的前提下，根据课时多少及学生接受能力对教学内容可以适当调整。由于选用教材不同，内容编排顺序以及个别内容、术语可能小异，教学中应作适当调整。 课程教学内容 第一章形式逻辑的对象和意义 第一节了解：形式逻辑的对象（思维形式及其规律）和性质（全民性、工具性）。 第二节理解：学习形式逻辑的意义和方法
第二章概念 第一节概念的概述 一、了解：概念是通过揭示对象的特性或本质来反映对象的一种思维形式。 二、了解：概念与语词的关系 第二节概念的内涵和外延 一、了解：概念内涵、外延的定义 二、掌握：概念内涵与外延的反变关系 第三节概念的种类 一、理解：单独概念和普遍概念 二、理解：集合概念与非集合概念 三、理解：正概念与负概念 第四节概念外延间的关系 一、理解：相容关系（全同、真包含、真包含于、交叉） 二、理解：不相容关系（全异：矛盾、反对） 第五节掌握：概念的限制和概括 第六节掌握：定义及其规则 第七节掌握：划分及其规则 第三章简单命题及其推理（上） 第一节了解：命题和推理的概述 第二节性质命题 一、了解：性质命题是断定事物具有（或不具有）某种性质的简单命题。 二、理解：性质命题根据质和量的不同结合分为六种基本形式。 三、掌握：A、E、I、O四种性质命题的项的周延性 四、掌握：主、谓项相同的A、E、I、O四种性质命题间的真假关系 第三节性质命题的直接推理 一、掌握：运用命题变形法的直接推理 二、掌握：依据“逻辑方阵”的命题间关系的直接推理 第四章简单命题及其推理（下） 第一节三段论 一、理解：三段论及其结构
数学简易逻辑 知识点+题型
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆 否 互 互逆 否 互文科数学选修1-1 第一章 简易逻辑 一．四种命题及关系 1.命题：__________的语句； 2.分类：①简单命题：不含有逻辑联结词的命题； ②复合命题：由_________和逻辑联结词“___”、“___”、“____”构成的命题； 构成复合命题的形式：p 或q 记作______；p 且q 记作____；非p 记作_____. 3.命题的四种形式与相互关系 原命题：若p 则q ； 逆命题：________； 否命题：________； 逆否命题:________. 注： ①互为_____关系的两个命题同真假． 1、下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命 题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中正确的说法是 （ ） A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③ 2、已知m,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 、若α,β垂直于同一个平面，则α//β B 、若m,n 平行于同一个平面，则m//n C 、若α,β不平行，则α内不存在与β平行的直线 D 、若m,n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一个平面 3．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2 ”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) 4．有四个命题：①“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤，则关于x 的方程220x x q ++=有实根”的逆命题；
逻辑学基本内容
逻辑学 第二章性质命题 一性质命题的四种形式 1 全称肯定判断 形式：所有S是P，写作SAP,简称A判断 2 全称否定判断 形式：所有S不是P，写作SEP 简称E判断 3 特称肯定判断 形式:有些S是P，写作SIP，简称I判断。 4 特称否定判断 形式：有些S不是P,写作SOP ,简称O判断 三词项的周延性：主谓项概念外延数量的断定情况 1、周延性是对主谓项外延情况的形式断定，而非实际存在情况的断定。单称命题的 周延性与全称命题同。 2 、“是”P 则P不周延，“不是P”，则P周延 主词相同和谓词相同称同素材性质命题。 