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希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题

2009-12-31 12:41:40

希尔伯特23个问题及解决情况

1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：

正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：

清晰性和易懂性；

虽困难但又给人以希望；

意义深远。

同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号问题推动发展的领域解决的情况

1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。

3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生

M.Dehn给出了肯定的解答。

4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。

5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。

6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由

A.H.Konmoropob等人建立。

7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。

8 素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach 问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。

9 任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.

10 Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一

般算法是不存在的。

11 系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。

12 Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域。复乘法理论尚未解决。

13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。方程论与实函数论连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。

14 证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否定解决。

15 Schubert记数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础，已由

B.L.Vander Waerden(1938-40)与A.Weil(1950)建立。

16 代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题的前半部分，

近年来不断有重要结果。

17 正定形式的平方表示式域（实域）论已由Artin 于1926年解决。

18 由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。

19 正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这个问题在某种意义上已获解决。

20 一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl(德，1957)解决。

22 解析关系的单值化Riemann 曲面体一个变数的情形已由P.Koebe (德，1907)解决。

23 变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

百年前的数学家大会与希尔伯特的问题

熊卫民

21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。

1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H. Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。

数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三。希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。

为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。

庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。

希尔伯特的老师克莱茵（Felix Klein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。

在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。

从一个例子可以想见他们的魅力。

某天，在谈及拓扑学著名定理——四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后，他还没有证完。下堂课他继续证，这样一直持续了几周。最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。）

1912年，庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！”

一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？

费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。（费马大定律直到1997年才被解决。）

在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数学的诸多领域

取得多项重要成果。他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。

1 21世纪七大数学难题

21世纪七大数学难题

最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题

的简单介绍。

“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

“千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单

连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

希尔伯特的23个问题-精选教学文档

希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973

初二数学经典难题(带答案及解析)

初二数学经典难题 一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ周长的最小值． 8．（10分）（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值． 9．（10分）（2010河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．

(完整版)初一下册数学难题(全内容)

初一下册数学难题 1、下列五个命题中，结论正确的有（ ） ①连接任意三点组成的图形是三角形. ②外角和大于内角和的多边形只有三角形. ③多边形的边数增加一条时，内角和增加180°. ④三角形的三个内角中最多有一个钝角，三个外角中最少有一个钝角. ⑤三角形三条高所在直线交于三角形内一点或外一点. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、已知点P （0, a ）在y 轴的负半轴上，则点Q （)1a a 2 +-， 在（ ） A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3、不等式 m x m +< -2的解集为2x >，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C.0 D. 2 3 4、用一批完全相同的多边形地砖铺地面，不能进行镶嵌的是( ) A ．正三角形 B ．正方形 C ．正八边形 D ．正六边形 5、若等腰三角形的周长为15，则腰长x 的取值范围是（ ） 6、解方程：( ) οο ο 1803 1 902180?= ---αα，则α= 7、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是 8、（1）若21 2(1)11x a x x -??? +?-?的解为x ＞3，则a 的取值范围 （2）若21 23x a x b -??? -?? 的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （3）若20 4160 x m x -≤?? +??有解，则m 的取值范围 （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a= 9、已知2 4(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ； 10、已知3530 3580 x y z x y z ++=??--=?（0z ≠），则:x z = ，:y z = ； 11、当m= 时，方程26 2310 x y x y m +=?? -=-?中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。 12、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。 13、若方程x x m x m 5)3(1)1(3--=++的解是负数，则m 的取值范围是 。

