相交线和平行线知识点总结
在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系:相交与平行。在初中,我们会更加深入地研究角度的关系。角度的关系和直线的位置关系密切相关。
相交线
一、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
相关测试:
(1)若三条直线交于一点,则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
(2)下列各图中,1∠与2∠是对顶角的是( )
(3)直线AB 、CD 相交于点O ,
⑴如果100AOC BOD ∠+∠=o ,那么____AOD ∠=o
; ⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30o ,那么___AOC ∠=o
两线垂直
⑴定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O
⑵垂线性质1:在同一平面,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(与平行公理相比较记)
A B C
D O
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
相关测试:
(1)如图,点O 是直线CD 上一点,AO OB ⊥,2AOD BOC ∠=∠,求BOC ∠的度数.
(2)三角形ABC 中,90C ∠=o ,6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________,A 、B 两点的距离是________.
如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段
⑵两点间距离与点到直线的距离
⑶线段与距离
三.平行线
1、平行线的概念:同一平面两条直线的位置关系有两种 1.相交;2.平行
在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。
附:判断同一平面两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线
2、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
3、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵b ∥a ,c ∥a
∴b ∥c
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三
条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、错角与同旁角。 如图,直线b a ,被直线l 所截
①∠1与∠5在截线l 的同侧,同在被截直线b a ,的上方, 叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线l 的两旁(交错),在被截直线b a ,之间(),叫做错角(位置在且交错)
③∠5与∠4在截线l 的同侧,在被截直线b a ,之间(),叫做同旁角。
a b
c
a
b
l
1
2 3 4 5 6 7 8
④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;错角是“Z”型;同旁角是“U”型。
相关练习:
一、选择题:
1.在同一平面,两条不重合直线的位置关系可能是( )
A.平行或相交
B.垂直或相交;
C.垂直或平行
D.平行、垂直或相交
2.下列说确的是( )
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3.在同一平面有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4.下列说确的有( )
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二.填空题
1.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.
2.在同一平面,若两条直线相交,则公共点的个数是________;?若两条直线平行,则公共点的个数是_________.
3.同一平面的三条直线,其交点的个数可能为________.
4.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,?B,C三点________,理论根据是___________________________.
5.两条直线平行,它们的交点个数是_______.
6.平行用符号“______”表示,直线AB与CD的平行,可以记作_______.
7._______,______的两条直线叫做平行线.
8.在同一平面,两条直线的位置关系有_____和______两种.
三、解答题变式训练:
1.已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?
四.平行线的性质 1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等; 性质2:两直线平行,错角相等; 性质3:两直线平行,同旁角互补。 几何符号语言: ∵AB ∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,错角相等) ∵AB ∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) ∵AB ∥CD
∴∠4+∠2=°(两直线平行,同旁角互补) 2、两条平行线的距离
如图,直线AB ∥CD ,EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意:直线AB ∥CD ,在直线AB 上任取一点G ,过点G 作CD 的垂线段GH ,则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
相关练习:
1.命题“垂直于同一直线的两直线平行”这个命题对不对________(写对错)
2. 如图1,直线
,直线与
相交.若
,则
.
图1 图2 图3
A B C D E F 1 2 3 4 A
E
G B C F H D
3、如图2,已知则______.
4、如图3 ,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C=______
5、如图4,已知,,,则.
图4 图5 图6 6、如图5所示,请写出能判定CE∥AB的一个条件.
7、如图6,已知,=____________
8 如图10,,分别在上,为两平行线间一点,
那么()
图10
五、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果错角相等,那么这两条直线平行 简称:错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁角互补,那么这两条直线平行 简称:同旁角互补,两直线平行 几何符号语言: ∵ ∠3=∠2
∴ AB ∥CD (同位角相等,两直线平行) ∵ ∠1=∠2 ∴ AB ∥CD (错角相等,两直线平行) ∵ ∠4+∠2=°
∴ AB ∥CD (同旁角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或错角“相等”或同旁角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
相关习题
如图,AD=CD ,AC 平分∠DAB ,求证DC ∥AB .
A B C D
E F 1 2 3 4
六、平行的常见模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧,在AB、CD部“铅笔”模型结论1:若∥,则∠+∠+∠=3 60°;
结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型(M模型)
点P在EF左侧,在AB、CD部“猪蹄”模型结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
·
点P在EF左侧,在AB、CD外部
“骨折”模型结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.