同素材性质命题的全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题之间存在着某种真假关系，这种关系亦称对当关系。 二同素材性质命题的逻辑方阵 刻画“对当关系”的图示，俗称“逻辑方阵”，逻辑方阵假词主词对象是存在的。 四性质命题的变形推理 1 换质法：换质不换位，谓项正负反 换位法：换位不换质，主谓莫扩展 是通过调换主谓词项的位置得到一新命题。换位不改变命题的质。 根据源命题和换位命题的量项是否相同可把换位法区分为单纯换位和限量换位两种。 1 单纯换位：换位命题和原命题的量项相同的换位法，为单纯换位 (1)所有S不是P 换位所有P不是S SEP PES (2)有的S是P, 换位：有的P是S SIP PIS 2 限量换位：改变原命题的量的换位法 (1)所有S是P,换位：有的P是S SAP PIS (2)SAP PAS (3)SOP命题不能换位 SOP POS 3 换质位法：先换质后换位，也可先换位后换质 有的S是P,换质为有的S不是非P ,这SOP 不能换位 换位法是演绎推理，演绎推理的特点是若前提是真的，推出的结论也应该是真的。
形式逻辑最全期末复习资料
一、名词解释： 1、普通逻辑：是研究思维的逻辑形式及其基本规律和简单逻辑方法的科学。 2、思维：是人脑的机能，是人脑对于客观世界间接地，概括地反映。思维对客观世界的反映方式叫思维形式，概念、判断和推理是思维的基本形式。 思维与语言有不可分类的联系。思维对客观世界的反映（概念、判断和推理）是借助于语言（语词、句子和句群）来实现和表达的。 3、思维的逻辑形式：思维有具体内容，也有逻辑形式，反映在概念、判断和推理中的特定对象及其属性叫思维的具体内容；思维内容各部分之间的联系方式（或形式结构），叫思维的逻辑形式。 思维的逻辑形式既与思维的具体内容相联系，其自身又具有相对的独立性。普通逻辑不研究思维的具体内容，只研究各种不同类型的思维的逻辑形式。 任何一种逻辑形式都是由两部分构成的，一是逻辑常项，一是变项。逻辑形式之间的区别，取决于它们的逻辑常项的不同。 4、简单的逻辑方法：普通逻辑所研究的逻辑方法主要是指：定义、划分、限制与概括、探求因果联系的五种归纳方法等。相对于辩证逻辑所研究的逻辑方法，上述方法是比较简单的。 5、概念：是反映对象特有属性或本质属性的思维形式。概念与感觉、知觉、表象不同：感觉、知觉、表象是反映个别对象的具体形象及其属性，其中既有特有属性或本质属性，也有非特有属性或非本质属性；概念舍支了对象的非特有或非本质的忏悔，而是抽象地反映对象的特有属性或本质属性。 6、概念的内涵和外延 任何概念都有两个逻辑牲，即内涵和外延。内涵就是反映在概念中的对象的特有属性或本质属性，通常称为概念的含义。外延就是指具有概念所反映的特有属性或本质属性的对象，通常称为概念的适用范围。 7、单独概念：是反映唯一无二的对象的概念。语词中的专有名词和摹状词都表达单独概念。 8、普遍概念：是反映两个或两个以上对象的概念。语词中的普通名词、形容词和动词等，一般都表达普遍概念。 9、集合概念和非集合概念：反映集合体的概念叫集合概念，反映非集合体的概念叫非集合概念。集合体是由若干同类的个体组成的统一的总体，一人集合体所具有的忏悔，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的每一个体所具有。非集合体则不同。 10、正概念和负概念：反映对象具有某种忏悔的概念就是正概念，反映对象不具有某种忏悔的概念就是负概念。从语言方面说，在表达负概念的语词中，常常含有“无”、“不”、“非”等否定词。负概念总是相对于某个特定范围而言的，一个负概念所相对的范围，逻辑上叫做论域。 11、同一关系：a、b两个概念，如果它们的外延全部重合，即所有的a都是b，同时所有的b都是a，那么a与b之间的关系就是同一关系。 12、真包含于关系：a、b两个概念，如果所有的a都是b，但是有的不是，那么与之间的关系说是真包含于关系，即真包含于。 13、真包含关系：a、b两个概念，如果所有的b都是a，但是有的a不是b，那么a与b之间的关系就是真包含关系，即a真包含b。 在真包含于关系和真包含关系中，都有一个外延较大的概念和一个外延较小的概念。外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两种关系叫属种关系。 14、交叉关系：a、b两个概念，如果它们的外延仅有一部分是生命的，即有的a是b，有的a不是b，而且，有的b是a，有的b不是a，那么a与b之间的关系就是交叉关系。 15、同一关系、真包含于关系、真包含关系和交叉关系中至少有一部分外延是重合的。我们