21世纪物理学的25个难题

21世纪物理学的25个难题 大卫·格罗斯1[①] 编者按：1900年，在巴黎国际数学家代表大会上，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1864－1943）根据19世纪数学研究成果和发展趋势，提出了新世纪数学家应该致力解决的23个数学问题。希尔伯特的演讲，对20世纪的数学发展，产生了极大的影响。100余年之后的2004年，另一个大卫，因发现量子色动力学中的“渐近自由”现象而荣获2004年诺贝尔物理学奖的美国物理学家大卫·格罗斯教授，同样就未来物理学的发展，提出了25个问题。也许人们会说，在物理学领域提出问题要比数学领域容易得多，因为物理学就像大江大河，而数学则像尼罗河三角洲中纵横交错的河网。但若是反过来想一想，既然物理学界对前沿问题具有更广泛的共识，我们就不难明白，格罗斯教授所提出的问题对未来物理学发展的重要意义。有趣的是，这25个问题中，有1/3落在物理学的边缘地带，其中3个与计算机科学相关，3个与生物学相关，4个与哲学和社会学相关。格罗斯教授的演讲，最初是为美国加州大学卡维利理论物理研究所成立25周年庆典而准备的，该庆典云集了物理学各领域的世界一流学者。此后数月，格罗斯教授先后在欧洲核子中心（CERN）、中国科学院理论物理研究所、浙江大学等地作过内容相近的讲演。这里的译文，系根据格罗斯教授所提供的讲稿译出，中科院理论物理所网站有免费下载的讲演录相（https://www.wendangku.net/doc/2b16466718.html,/ Video/2005/000.asf），读者也可以参考。 作者简介：大卫·格罗斯（David Gross），美国国家科学院院士，加州大学圣巴巴拉分校（University of California at Santa Barbara）卡维利理论物理研究所（Kavli Institute for Theoretical Physics ）所长。格罗斯教授是量子色动力学的奠基人之一，当代弦理论专家，因发现强相互作用中的渐近自由现象2004年与弗兰克·维尔切克（Frank Wilczek）和戴维·波利策（David Politzer）分享了当年度的诺贝尔物理学奖。 这份讲稿来自于我在2004年10月7日卡维利理论物理研究所（KITP）25周年庆祝会议上所作的演讲。在这次会议中，与会者被邀请提出一些可能引导物理学研究的问题，广泛地说，在未来25年可能引导物理学研究的问题，讲稿中的一部分内容就来自于与会者所提出的问题。 1、宇宙起源 第1个问题关于宇宙的起源。这个问题不仅对于科学而且对于哲学和宗教都是一个永久的问题。现在它是理论物理学和宇宙学亟待解决的问题：“宇宙是如何开始的？” 根据最新的观察，我们知道宇宙正在膨胀。因此，如果我们让时光倒流，宇宙将会收缩。如果我们应用爱因斯坦方程和我们关于粒子物理学的知识，我们可以或多或少对哪儿会出现“初始奇点”做出近似的推断。在“初始奇点”，宇宙收缩成为一种难以置信的高密度和高能量的状态——即通常所称的“大爆炸”。我们不知道在大爆炸点（at the big bang）发生了什么，我们所知的基础物理的所有方法——不仅是广义相对论和标准模型，甚至包括我所知的弦理论——都失灵了。 1[①]作者简介：大卫·格罗斯（David Gross），美国国家科学院院士，加州大学圣巴巴拉分校（University of California at Santa Barbara）卡维利理论物理研究所（Kavli Institute for Theoretical Physics ）所长。格罗斯教授是量子色动力学的奠基人之一，当代弦理论专家，因发现强相互作用中的渐近自由现象2004年与弗兰克·维尔切克（Frank Wilczek）和戴维·波利策（David Politzer）分享了当年度的诺贝尔物理学奖。

初一下册数学难题(全内容)

初一下册数学难题（全内容） 1、解方程：( ) 1803 1902180 ?= ---αα，则α= 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？ 3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是 4、（2）若21 2(1)11x a x x -???+?-?的解为x ＞3，则a 的取值范围 （3）若21 23 x a x b -???-??的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a= （5）若20 4160x m x -≤??+??有解，则m 的取值范围 5、已知321 21 x y m x y m +=+??+=-?，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？ 7、已知2 4(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ； 8、已知3530 3580 x y z x y z ++=??--=?（0z ≠），则:x z = ，:y z = ； 9、当m= 时，方程26 2310x y x y m +=??-=-? 中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。 10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。 11、? ??=-=+m y x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12 -。 12、若方程x x m x m 5)3(1)1(3--=++的解是负数，则m 的取值范围是 。 13、船从A 点出发，向北偏西60°行进了200km 到B 点，再从B 点向南偏东20°方向走500km 到C 点，则∠ABC= 。

