高中数学学业水平测试基础知识点汇总
V
R 3
4
3
log log log a a a M M N
N =-2011年高中数学学业水平测试
复习必背知识点
必修一 集合与函数概念
1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个
2、求)(x f y =的反函数：解出)(1
y f x -=，y x ,互换，写出)(1
x f y -=的定义域；函数
图象关于y=x 对称。
3、对数：①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01log =a ；③底的对数等于1：
1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数： 幂的对数：M n M a n
a log log =； 4.奇函数()()f x f x ，函数图象关于原点对称；偶函数()()f x f x ，函数图象关于
y 轴对称。
必修二
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=
2、球的体积公式：
球的表面积公式：2
4 R
S π=
3、柱体h s V ?=，锥体 4.点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （3）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系： 相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
V
s h 1
3
log log m n a a
n b b m
=
直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α?，a
A α=，//a α。
线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：,,////a b a b a ααα???．
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：//,,//a a b a b αβα
β?=?．
两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推论模式：,,,,,,//,////a
b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=??=???
（2）两个平面平行的性质A.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；B.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2）垂直： 1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
2．线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 3．面面垂直
两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二、直线和圆的方程
1、斜 率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为
2、直线方程：（1）、点斜式：)(11x x k y y -=-；（2）、斜截式：b kx y +=； （3）、一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0） 斜率y 轴截距
3、两直线的位置关系
（1）、平行：212121//b b k k l l ≠=?且 ； 时 ，21//l l ； 垂直： ； （2）夹角范围：()π,0 夹角公式 ： ；21k k 、都存在，
夹角范围： 夹角公式： 21
k k 、都存在， （3）、点到直线的距离公式（直线方程必须化为一般式） 4、圆的方程：
（1）圆的标准方程 2
2
2
)()(
r b y a x =-+-，圆心为),(b a C ，半径为r （2）圆的一般方程022
=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 表示圆。 必修三
算法初步与统计：
1．算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构
2．算法基本语句：1．输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量2．输出语句:输出语句的一般格式：PRINT “提示内容”；表达式3．赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式4．条件语句（1）“IF —THEN —ELSE ”语句 5．三种常用抽样方法：
1．简单随机抽样2．系统抽样3．分层抽样4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。
频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：
频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。
2121
y y k x x -=
-A
k B
=-C B
-
2
1
21tan 1k k k k θ-=+2121tan 1k k k k α-=+(0,]
2
π频率组距
d =
1212
1k k l l ?=-?⊥121212
0A A B B l l +=?⊥111
2
22A B C A B C =≠1210k k +≠1210k k +≠
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。 6．刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
7．刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。 （1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。
（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。 （3）计算公式：
8．频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C …表示. 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 1.事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）； （4）对立一定互斥，互斥不一定对立。 2．概率的加法公式：
（1）当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）（2）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)． 3．古典概型
（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）= 4．几何概型：
(n s x x =
++-A 包含的基本事件个数
总的基本事件个数
sin(180)sin cos(180)cos tan(180)tan αα
αααα?-=?-=-?-=-sin()sin cos()cos tan()tan αααααα
-=--=-=-sin(180)sin cos(180)cos tan(180)tan αααααα
?+=-?+=-?+=（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． （3）几何概型的概率公式： P （A ）= 必修四 一、 三角函数
1、弧度制：（1） 弧度，1弧度 弧长公式：r l ||α=（
是角的弧度数） 2、三角函数 （1）、定义：
3、 特殊角的三角函数值
4、同角三角函数基本关系式：1cos sin 22=+αα 1cot tan =αα
5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正 公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
α
αααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-?=-?-=-?
A 构成事件的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
'180
()5718π
=≈sin cos tan cot sec csc y x y x r r
r r x y x y αααααα======
sin tan cos ααα
=
α180π=
tan tan tan()1tan
αβ
αβ
αβ--=
+
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ++=
-21cos 211
cos cos 2222
ααα+==+
)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-
)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a
)(βα+T ： )(βα-T ： 7、辅助角公式： )cos (sin 22??++?+=x b a
8、二倍角公式：（1）α2S ： αααcos sin 22sin =
α2C ： ααα22sin cos 2cos -= 1cos 2sin 2122-=-=αα
α2T ：
（2）、降次公式：（多用于研究性质）
9、三角函数：
二、平面向量
1、坐标运算：（1）设()()2211,,,y x b y x a ==→
→
，则()2121,y y x x b a ±±=±→
→
数与向量的积：λ()()1111,,y x y x a λλλ==→
，数量积：2121y y x x b a +=?→
→
（2）、设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→
.（终点减起点）
221221)()(||y y x x -+-=；向量的模||：?=2||22y x +=；
sin cos a x b x x ?+=?
?
2
2tan tan 21tan α
αα
=-1sin cos sin 22ααα
=21cos 211
sin cos 2222ααα-=
=-+
（3）、平面向量的数量积： θcos →
→→→?=?b a b a ， 注意：00=?→
→a ，→
→
=?00a ，)(=-+
（4）、向量()()2211,,,y x b y x a ==→
→的夹角θ，则，
2、重要结论：（1）、两个向量平行： →
→
→
→
=?b a b a λ// )(R ∈λ，?→
→
b a // 01221=-y x y x （2）、两个非零向量垂直0=??⊥→
→→
→
b a b a ，02121=+?⊥→
→
y y x x b a
（3）、P 分有向线段21P P 的：设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且21PP P P λ= ，
则定比分点坐标公式 ， 中点坐标公式
必修五：
一、解三角形：（1）、三角形的面积公式：
(2)正弦定理： （3）余弦定理： )1(2)(cos 2cos 2cos 22222222222cocC ab b a C ab b a c B
ac c a b A bc c b a +-+=-+=?-+=?-+=
求角：
二. 数列
1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：
2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；
（2）、通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；）
（3）、前n 项和：1． （4）、等差中项： A 是a 与b 的等差中项： 或b a A +=2，三个数成等差常设：
a-d ，a ，a+d
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。
（2）、通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ）
（3）、前n 项和：
（4）、等比中项： G 是a 与b 的等比中项：， 即ab G =2
（或ab G ±=，等比中项12
12
11x x x y y y λλ
λλ+?=??+?+?=?+?121222x x x y y y +?=???+?=??2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin a
b c
R a R A b R B c R A B C ======边用角表示： ，222
222
222
cos cos cos 222b c a a c b a b c A B C bc
ac
ab +-+-+-==
=
111(1)(2)
n n n a S n a S S n -==?=?
-≥?1()2n n n a a S +=1(1)2
n n na d -=+2
a b A +=111,(1)(1)
,(1)11n n n na q S a a q a q q q q
=?
?
=--?=≠?--?
G b a G
=
cos θ=
111
sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ?===
2
()2
a b ab +≤有两个） 三：不等式
1、 均值不等式：（1）、 ab b a 222≥+ （2）、a >0,b >0;ab b a 2≥+或
一正、二定、三相等 2、解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；
22
2
a b ab +≤