法律逻辑学第二讲
幻灯片1 法律逻辑学 幻灯片2 第三章简单命题及其推理 ●第一节命题和推理的概述 ●第二节直言命题 ●第三节直言命题的直接推理 ●第四节直言命题的间接推理——三段论 ●第五节关系命题及推理 幻灯片3 第一节命题和推理的概述 ●一、命题概述 ●（一）命题与判断 ●1、命题，就是对思维对象有所陈述的思维形式。 ●例如：①宪法是国家的根本大法。 ●②3大于5。 ●③人都是自私的。 ●命题的两个逻辑特征：（1）对思维对象的性质或关系有所陈述； ●（2）总是或真或假。 ●逻辑学将真假二值统称为真值，用“1”表示真的真值，用“0”表示假的真值。 幻灯片4 ●2、判断 ●判断是对思维对象有所断定的思维形式。 ●断定是指思维主体对思维对象是否具有某种性质或关系有所肯定或否定。 ●例如：①犯罪行为是应当受到惩罚的。 ●②劳动教养不是刑事处罚。 ●③商品不等于劳动产品。 ●判断的两个逻辑特征：（1）对思维对象的性质或关系有所断定；（2）这种断定要么真 要么假 幻灯片5 ●3、命题与判断的区别 ●二者区别在于：被思维主体断定了的命题才是判断，而命题未必经过断定。 ●例如：哥德巴赫猜想：所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。 ●公诉人指出：张君是个杀人犯。 ●判断只有在思维主体对思维对象的真假作出具体断定之后才能形成。 ●凡判断都是命题，但并非所有命题都是判断。 幻灯片6
（二）命题和语句 ●联系：命题和语句是思想认识内容与表达形式的关系。 ●区别： ●（1）命题和语句的本质不同。 ●命题是一种思维形式，是对思维对象所作的断定，没有地域、民族的差异。 ●语句是人们表达命题的语言形式，有地域、民族差异。 幻灯片7 ●（2）所有命题都要用语句来表达，但并非所有的语句都表达命题。 ●一般来说，陈述句都直接表达命题，而疑问句祈使句、感叹句不直接表达命 题。 ●例如： ●①李某是杀人犯。 ●②谁是本案的主犯？ ●③人非圣贤，孰能无过？ ●④请不要抽烟！ ●⑤被告人的行为是多么可耻啊！ ●⑥啊，长城！ 幻灯片8 ●（3）同一个命题可以用不同的语句表达。 ●例如： ●（1）凡正当防卫行为都是合法行为。 ●（2）没有一种正当防卫行为不是合法行为。 ●（3）不是合法行为的正当防卫是不存在的。 ●（4）难道有正当防卫不是合法行为？ 幻灯片9 ●（4）同一语句在不同语言环境中可以表达不同的命题。 ●例如： ●①王小姐正在理发。 ●②我正在上课。 ●③他们三人一组。 ●④李律师是位老律师。 幻灯片10 （三）命题形式和命题的种类 ●1、命题形式——命题的逻辑结构 ●[例1] 不满10周岁的人是无民事行为能力的人。 ●[例2] 法律与道德是相联系的。 ●[例3] 他或者有罪，或者无罪。
简易逻辑精选练习题和答案
简易逻辑精选练习题 一、选择题 1. “21= m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 设集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3. 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ） A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等腰三角形 C ．所有三角形不是等腰三角形 D ．所有三角形是等腰三角形 4. 设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 若不等式|x －1| 0”的否定是 ， （3） 命题 “对任意的x ∈{x|-2
逻辑学名词释义