世界十大数学难题

难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 难题”之四：黎曼(Riemann)假设 难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 难题”之八：几何尺规作图问题 难题”之九：哥德巴赫猜想 难题”之十：四色猜想 美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设

希尔伯特23个数学问题7大数学难题

世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决 的问题”） 一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 三：庞加莱(Poincare)猜想

21世纪四大化学难题

21世纪四大化学难题 到了21世纪，数学界、物理学界和生物学界都相继提出了各自领域的重大难题或奋斗目标。但在化学界，一直没有人明确提出哪些是化学要解决的世纪难题。 近年来，在世界范围内出现了淡化化学的思潮。那么化学界果真提不出重大难题吗？有人对这一问题，提出21世纪的四大化学难题供大家一起探讨。如何建立精确有效而又普遍适用的化学反应的含时多体量子理论和统计理论？ 化学是研究化学变化的科学，所以化学反应理论和定律是化学的第一根本规律。应该说，目前的一些理论方法对描述复杂化学体系还有困难。因此，建立严格彻底的微观化学反应理论，既要从初始原理出发，又要巧妙地采取近似方法，使之能解决实际问题，包括决定某两个或几个分子之间能否发生化学反应？能否生成预期的分子？需要什么催化剂才能在温和条件下进行反应？如何在理论指导下控制化学反应？ 如何计算化学反应的速率？如何确定化学反应的途径等，是21世纪化学应该解决的第一个难题。对于这一世纪难题，应予首先研究的课题有：(1)充分了解若干个重要的典型的化学反应的机理，以便设计最好的催化剂，实现在最温和的条件进行反应，控制反应的方向和手性，发现新的反应类型，新的反应试剂。 (2)在搞清楚光合作用和生物固氮机理的基础上，设计催化剂和反应途径，以便打断CO2, N2等稳定分子中的惰性化学键。(3)研究其它各种酶催化反应的机理。酶对化学反应的加速可达100亿倍，专一性达100%。如何模拟天然酶，制造人工催化剂，是化学家面临的重大难题。(4)充分了解分子的电子、振动、转动能级，用特定频率的光脉冲来打断选定的化学键——选键化学的理论和实验技术。 如何确立结构和性能的定量关系？这里“结构”和“性能”是广义的，前者包含构型、构象、手性、粒度、形状和形貌等，后者包含物理、化学和功能性质以及生物和生理活性等。这是21世纪化学的第二个重大理论难题。要优先研究的课题有：(1)分子和分子间的非共价键的相互作用的本质和规律。(2)超分子结构的类型，生成和调控的规律。(3)给体-受体作用原理。(4)进一步完善原子价和化学键理论，特别是无机化学中的共价问题。(5)生物大分子的一级结构如何决定高级结构？高级结构又如何决定生物和生理活性？(6)分子自由基的稳定性和结构的关系。(7)掺杂晶体的结构和性能的关系。(8)各种维数的空腔结构和复杂分子体系的构筑原理和规律。(9)如何设计合成具有人们期望的某种性能的材料？(10)如何使宏观材料达到微观化学键的强度？例如“金属胡须”的抗拉强度比通常的金属丝大一个量级，但还远未达到金属-金属键的强度，所以增加金属材料强度的潜力是很大的。以上各方面是化学的第二根本问题，其迫切性可能比第一问题更大，因为它是解决分子设计和实用问题的关键。 如何揭示生命现象的化学机理？充分认识和彻底了解人类和生物的生命运动的化学机理，无疑是21世纪化学亟待解决的重大难题之一。例如：(1)研究配体小分子和受体生物大分子相互作用的机理，这是药物设计的基础。(2)化学遗传学为哈佛大学化学教授Schreiber所创建。他的小组合成某些小分子，使之与蛋白质结合，并改变蛋白质的功能，例如使某些蛋白酶的功能关闭。这些方法使得研究者们不通过改变产生某一蛋白质的基因密码就可以研究它们的功能，为开创化学蛋白质组学，化学基因组学(与生物学家以改变基因密码来研究的方法不

