高中物理曲线运动经典题型总结(可编辑修改word版)

42+ 32

【题型总结】

专题五曲线运动

一、运动的合成和分解

1.速度的合成：（1）运动的合成和分解（2）相对运动的规律v甲地=v甲乙+v乙地

例：一人骑自行车向东行驶，当车速为 4m／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到 7m／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（）

A. 7m/s

B. 6m／s

C. 5m／s

D. 4 m／s

解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” ，即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。而风相

对地的速度方向不变，由此可联立求解。

解：∵θ=45°∴V 风对车=7—4=3 m／s

∵V

风对车

+V

车对地

=V

风对地

V 风对

∴V 风对地= =5

答案：C

2.绳（杆）拉物类问题

m／s

V 风对

V 车对

① 绳（杆）上各点在绳（杆）方向上的速度相等

②合速度方向：物体实际运动方向

分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）

垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动

例：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ 角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？

解：方法一：虚拟重物M 在Δt 时间内从A 移过Δh 到达Ｃ的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两

个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O 点做圆周运动到B，位移为Δs1，然后将绳拉过Δs2到C．

1

若Δt 很小趋近于0，那么Δφ→0，则Δs1＝0，又OA＝OB，∠OBA＝β＝2 （180°－

Δφ)→90°．亦即Δs1近似⊥Δs2，故应有：Δs2＝Δh·cosθ

?s

2

因为?t

=

?h

?t ·cosθ，所以v′＝v·cosθ

方法二：重物M 的速度v 的方向是合运动的速度方向，这个v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动，如图（2）所示，由图可知，v′＝v·cosθ．

（1）（2）

V 风对

θ

V A2

α A V A1 α

V B V V B2

α 船

练习 1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为v A , v B ，则 （ ） A 、v A = v B B 、v A ?v B C 、v A ?v B D 、重物 B 的速度逐渐增大

解析：（微元法）设经过 t ，物体前进 s 1 ，绳子伸长 s 2 ： s 1 = v A t ， s 2 = v B t ? v B = v A cos

?

↓ ， v B ↑ , s 2 = s 1 cos

. ∵ cos ?1 ， ∴ v B ?v A

练习 2：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 m A 和 m B 的两个小球 A 和 B （可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，A 球沿槽下滑的速度为 V A ，求此时 B 球的速度 V B ？ 解：A 球以 V A 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，

设其速度为 V A1；一个使杆绕 B 点转动的分运动，设其速度为 V A2。而 B 球 沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为 V B ，可分解为：一个使杆伸长的

V 分运动，设其速度为 V B1，V B1=V A1；一个使杆摆动的分运动设其速度为 V B2；由图可知：V B 1 = V B sin = V A 1 = V A cos

V B = V A ? cot

3. 渡河问题

d

（1） 以时间为限制条件：①时间最短：使船头垂直于河岸航行. t 短 =

船

d （d 为河宽） s = sin

d

（为合速度与水流速度的夹角） ②普通情况： t =

v 船 sin

（ 为船头与河岸的夹角）

（2） 以位移为限制条件：

d ① v 水 ?v 船

S 短 = d （d 为河宽） t =

v sin （

为船头与河岸的夹角）

② v 水 ?v 船

v 合 = S = dv 水

短

v 船

船的真实方向指的是船的航行方向；船的划行方向指的是船头指向。

例 1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v 1， 摩托艇在静水中的航速为 v 2,战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为( )

解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划 d

行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为 v 2，到达江岸所用时间 t= ；沿江岸方

v 2

向的运动速度是水速 v 1 在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离 0 点距离 s = v t = dv 1

。

1 v

2

答案：C

例 2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了 T 1；若此船用最短的位移

v 2 水 船

- v 2

v

C

v

过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（）

(A) (B) (C) (D)

d

解析：设船速为v1，水速为v2，河宽为 d ，则由题意可知：T1 =①

1

d

当此人用最短位移过河时，即合速度v 方向应垂直于河岸，如图所示，则T2=②

v 2-v 2

1 2

T v 2-v 2v T

联立①②式可得：1=

T

2

【巩固练习】

12，进一步得1=

v

1

v

2

答案：A

m

1、一个劈形物体M，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个

光滑小球m，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（）M A、沿斜面向下的直线B、竖直向下的直线C、无规则的曲线D、抛物线