①，指客观事物的发展规律。 ②，指一种观点、思想方法和理论。 ③，指人的思维的规则和规律。 ④，指逻辑的科学即逻辑学。 逻辑形式是用逻辑变项和逻辑常项表示的思维结构。 (1)逻辑变项是思维内容的符号表示，在逻辑形式中代表可以变化的经验内容，也可以看作一种“空位”；对于一个逻辑形式而言，在空位上填入什么“内容”不会影响逻辑形式的特征。 (2)逻辑常项是逻辑形式中不变的部分，如果逻辑常项（个体常项除外）不同，逻辑形式的性质也就不同。因此，逻辑形式的性质是由逻辑常项决定的 ：不同内容的命题和推理自身所具有的共同结构。 对逻辑而言，人工语言是用来表示或显示逻辑形式的，我们把这个人工语言叫做对象语言。 对象语言是用来表示思维对象的语言，对象语言是被陈述的语言。 言，元语言是陈述语言的语言。 简单命题（原子命题）是由词项构成的命题。它自身不再含有其它命题了。 复合命题是由命题构成的命题。也就是说，复合命题可以分析为命题和逻辑联词。（基本的复合命题可以进一步划分为联言、选言、假言和负的复合命题，它们是复合命题与推理讨论的基本对象。） 复合命题基本结构是“主项+谓项”，按照量词划分，全称的，特称的，单称的。 联言命题是反映一个或几个思维对象同时具有某些属性的复合命题。（显然，，联言命题就是几个命题的“联合”，他陈述的是几个同时存在的事实。） 联言判断：就是几种事物情况同时存在的判断。 选言命题是反映一个或几个思维对象所具有的某些属性至少有一种情况存在的复合命题。 相容选言判断：断定几个选言支至少有一个为真的选言判断。 不相容选言判断：断定其选言支中有并且只有一个选言支为真的选言判断。 选言判断：就是断定几种可能事物情况至少有一种存在的判断。 假言命题陈述的是两个思维对象之间的条件关系。因此又叫条件命题、蕴涵命题。
高考语文病句讲解：不合逻辑型(最新)
高考语文病句讲解：不合逻辑型 一、例题引路 【2008年高考江西卷】B.中华人民共和国公民在年老、疾病或者丧失劳动能力的情况下，有从国家和社会获得物质帮助的权利。 【解析】B “年老、疾病或者丧失劳动能力”并列不当，这三个概念的范围有交叉。 【2008年高考湖北卷】D.社区服务中心为孩子们准备了跳绳、羽毛球、拼图、棋类、卡拉OK等19项体育活动，并将20万元活动经费发动到各社区。 【解析】D项属于不合逻辑。“拚图”属于智力游戏，“卡拉OK”属于文娱活动，可将“体育”改成“文体”。 【2008年高考湖北卷】64、下列各句没有语病的一句是 A.第二航站楼交付使用后，设备可达到国际领先水平，旅客过安见通道的时间，将从目前的10分钟缩短至1分钟，缩短了10倍。 D.社区服务中心为孩子们准备了跳绳、羽毛球、拼图、棋类、卡拉OK等19项体育活动，并将20万元活动经费发动到各社区。 【答案解析】A项中的“将从目前的10分钟缩短至1分钟，缩短了10倍”错，数字减少、缩小，只能用分数、百分数，不能用倍数D项属于不合逻辑。“拚图”属于智力游戏，“卡拉OK”属于文娱活动，可将“体育”改成“文体”。 二、考点复习 不合逻辑”指的是句子的意思在事理上讲不过去,不能正确地反映客观事物间的逻辑关系.可以从概念的运用是否准确,判断的构成是否恰当,推理的方式是否合理等多方面来分析.不合逻辑主要包括: 1、自相矛盾 2、范围不清 3、强加因果 4、主客倒置 5﹑否定失当 6、不合事理 7﹑两面对一面,照应不周全 (1)、自相矛盾 ①过了一会儿，汽车突然渐渐地停下来了。 解析:“突然”和“渐渐”矛盾
②这增强了中国人民与侵略斗争的无比力量。 解析:既然已经“无比”，如何还能“增强”?应删去“无比”。 ③他是多少个死难者中幸免的一个。 解析:既然“幸免”，自然是没有死，怎么能说是“死难中的一个”呢?应改为“多少人死难了，他是幸免的一个。” (2)、范围不清 ①从事业的发展上看，还缺乏各项科学专家与各项人才。 解析:各项人才包括科学家，不宜并列，该说“各学科的专家与其他人才”。 ②他们一面拚命地向上爬，一面又不免跌落深渊。 解析:“一面......一面......”表示两件事同时进行，句中的两件事显然不是同时的，应改为“他们虽然拚命向上爬，但是终不免跌落深渊。” (3)、强加因果 ①最近我这位朋友去了一趟南方回来，结果他的思想依然如故。 解析:去了南方回来思想变了，可以说是去了一趟南方的结果，现在“思想依然如故”，怎么能说是去了一趟的“结果”呢? ②周古城先生早年积极投身“五四”运动,所以最终成为蜚声海内外的著名学者和历史学家. 解析: 两句之间无因果关系,不合逻辑. (4)、主客倒置 ①在那个时候，报纸与我接触的机会是很少的。 解析:应该是“我和报纸的接触”。 ②去年的学习成绩和今年比较起来大不相同。 解析:我们比较一先一后两件事，一般总是以后者为主体，应是“今年的学习成绩和去年......”。 ③我生在武汉,长在武汉,黄鹤楼的传说对我并不陌生.