人教版数学七年级下册重难点

七年级下册重难点 相交线与平行线（共6课时） 课题：5.1相交线垂线1 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用、垂线的定义及性质 难点:理解对顶角相等的性质的探索、垂线的画法。 课题：5．2平行线直线平行的条件2 [教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会用直线平行的条件来判定直线平行 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； [教学重点与难点] 重点：平行线的概念与平行公理；判定两条直线平行方法的应用； 难点：对平行公理的理解．简单的逻辑推理过程. 课题：5.3平行线的性质 2 [教学目标] 1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． [重点难点] 重点：平行线的三个性质；平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．平行线性质和判定灵活运用 课题：5.4平移 1 [教学目标] 1.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 2.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点] 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图

平面直角坐标系（共4课时） 课题：6.1有序数对平面直角坐标系2 [教学目标] 1.理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 2.认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位 [教学重点与难点] 重点:有序数对及平面内确定点的方法；平面直角坐标系和点的坐标. 难点:利用有序数对表示平面内的点. 正确画坐标和找对应点 课题：6．2用坐标表示地理位置用坐标表示平移2 [教学目标] 1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程；培养学生解决实际问题的能力． 2．通过学习如何用坐标表示地理位置，发展学生的空间观念、象思维能力，和数形结合的意识 3．通过学习，学生能够用坐标系来描述地理位置． 4．通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，培养学生的认真、严谨的做事态度． [教学重点与难点] 重点：利用坐标表示地理位置． 难点：建立适当的直角坐标系，利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题 三角形（共6课时） 课题：7.1 与三角形的关的线段、外角 2 【教学目标】 1、通过观察、操作、想像、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力； 3、学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系； 【重点难点】 重点：了解三角形定义、三边关系。理解三角形内角和定理的推导; 难点：理解“首尾相连”等关键语句。 课题：7.2多边形的内角和 2 教学目标 1.了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想 2.过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3.索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。[教学重点与难点] 重点：了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念；索多边形的内角和及外角和公式 难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。 课题：7.3镶嵌 2 教学目标： 1.多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面. 2.察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件. [教学重点与难点] 重点：是经历平面镶嵌条件的探究过程。 难点：是用两种正多边形进行的平面镶嵌.

希尔伯特的二十三个数学问题

希尔伯特的二十三个数学问题 1900年，德国数学家D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题 》的著名讲演，其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解，而整个 讲演的核心部分则是希尔伯特根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题。 ①连续统假设1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。 ②算术公理的相容性1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。 ③两等高等底的四面体体积之相等M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 ④直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 ⑤不要定义群的函数的可微性假设的李群概念A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。 ⑥物理公理的数学处理公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由А.Н.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。 ⑦某些数的无理性与超越性1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地 解决了问题的后半部分，即对于任意代数数□≠0，1，和任意代数无理数□证明了□□的超越性。 ⑧素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。 ⑨任意数域中最一般的互反律之证明已由高木□治(1921)和E.阿廷(1927)解决。 ⑩丢番图方程可解性的判别1970年，□.В.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。 11 系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。 12 阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由В.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。 14 证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。 15 舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。 16 代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Г.彼得罗夫斯基曾声明证明了□=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。