解析：由于小球初速度为零，所以不可能做曲线运动；又因为小球水平方向不受力，水平方向运动状态不变，所以只能向下运动。答案：C

[同类变式1]下列说法中符合实际的是：（）

A．足球沿直线从球门的右上角射入球门B．篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐

C．台球桌上红色球沿弧线运动D．羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。

解析：足球在空中向前飞行时，只受重力作用，一定做曲线运动；抛出的篮球，所受重力的方向不可能总与

篮球的速度方向垂直，所以不可能是规则的圆弧；滚动的台球所受合力是摩擦力，与运动方向相反，只能

做减速直线运动；打出的羽毛球受到重力及较大的空气阻力作用，其中空气阻力总与运动方向相反，随着

运动速率减小而减小，二力合力的大小及方向都在不断变化，所以打出的球较高时有可能竖直下落。D [同类变式 2]匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上为 y 轴正方向，水平向右为 x

轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的：

A

解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运动、竖直方向做竖直上抛运动。）答案：B

2、如图所示为一空间探测器的示意图，P1、P2、P

3、P4是四个喷气发动机，P1、P2的连线与空间一固定坐标系的x 轴平行，P3、P4的连线与y 轴平行．每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v o向正x 方向平动．要使探测器改为向正x 偏负y 60°的方向

以原来的速率v o平动，则可( )

A.先开动P1适当时间，再开动P4适当时间

B.先开动P3适当时间，再开动P2适当时间

C.开动P4适当时间

D.先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以P1、P2、P3、P4分别

受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正x 偏负y 60°的方向以原来的速率v o平动，所以水平

方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：A

3、如图所示，A、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成

绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（）

A.A、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B.B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游

2

T 2-T 2

2 1

B D

C.A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游

D.都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游

解析:游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 A。

二、平抛运动

【题型总结】

1.斜面问题：

①分解速度：

例：如图所示，以水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。

解：tan

=

v

x

v

y

=

v

gt

，∴t =

1

v

g ?t an

v 2 (2 tan 2+ 1)

S =S +S ?tan=gt 2+v t ?tan=0

y x 2 0 2g tan 2

练习：如图所示，在倾角为 370的斜面底端的正上方 H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

解：小球水平位移为

H -1

gt 2

x =v0t ，竖直位移为y =

1

gt 2,由图可知，

2

tan 370= 2 ，又tan 370=v

0 ，解之得：v = 153gH .

②分解位移：v

t gt 017

例：如图，在倾角为的斜面顶端A 处以速度v0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻

力不计，求小球从A 运动到 B 处所需的时间和位移。

解：设小球从A 处运动到B 处所需的时间为t ，则水平位移x =v t ，竖直位移y =1

gt 2。

1

gt 2= (v t) tan

，∴t =2v

tan S =

S

y

1

gt 2

=2

2v 2 tan 2

=0

2 2 0

g sin sin g sin

练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a、b、c、d 四个点，ab=bc=cd。从a 点正上方的O 点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。若小球从O 点以速度 2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A．b 与c 之间某一点B．c 点C．c 与d 之间某一点D．d 点

解析：当水平速度变为 2v0时，如果作过b 点的直线 be，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接 O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故 A 对。

答案：A

练习 2：（证明某一夹角为定值）从倾角为θ的足够长的 A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较的大小。

解析：，

所以。

即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。

练习 3：（求时间或位移之比）如图所示，AB 为斜面，BC 为水平面，从 A 点以水平初速度 v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为 s1，从 A 点以水平初速度 2v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为 s2，

不计空气阻力，可能为：

A. 1：2

B. 1：3

C. 1：4

D. 1：5

解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有，A 是可能的。

运动时间分别为，。水平位移

若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），不会小于1：4，但一定小于1：2。故1：3 是可能的，1：5 不可能。

答案：ABC

练习 4：（斜面上的最值问题）在倾角为θ的斜面上以初速度 v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？

解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远,由

此时横坐标为。又此时速度方向反向延长线交横轴于

处：。

方法二：建立如图所示坐标系

,,

把运动看成是沿x 方向初速度为，加速度为的匀加速运动和沿y 方向的初速度为，加速度为的匀减速运动的合运动。

最远处，

若两物体都落在斜面上，由公式得，

，C 是可能。

，则运动时间为，

,

2h g 2h g b

v ah

所以，

2. 类平抛运动：

例：如图所示，光滑斜面长为 a

，宽为b

，倾角为 ，一物体从斜面右上方 P 点水平射入，而从斜面左下方 顶点 Q 离开斜面，求入射初速度。

解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为 F ＝ mg sin ，方向沿斜

F

面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为 a 加＝ m

= g sin

，又由于物体的初速度与 a 加垂

直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为 v 0 的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。