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言 第一节“逻辑”的含义 一、逻辑的词源 1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi）。 ·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。 ·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义。 2. 逻各斯演变为“逻辑”一词 ·最先是由斯多葛学派使用;看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。 ·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词。 ·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。 3. 逻辑一词传入中国 ·严复开始，“按逻辑此翻名学。其名义始于希腊，为逻各斯一根之转”. ·严复翻译的时间大约在19世纪末; ·再过十多年后，由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问 4. 为什么logic要翻译为逻辑？ 逻辑学是有点特殊的学科。 特殊在什么地方？ 学科名的特殊和学科内容的特殊。 中国历史上和逻辑对应的学科? 逻辑究竟研究什么？ 二、什么是逻辑？ 1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。 她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。 逻辑是一门讲道理的学科。逻辑总是和语言相关。逻辑总是和论证证明推理相关。p2 2. 三个方向的推理 追寻历史：一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导。 确定目标：未来可能出现的事件，这是向前的推理。 演绎推理：没有时空条件的推理，数学和逻辑。几何证明和数学计算。 第二节逻辑历史简述 一、古典逻辑 1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父。 2. 亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》，这些篇章后来合编为《工具论》一书。 3. 亚里士多德的三段论逻辑（第四章） 4. 斯多葛学派的逻辑 ·亚里士多德是现代形式逻辑的创始人，斯多葛学派稍后于亚里士多德，大约晚2个世纪。他们创立了命题逻辑雏形。（第三章） ·就形式逻辑学科而言，这两大逻辑学派都应该看作是现代形式逻辑的祖先。 Formal logic
第2章一阶逻辑典型习题知识分享
第2章一阶逻辑典型 习题
第二章 一阶逻辑 1. 用谓词表达式写出下列命题: (1) 王文不是学生; (2) 2是素数且是偶数; (3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数; (4) 河北省南接河南省; (5) 若2大于3.则2大于4. 解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文 于是（1）为：）（a P ?.K (2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2 于是（2）为：H （a ））（a M ∧ (3) R(x) ：x 是奇数 于是（3）为：R （m ））（m R 2?→. (4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省 于是（4）为L （c,d ）. (5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4 于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→. 说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。其中，主语是语句中的主动者，称为个体。谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。 例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ΛΛΛΛ南接”都是谓词。