初一数学难题大全

一、填空。 1．如果下降5米，记作－5米，那么上升4米记作（）米；如果＋2千克表示增加2千克，那么－3千克表示（）。 2．海平面的海拔高度记作0m，海拔高度为＋450米，表示（），海拔高度为－102米，表示（）。 3．如果把平均成绩记为0分，＋9分表示比平均成绩（），－18分表示（），比平均成绩少2分，记作（）。 4．＋8.7读作（），－25 读作（）。 5．数轴上所有的负数都在0的（）边，所有正数都在0的（）边。 6．在数轴上，从表示0的点出发，向右移动3个单位长度到A点，A点表示的数是（）；从表示0的点出发向左移动6个单位长度到B点，B点表示的数是（）。 7．比较大小。 －7○ －5 1.5○52 0○－2.4 －3.1○3.1 二、判断。 1．零上12℃（＋12℃）和零下12℃（－12℃）是两种相反意义的量。………（） 2．数轴上左边的数比右边的数小。………………………………………………（） 3．在8.2、－4、0、6、－27中，负数有3个。…………………………………（） 三、选择。（将正确答案的序号填在括号里）。 1．规定10吨记为0吨，11吨记为＋1吨，则下列说法错误的是（）。 A、8吨记为－8吨 B、15吨记为＋5吨 C、6吨记为－4吨 D、＋3吨表示重量为13吨 2．以明明家为起点，向东走为正，向西走为负。如果明明从家走了＋30米，又走了－30米，这时明明离家的距离是（）米。 A、30 B、－30 C、60 D、0 3．数轴上，－12 在－18 的（）边。 A、左 B、右 C、北 D、无法确定 4．一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（）克。 A、155 B、150 C、145 D、160

七年级下册数学难题

七年级数学经典题 1、解方程：( ) 1803 1902180 ?= ---αα，则α= 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？ 3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是 4、（2）若21 2(1)11x a x x -???+?-? 的解为x ＞3，则a 的取值范围 （3）若2123 x a x b -??? -??的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a= （5）若20 4160x m x -≤??+?? 有解，则m 的取值范围 5、已知32121 x y m x y m +=+?? +=-?，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？ 7、已知2 4(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ； 8、已知35303580 x y z x y z ++=?? --=?（0z ≠），则:x z = ，:y z = ； 9、当m= 时，方程26 2310x y x y m +=??-=-? 中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。 10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。 11、?? ?=-=+m y x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12 - 。 12、若方程x x m x m 5)3(1)1(3--=++的解是负数，则m 的取值范围是 。 13、船从A 点出发，向北偏西60°行进了200km 到B 点，再从B 点向南偏东20°方向走500km 到C 点，则∠ABC= 。 14、?? ?=++=+a y x a y x 32253的解x 和y 的和为0，则a= 。 15、a 、b 互为相反数且均不为0，c 、d 互为倒数，则=- + ?+cd a b b a 3 25)( 。 a 、 b 互为相反数且均不为0，则=+?-+)1( )1(b a b a 。

希尔伯特23个数学问题及其解决情况

希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的

高考数学：世界著名数学难题

455 63 世界著名数学难题 20世纪是数学大发展的一个世纪。数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成 等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。回首20世纪数学 的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希 尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世 界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方 向。 知识荐语： 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门 基础学科，简单地说，是研究数和形的科学。在数学发展的历 史上，数学们不但证明了诸多经典的定理，还把众多谜题留给 后人。这期知识，就让我们一同走进那些著名的数学难题。 1. 四色猜想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 ? 四色猜想到底怎么回事? ? 什么是四色猜想 ? 证明四色猜想的计算机是什么名字 ? 哪里有关于四色猜想的资料 ? 请问世界上那个四色猜想的内容是什么? ? 2. 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。 ? 哥德巴赫猜想为什么被转化为证明1+1？ ? 哥德巴赫猜想的内容 ? 哥德巴赫猜想难在哪里? ? 哥德巴赫猜想有什么新进展 ? 哥德巴赫猜想与1+1是什么关系？

21世纪七大数学难题

21世纪七大数学难题 最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2019年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二：霍奇（Hodge）猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数

不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。 “千僖难题”之三：庞加莱（Poincare）猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四：黎曼（Riemann）假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密

