第一章三角形的证明证明
第一章三角形的证明
1.等腰三角形（一）
一、教学目标如：
1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；
二．教学重、难点
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
第一环节：回顾旧知导出公理
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条：
.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，
∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。D
B
A
第二环节：折纸活动探索新知
提问：“等腰三角形有哪些性质？如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”
第三环节：明晰结论和证明过程
让学生明晰证明过程。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
第四环节：随堂练习巩固新知
第五环节：课堂小结
第六环节：布置作业
P5习题1,2.
四、教学反思
1. 等腰三角形（二）
一、教学目标：
1．知识目标：探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；
2．能力目标：①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；
②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；
③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；
3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
二．教学重、难点
重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．
三、教学过程分析
第一环节：提出问题，引入新课
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证明：∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=12 ∠ABC ，∠2=1
2 ∠ABC ，
∴∠1=∠2．
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB=∠ABC ，BC=CB ，∠1=∠2． ∴△BDC ≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 第三环节：经典例题 变式练习
活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC 中，
(1)如果∠ABD=13 ∠ABC ，∠ACE=1
4
∠ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=12 AC ，AE=12 AB ，那么BD=CE 吗?如果AD=13 AC ，AE=1
3
AB 呢?由此你得到什么结论?
第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质
活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：ΔABC 中，AB=BC=AC ． 求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC 中，∵AB=AC ，∴∠B=∠C(等边对等角)．
4
2
31
E D C
B
A
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．第五环节：随堂练习及时巩固
第六环节：探讨收获课时小结
四、教学反思
1. 等腰三角形（三）
一．教学目标：
1．探索等腰三角形判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
4.培养学生的逆向思维能力。
二．教学过程分析
第一环节：复习引入
活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
第二环节：逆向思考，定理证明
A 教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研
究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，
这也是获得数学结论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?
在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，B
使AB 与AC 成为对应边就可以了．你是怎样构造的？ 第三环节：巩固练习
例2已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC 且∠1=
∠2． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C ． ∴AB=AC(等角对等边)． 第四环节：适时提问 导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一想”：
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC 中，已知∠B ≠∠C ，此时AB 与Ac 要么相等，要么不相等．
假设AB=AC ，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B ，但已知条件是∠B ≠∠C ．“∠C=∠B ”与已知条件“∠B ≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB ∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC 中不可能有两个直角．
引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法． 第五环节：拓展延伸
现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 第六环节：课堂小结
C
2
1
B A D
1. 等腰三角形（四）
一、教学目标：
1．知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30o角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．能力目标：①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程
②经历实际操作，探索含有30o角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
3．情感与价值观要求：①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
二．教学重难点
重点①等边三角形判定定理的发现与证明.
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
教学难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
三、教学过程分析
第一环节：提问问题，引入新课
回顾等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。第二环节：自主探索
活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
第三环节：实际操作提出问题
提出问题：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角
形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC=1
2 AB ．
证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图所示)． ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°
∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC=12 BD=1
2 AB ． 第四环节：变式训练 巩固新知
[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长.