在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。个体变量的取值范围是定义域。 例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。 表示个体性质的谓词，一般形如G（x）,是一元谓词或一元命题函数。表示n个个体之间关系的谓词，一般形如P（x1，x, Λn）,是n元谓词或n元命题 Λ 函数。 谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。 例如，“x是有理数”是一元谓词，记作G（x），其中G表示谓词 Λ”，D：实数集，G（x）：x是有理数，是一元谓词（不是命题，没“是有理数 有真值）。3D ∈，G（3）：3是有理数，是命题，真值为1。 由于命题逻辑是一阶逻辑的特例（命题可看作是无变量的谓词或0元谓词），因此，命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。 注意，n元谓词中，与谓词想联系着的几个个体名称的次序是不能随意变动的，如前例中的（4）。 2.用谓词表达式写出下列命题： （1）凡是有理数都可以写成分数； （2）存在着会说话的机器人； （3）并非每个实数都是有理数； （4）如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零； （5）没有不犯错误的人。
形式逻辑最全期末复习资料
1、普通逻辑：是研究思维的逻辑形式及其基本规律和简单逻辑方法的科学。 2、思维：是人脑的机能，是人脑对于客观世界间接地，概括地反映。思维对客观世界的反映方式叫思维形式，概念、判断和推理是思维的基本形式。 思维与语言有不可分类的联系。思维对客观世界的反映（概念、判断和推理）是借助于语言（语词、句子和句群）来实现和表达的。 3、思维的逻辑形式：思维有具体内容，也有逻辑形式，反映在概念、判断和推理中的特定对象及其属性叫思维的具体内容；思维内容各部分之间的联系方式（或形式结构），叫思维的逻辑形式。 思维的逻辑形式既与思维的具体内容相联系，其自身又具有相对的独立性。普通逻辑不研究思维的具体内容，只研究各种不同类型的思维的逻辑形式。 任何一种逻辑形式都是由两部分构成的，一是逻辑常项，一是变项。逻辑形式之间的区别，取决于它们的逻辑常项的不同。 4、简单的逻辑方法：普通逻辑所研究的逻辑方法主要是指：定义、划分、限制与概括、探求因果联系的五种归纳方法等。相对于辩证逻辑所研究的逻辑方法，上述方法是比较简单的。 5、概念：是反映对象特有属性或本质属性的思维形式。概念与感觉、知觉、表象不同：感觉、知觉、表象是反映个别对象的具体形象及其属性，其中既有特有属性或本质属性，也有非特有属性或非本质属性；概念舍支了对象的非特有或非本质的忏悔，而是抽象地反映对象的特有属性或本质属性。 6、概念的内涵和外延 任何概念都有两个逻辑牲，即内涵和外延。内涵就是反映在概念中的对象的特有属性或本质属性，通常称为概念的含义。外延就是指具有概念所反映的特有属性或本质属性的对象，通常称为概念的适用范围。 7、单独概念：是反映唯一无二的对象的概念。语词中的专有名词和摹状词都表达单独概念。 8、普遍概念：是反映两个或两个以上对象的概念。语词中的普通名词、形容词和动词等，一般都表达普遍概念。 9、集合概念和非集合概念：反映集合体的概念叫集合概念，反映非集合体的概念叫非集合概念。集合体是由若干同类的个体组成的统一的总体，一人集合体所具有的忏悔，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的每一个体所具有。非集合体则不同。 10、正概念和负概念：反映对象具有某种忏悔的概念就是正概念，反映对象不具有某种忏悔的概念就是负概念。从语言方面说，在表达负概念的语词中，常常含有“无”、“不”、“非”等否定词。负概念总是相对于某个特定范围而言的，一个负概念所相对的范围，逻辑上叫做论域。 11、同一关系：a、b两个概念，如果它们的外延全部重合，即所有的a都是b，同时所有的b都是a，那么a与b之间的关系就是同一关系。 12、真包含于关系：a、b两个概念，如果所有的a都是b，但是有的不是，那么与之间的关系说是真包含于关系，即真包含于。 13、真包含关系：a、b两个概念，如果所有的b都是a，但是有的a不是b，那么a与b之间的关系就是真包含关系，即a真包含b。 在真包含于关系和真包含关系中，都有一个外延较大的概念和一个外延较小的概念。外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两种关系叫属种关系。 14、交叉关系：a、b两个概念，如果它们的外延仅有一部分是生命的，即有的a是b，有的a不是b，而且，有的b是a，有的b不是a，那么a与b之间的关系就是交叉关系。 15、同一关系、真包含于关系、真包含关系和交叉关系中至少有一部分外延是重合的。我们把这四种关系统称为相容关系。
(完整版)集合与简易逻辑测试题