1

在水平方向上有 b= v 0 t ，沿斜面向下的方向上有 a ＝ a 加t 2。

2

∴ v 0 = t

= b

g sin

。

2a

练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为 R ，且井壁光滑，有

一个小球从井口的一侧以水平速度v 0 抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第 n 次碰撞处的深度。

解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井壁相碰 n

次时，小球在水平方向上通过的路程： S = 2nR ，所以用的时间t = S x = 2nR ，由于小球在竖直方向上做 v 0 v 0

的是自由落体运动，因此小球在竖直方向上的位移 S y

2n 2 R 2 g

= 1 gt 2 2 = 1 g ( 2 2nR )2 v 0 2n 2 R 2 g 2

即小球与井壁发生第 n 次碰撞时的深度为

2

3. 相对运动中的平抛运动：

例：正沿平直轨道以速度 v 匀速行驶的车厢内，前面高 h 的支架上放着一个小球，如图所示，若车厢突然改以加 速度 a ，做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？ 解：方法一：小球水平运动 S 1 = v ? ，小车水平运动 S 1 = v ? + 1 a ? 2h 2 g

,∴△ S = S 2 - S 1 = g 方法二： v

= 0 ，

a = a , ∴ △ S = 1

a ? ( 2h )2 = ah

相对

相对(水平)

2 g g

[同类变式]若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为 直线 （填“直线”或“曲线”） 因为v 相对 = 0 ， a 相对 = ，所以运动轨迹为直线。

练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球，悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角

θ，如图所示，已知小球在水平底板上的投影为O 点，小球距O 点的距离为 h.，若断烧悬线，则小球在底板上的落点P 应在O 点的 侧；P 点与O 点的距离为 。解：烧断悬线前， 悬线与竖直方向的夹角θ， 解析小球的受力可知小球所受合力 F = mg tan ， 根据牛顿第定二律知车，与球沿水平向右做匀加速运动其，加速度为

a = F

m = g tan ,（题①设隐含条件）烧,断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为 t ，则有

h = 1 gt 2 ②,对小球： s = vt = v ③,对小车： s = vt + 1 at 2 = v + 1 g tan ? 2h

2 1 2

2 2

g 球对车的水平位移 △ s = s 1 - s 2 = -h ? tan ，负号表示落点应在 O 点的左侧，距离 OP 为 htanθ 。

【巩固练习】

1、如图所示，房间里距地面 H 高的 A 点处有一盏白炽灯（可视为点光源），

2h g 2h g a 2 + g 2 θ O

v x

=

gH 2 gH

2

6 3 3 6 3 2

2 H g = = v v 2 2 v g v 2

C A B C 一小球以初速度v 0 从 A 点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角 B 处， 那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情况是（ ）

A ．匀速运动

B ．匀加速运动

C ．变速运动

D ．无法判断 FQ 解析：由相似三角形可知：

EP

AF

1

,由平抛规律可得：EP = gt 2,AE =v 0t ,AF =v 0。

AE 2

AF

小球刚好落在墙角处，则有：s =FQ =

·EP =（v 0

AE

gt 2

) ? = t

2 ? v 0 t

由此可知：小球影子以速度 v = 沿墙向下做匀速运动.答案：A

[同类变式]如图所示从，地面上方 D 点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的A B 、C 、三点，图中 0 点与 D 点在同一水平线上，知 O 、A 、B 、C 四点在同一竖直线上，且 OA=AB=BC ，三球的水平速度之比为 v A ： v B ：v C = 。

解析：由 h = 1 gt 2 和 s = vt ,设 OA=AB=BC=h ，则 h = 1

gt 2 ， 2h

1

gt 2 1 2 s s ， 3h gt ； t = ； t = ； 2 2

A

2 B 2 C A v B t = s

,整 理 得 v ： v ： v = : : C ； t A ： t B ： t C =1 : : .答 案 ： : : ；

1 : : 2、把物体甲从高 H 处以速度v 1 平抛，同时把物体乙从距物体甲水平方向距离为 s 处由地面以速度v

2 竖直上抛， 不计空气阻力，两个物体在空中某处相遇，下列叙述中正确的是（ ） s

A 、 从抛出到相遇所用的时间是

v 1

B 、 如果相遇发生在乙上升的过程中，则v 2 ?