七年级数学下册难题及解答

难题及解答 1.如图, 已知A （-4，-1），B （-5，-4），C （-1，-3），△ABC 经过平移得到的△A′B′C′,△ABC 中任意一点P(x 1,y 1)平移后的对应点为P′(x 1+6,y 1+4)。 （1）请在图中作出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标. 2.长沙市某公园的门票价格如下表所示: 购票人数 1～50人 51～100人 100人以 上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100?多人去该公园举行毕业联欢活动,?其中甲班有50多人,乙班不足50人,如果以班为单位分别买门票,两个班一共应付920元;?如果两个班联合起来作为一个团体购票,一共要付515元,问甲、乙两班分别有多少人? 3、某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A ，B 两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A,B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来． C 'B 'A 'P '(x 1+6,y 1+4)P(x 1,y 1)-2 x y 23541-5-1 -3-40-4-3-2-12143C B A y

C 'B ' A 'P '(x 1+6,y 1+4)P(x 1,y 1)-2x y 23541-5-1-3-40-4-3-2-12143C B A 答案:1. A′(2,3),B′(1,0),C′(5,1). 2. 解：设甲、乙两班分别有x 、y 人. 根据题意得81092055515x y x y +=??+=? 解得5548x y =??=? 故甲班有55人,乙班有48人. 3. 解：设用A 型货厢x 节，则用B 型货厢（50-x ）节，由题意，得 3525(50)15301535(50)1150 x x x x +-≥??+-≥? 解得28≤x ≤30． 因为x 为整数，所以x 只能取28，29，30． 相应地（5O-x ）的值为22，21，20． 所以共有三种调运方案． 第一种调运方案：用 A 型货厢 28节,B 型货厢22节； 第二种调运方案：用A 型货厢29节,B 型货厢21节； 第三种调运方案：用A 型货厢30节,用B 型货厢20节．

21世纪难题

21世纪100个科学难题 1、对深层物质结构的探索 2、协调相对论和量子论的困难 3、引力波探测 4、质子自旋“危机”及其实验探索 5、力学的世纪难题――湍流 6、金属微粒中的量子尺寸效应和超导电性 7、高温超导电性 8、固体的破坏 9、宇宙结构的形成与星系的起源 10、太阳中微子之谜 11、活动星核的能源和演化 12、星际分子去和恒星的形成 13、宇宙常数问题 14、太阳活动的起源 15、磁元的争辩 16、黑洞的证认 17、宇宙论中的暗物质问题 18、地外文明与太空移居 19、寻找地外理性生命 20、星系演化的途径

21、最终解决人类能源问题的课题 22、未来的空间太阳能发电 23、太阳风的起源及其加速机制 24、日冕加热和太阳风加速 25、表面张力梯度驱动对流 26、磁层亚暴和磁暴的整体过程 27、富勒烯化学 28、单原子识别与分子设计和合成 29、室温有机超导体 30、催化的高选择性合成 31、原子簇物质 32、非线性光学聚合物实用化的若干问题 33、分子工程学 34、分子元件的单原子加工和自组装 35、可持续发展对化学的挑战 36、地球科学中的非线性和复杂性 37、地球构造运动驱动机制的反演 38、人类对全球环境变化影响的预测 39、气候系统动力学 40、自然控制论 41、地震成因与地球内部流体 42、地球的自转运动及其与地球各圈层的相

互作用 43、现今岩石圈构造解析中的若干难题 44、生物多样性保护 45、细胞凋亡 46、生物学的理论大综合：遗传、发育和进化的统一 47、分子识别、化学信息学和化学反应智能化问题 48、人能否在地球以外长期生存 49、脑神经系统动力学 50、生命、人的思维、意识、目的等的物理学基础 51、探索生命和遗传语言 52、疯牛病――中心法则――Affinsen原理 53、分子进货的驱动力与分子进化理论 54、脑的诸模型能带我们走多远 55、如何控制化学反应的方向（反应通道） 56、未来的认知神经科学能束给意识以新的解释 57、地球深化的统一理论：“两均论”与“两非论” 58、有机体信息系统的深化在物种生存、适