（集合与简易逻辑） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|, a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（） A.9 B.8 C.7 D.6 2、若集合M=｛y| y=｝，P=｛y| y=｝，则M∩P= （） A｛y| y>1｝B｛y| y≥1｝C｛y| y>0｝D｛y| y≥0｝ 3、下列四个集合中，是空集的是( ) A . B . C. { D .. 4、若关于x的不等式<1的解集为{x|x <1或x > 2},则实数a的值为( ) A.1 B.0 C.2 D. 5、已知集合M=｛a2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 6、设集合A={x| < 0},B={x||x-1| A.35 B.25 C.28 D.15 8、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（） A．B．C．D． 9、若二次不等式ax2+bx+c > 0的解集是{x| < x <},那么不等式2cx2-2bx-a < 0的解集是( ) A.{x|x< -10或x > 1} B.{x|－< x <} C.{x|4< x <5} D.{x|-5< x < -4} 10、已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,a,b∈R,对于命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”有下列结论: ①此命题的逆命题为真命题②此命题的否命题为真命题 ③此命题的逆否命题为真命题④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题 其中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11、对任意实数, 若不等式恒成立, 则实数的取值范围是( ) A k≥1 B k <1 C k≤1 D k >1 12、若集合A B, A C, B=｛0,1,2,3,4,7,8｝, C=｛0,3,4,7,8｝, 则满足条件的集合A 的个数为( ) A. 16 B 15 C 32 D 31 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。 1、试分析说明“甲班学生”在下列语句中，哪些表示集合概念，哪些表示非集合概念。 （1）甲班学生是省内各地来的。（2）刘伟是甲班学生。（3）甲班学生都应当努力学习。 1、（1）表示集合概念；（2）（3）表示非集合概念。 2、下列各组概念中，哪些不具有属种关系？为什么？ A、命题——复合命题 B、联言命题——联言肢 C、三段论——大前提 D、中国——湖北省 2、B、C、D不具有属种关系。 3、甲断定“甲班学生都学英语”为真，乙断定“甲班学生都不学英语”为假，甲的断定与乙的断定是不是等值的？为什么？ 3、不是等值的。 4、如断定a和b都真，又断定c假，是否违反矛盾律的要求？为什么？ a有的甲班学生是学英文打字的。 b有的甲班学生不是学英文打字的。 c甲班学生都是学英文打字的。 4、不违反矛盾律的要求。 5、如果一个有效三段论的大前提为O命题。试问它是第几格的三段论？请分别以S、M、P为小项、中项、大项写出它的逻辑形式。 5、第三格的OAO式。 四、表解题（每小题5分，共20分。） 1、用真值表判定“（p→q）∧┒q）→┒p”是否是重言式？ 1、是重言式。 2、用真值表判定“如果p，那么q”与“只有非p，才非q”之间是否具有等值关系。 2、不具有等值关系 3、请写出“并非（只有贪污，才是犯罪）”的等值命题，并用真值表验证。 3、没有贪污，但犯了罪。 4、列出A、B、C三命题的真值表，并回答A、B、C三命题恰有一个为真时，甲是否为木工？ A、如果甲不是木工，则乙是泥工。 B、如果乙不是泥工，则甲不是木工。 C、甲不是木工，且乙不是泥工。 4、甲是木工。 五、综合题（20分） 已知： （1）只有破获03号案件，才能确认甲、乙、丙三人都是罪犯； （2）03号案件没有破获； （3）如果甲不是罪犯，则甲的供词是真的，甲说“乙不是罪犯”； （4）如果乙不是罪犯，则乙的供词是真的，乙说“我和丙是好朋友”； （5）现查明丙根本不认识乙。 问：根据上述已知情况，甲、乙、丙三人中谁是罪犯？谁不是罪犯？请写出推导过程。 甲乙是罪犯，丙不是罪犯。 三、分析题（每小题4分，共40分） （一）下列推理是何种推理？是否正确？为什么？ SEP→SA P→P AS 1、直接推理；不正确。 铁是固体，铁是金属；所以，所有金属都是固体。 2、三段论；不正确小项不周延 我们是革命者；所以，我们要实事求是。 3、省略三段论；正确 我们班有不少学生是共青团员，有些共青团员是学习成绩很好的学生；所以，有些学习成绩很好的学生是我们班上的学生。逻辑学