C 、 如果相遇发生在乙下降的过程中，则v 2 ?

H

D 、 若相遇点离地面的高度为

2

，则v 2 =

解析：对 A 选项：① v t = s ? t = s ；② v t - 1 gt 2 + - 1 gt 2 ? t = H ,对 B 、C 选项： t = v 2 , t = H

1 2 最高点

1 2 2

在上升过程中相遇： v 2 g > H

? v > v 2 ,在下降过程中相遇： v 2 g < H < 2v 2

v 2 g

gH

? v = .答案：ABD 2 2

v 2 [同类变式 2]如图所示，P 、Q 两点在同一竖直平面内，且 P 点比 Q 点高，从 P 、Q 两点同时相向水平抛出两个物

体，不计空气阻力，则（ ） A. 一定会在空中某点相遇 B. 根本不可能在空中相遇 C. 有可能在空中相遇 D. 无法确定能否在空中相遇

解析：P 、Q 在竖直方向上都是做自由落体运动，在相等时间内通过的竖直位移相等。由于 P 点比 Q 点高，所以 P 点总在 Q 点上方。答案：B

[同类变式 2]如图所示，质量均为 m 的 A 、B 两个弹性小球，用长为 2l 的不可伸长的轻绳连接。现把 A 、B 两球置于距地面高 H 处（H 足够大），间距为 l 。当 A 球自由下落的同时， B 球以速度 v 0 指向 A 球水平抛出。

求：（1）两球从开始运动到相碰，A 球下落的高度。 （2） A 、B 两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。 （3） 轻绳拉直过程中，B 球受到绳子拉力的冲量大小。解：（1）设 A 球下落的高度为 h

2H

g 2

2 3

gH gH 2

gH

gH gH gH =

A v B

2

2h 0

g 2 1/ 2

2(h 0 - H ) g = 2 ? (2.5 - 2) s = 10 1

10

2h g 2(h - H ) g

2 ? 0.2n

g

0 = l = v 0t

h = 1 gt 2

2

联立解得 h =

gl 2

2v 2

（2） 由水平方向动量守恒得 mv 0 = mv 'Ax + mv 'Bx

由机械能守恒得

1 m (v

2 + v 2 ) + 1 mv 2 = 1 m (v '2 + v '2 ) + 1

m (v '2 + v '2 )

2 0 By 2 Ay 2 Ax Ay 2

Bx By

式中 v 'Ay = v Ay ， v 'By = v By ,联立解得 v 'Ax = v 0 ， v 'Bx = 0

v

（3） 由水平方向动量守恒得 mv 0 = 2mv 'Bx ， ∴ I = mv 'Bx

= m 0 2

3、如图所示，排球场总长为 18m ，设球网高度为 2m ，运动员站在网前 3m 处正对球网跳起将球水平击出。

(1) 若击球高度为 2.5m ，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2) 当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？ v 0 解:(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示. 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：

h

t 1 =

=

s = 1 s ,由此得排球越界的临界速度v 1 = x 1 = t 1 12 m / s = 12 0 H 2m / s . x 2 9m

x 1

若球恰好触网，则球在网上方运动的时间: t 2 =

s .

由此得排球触网的临界击球速度值v 2 = s 2

=

t m / s = 3 10m / s . 2

使排球既不触网又不越界，水平击球速度 v 的取值范围为: 3 10m / s < v ≤ 12 2m / s .

(2)设击球点的高度为 h ，当 h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有:

x 1 = x 2 ，得 h = H

1 - ( x

2 )2 x 1

= 2 1 - ( 3 )2 12 32 v 0

m m . 15 h H 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网.

x 2

[同类变式]一位同学将一足球从楼梯顶部以 v 0 = 2 m x 1

s 的速度踢出（忽略空气阻力），若所有台阶都是高 0.2m, 宽 0.25m ，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上？ 解： 方法一：设足球落在第 n 级台阶上, 0.25(n - 1)?2 ?

2 tan

? v 2

?0.25n ? n = 3 方法二： S x = v 0 ? t =

= 0.64 ,∵ 0.5?0.64?0.75

g

∴落在第三级台阶上

方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为 P ，此过程小球的水平位移为 x ，

竖直位移为 y ，则： x = v t ， y = 1 gt 2 ,由几何知识可得： x = 0.25

2

y 0.2

x

由以上各式得t = 0.32s ， x = 0.64m , n =

0.25

= 2.6 ∵2

2 ? 2.5 10 3

1/ 10 3m

18m