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=12 AC=12 ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
第五环节：畅谈收获 课时小结 第六环节：布置作业
四、教学反思
2．直角三角形（一）
B
A
D
一、教学目标
1．知识目标：
（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法。
（2）会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
2．能力目标：
（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
3．教学重点、难点
重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
二、教学过程
1：创设情境，引入新课
请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．
2：讲述新课
阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．
（1）．勾股定理及其逆定理的证明．
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作R t△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，
则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′
∴BC2＝B′C′2
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
'
' 'C
A
B
因此，△ABC是直角三角形．
勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．（2）．互逆命题和互逆定理．
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
3：议一议：观察下面三组命题：：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
4：想一想
请学生写出“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？5：随堂练习
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；
6：课时小结
7：课后作业
习题1．5第1、2、3、4题
四、教学反思
2．直角三角形（二）
一、教学目标：
1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题
2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
二、教学过程分析
1：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。 3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
2：引入新课
（1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′． 求证：Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′
证明：在Rt △ABC 中，AC=AB 2一BC 2(勾股定理)． 又∵在Rt △ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C' (SSS)．
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示． 3： 例题学习
如图，在△ABC ≌△A'B'C'中，CD ，C'D'分别分别是高，并且AC ＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC ≌△A'B'C'．
证明：∵CD 、C'D'分别是△ABC △A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
A '
B'
C '
B
A
'
C C A
D B '
'
'
B
D
A
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC=A'C'(已知)，
CD=C'D' (已知)，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．
∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A' (已证)，
AC=A'C' (已知)，
∠ACB=∠A'C'B' (已知)，
∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．
6：课时小结
7：课后作业
习题1．6第3、4、5题
四、教学反思
3．线段的垂直平分线(一)
一、教学目标：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
二．教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程分析
第一环节：性质探索与证明
定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB ． 证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC ，PC=PC,
∴△PCA ≌△PCB(SAS)． ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知：线段AB ，点P 是平面内一点且PA=PB ． 求证：P 点在AB 的垂直平分线上．
证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC,PA=PB ，PC=PC ， ∴Rt △PAC ≌Rt △PBC(HL 定理)． ∴AC=BC ，
即P 点在AB 的垂直平分线上． 第四环节：巩固应用
例1已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。． 证明：∵ AB = AC ，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 第五环节：随堂练习课本P23；习题1.7：第1、2题 第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 第七环节：课后作业习题l.7 第3、4题
四、教学反思
3．线段的垂直平分线(二)
一、教学目标：
N
A
P B
C M
C
B
P
A
1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点
2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．
4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 二． 教学重点、难点
重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论． ②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 难点：证明三线共点。
三、教学过程分析
1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 已知：在△ABC 中，设AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，连接AP ，BP ，CP ．
求证：P 点在AC 的垂直平分线上． 证明：∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC ． ∴PA=PC ．
∴P 点在AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于点P ． 2.引申拓展
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
3例题学习
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形． 已知：线段a 、h
M A
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a；
2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC
∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．
3.动手操作
（1）：已知直线l 和l 上一点P，用尺规作l 的垂线，使它经过点P.
学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。
（2）拓展：如果点P 是直线l 外一点，那么怎样用尺规作l 的垂线，使它经过点P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
5.随堂练习:：习题1.8第1、2题。
6.课时小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．
7.课后作业
习题1．8第3、4题
四、教学反思
４．角平分线（一）
一、教学目标：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 二.教学难点：
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
三、教学过程分析
1：情境引入
提问：还记得角平分线上的点的性质吗？你是怎样得到的？
即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知
（1）定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在
OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．
求证：PD=PE ．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP ， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO ≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． （2）你能写出这个定理的逆命题吗?
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗?
已知：在么AOB 内部有一点P ，且PD 上OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在么AOB 的角平分线上． 证明：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt △ODP 和Rt △OEP 中
OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △ODP ≌ Rt △OEP(HL 定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。
2
1
E
D
C
P
O
B A
3.巩固练习
例题：在△ABC 中，∠BAC = 60°，点 D 在BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE = DF，求DE 的长.
4：随堂练习课本第29页1、2题。
5：课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
6：课后作业
习题1．9第1，2，3,4题．
四、教学反思
４．角平分线（二）
一、教学目标是：
1．知识目标：（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
2．能力目标：（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．情感与价值观要求：①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
二．教学重点、难点
重点：①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程分析
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 求证：P 点在∠B AC 的角平分线上．
证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足．
∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE =PF ． ∴PD =PF ．
∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
第三环节：例题讲解
D F
E
M N
C B
A P
[例1]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．
(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．
证明： (1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C=90°，DE ⊥AB ．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=12 ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中 BD=2DE 2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm ． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt △ACD ≌Rt △AED(HL 定理) ∴AC=AE ． ∵BE=DE=CD ， ∴AB=AE+BE=AC+CD ． 第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题． 第五环节：课后作业
习题1．10第1、2题
四、教学反思
A
D
B E
C