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2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习

圆的方程

圆的定义与方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程

标准式

(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)

圆心为(a ，b ) 半径为r

一般式

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0

充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E

2 半径r ＝1

D 2＋

E 2－4F

概念方法微思考

1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？提示 ????

A ＝C ≠0，

B ＝0，

D 2＋

E 2－4A

F >0.

2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

1．（2020?北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5

C ．6

D ．7

【答案】A 【解析】如图示：

，

半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，

连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小，由5OB =，得4OA =，

即圆心到原点的距离的最小值是4，故选A ．

2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________．【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆，其圆心为(1,0)，半径为1，则该圆的方程为22(1)1x y -+=．

【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0

42020F D F D E F =??

++=??+++=?

，解得2D =-，0E F ==；

∴所求圆的方程为2220x y x +-=．

故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．

3．（2017?上海）若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为__________．【答案】2

【解析】圆222440x y x y +-++=，可化为22(1)(2)1x y -++=，

P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，

||PQ ∴的最大值为2，

故答案为2．

1．（2020?江西模拟）圆C 的半径为5，圆心在x 轴的负半轴上，且被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2216390x x y +++= C ．2216390x x y -+-= D ．2240x y x +-=

【答案】B

【解析】设圆心为(a ，0)(0)a <，由题意知圆心到直线3440x y ++=的距离为22|34|

5345

a d +=

=-，解得8a =-，则圆C 的方程为22(8)25x y ++=，即为2216390x x y +++=，故选B ．

2．（2020?西城区模拟）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1] B ．(-∞，0]

C ．[0，)+∞

D ．[5，)+∞

【答案】A

【解析】圆2222420(2)(1)5x y x y a x y a +-++=?-++=-；圆心(2,1)-，5r a =-

圆与x ，y 轴都有公共点； ∴2515150a a a a ?-??

-???->??

；故选A ．

3．（2020?全国Ⅱ卷模拟）已知圆C 过点(4,6)，(2,2)--，(5,5)，点M ，N 在圆C 上，则CMN ?面积的最大值为( ) A ．100 B ．25 C ．50 D ．

252

【答案】D

【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(4,6)，(2,2)--，(5,5)代入可得，52460

822050550D E F D E F D E F +++=??

--+=??+++=?

，

解得2D =-，4E =-，20F =-，

故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即22(1)(2)25x y -+-=，故CMN ?的面积1125

||||sin 55222

S CM CN MCN =∠??=

，故选D ．

4．（2020?长春三模）已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆22:20C x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x y =，则圆E 的方程为( ) A ．22(3)2x y +-= B ．22(3)2x y +=

C ．22(3)3x y +=

D ．22(3)3x y ++=

【答案】C

【解析】圆E 的圆心在y 轴上，∴设圆心E 的坐标为(0,)b ，设半径为r ，则圆E 的方程为：222()x y b r +-=，即222220x y by b r +-+-=，又圆C 的方程为：2220x y x +-=，

两圆方程相加得公共弦所在直线的方程为：22

b r x by --+=，

又公共弦所在直线的方程为30x y =， ∴223

b b r ?=??-=??，解得3

b r ?=??=??

∴圆E 的方程为：22(3)3x y +=，

故选C ．

5．（2020?怀柔区一模）已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于原点对称，则圆C 的方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y ++= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=

【答案】D

【解析】圆22(1)1x y -+=的圆心坐标为(1,0)，半径为1．点(1,0)关于原点的对称点为(1,0)-，则所求圆的方程为22(1)1x y ++=．故选D ．

6．（2020?郑州二模）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-= D ．22(6)(4)4x y +++=

【答案】C

【解析】由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，

由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为(,)a b 则212

8022

1212a b b a -+?-+=???-?=-?+?

解得：4a =，6b =，

故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=，故选C ．

7．（2020?西城区一模）设(2,1)A -，(4,1)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )

A ．22(3)2x y -+=

B ．22(3)8x y -+=

C ．22(3)2x y ++=

D ．22(3)8x y ++=

【答案】A

【解析】弦长22(42)(11)22AB =-++2(3,0)，所以圆的方程22(3)2x y -+=，故选A ．

8．（2020?拉萨二模）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是( ) A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．22(2)(1)1x y +++= C ．22(2)(1)5x y -+-= D ．22(2)(1)5x y +++=

【答案】A

【解析】圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的的方程是22(2)(1)1x y -+-=，故选A ．

9．（2020?绵阳模拟）已知圆22:6890C x y x y +--+=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足

||||PM PN =且PM PN ⊥，则||PC 的最大值为( )

A ．8

B ．82

C ．4

D ．42【答案】D

【解析】根据题意，若平面上一动点P 满足||||PM PN =，又由||||CM CN =，则PC 为线段MN 的垂直平分线，

设MN 的中点为G ，||NG n =，||CG m =，

又由||||PM PN =且PM PN ⊥，则PMN ?为等腰直角三角形，故||||PG NG n ==，圆22:6890C x y x y +--+=，即22(3)(4)16x y -+-=，则2216m n +=，

则222||()()216216(42PC m n m n m n mn mn m =++++++

当且仅当m n =时等号成立，故||PC 的最大值为42 故选D ．

10．（2020?绵阳模拟）已知圆22:280C x y x +--=，直线l 经过点(2,2)M ，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为( ) A ．220x y -+= B ．260x y +-= C ．220x y --= D ．260x y +-=

【答案】D

【解析】如图所示：

圆22:280C x y x +--=，化为标准方程为：22(1)9x y -+=，

∴圆心(1,0)C ，

当直线l 与CM 垂直时，直线l 分圆C 的两部分的面积之差的绝对值最大， 20

221

CM k -=

=-， ∴直线l 的斜率12

k =-

， ∴直线l 的方程为：12(2)2

y x -=--，即260x y +-=，

故选D ．

11．（2020?和平区校级二模）已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点(2,3)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为__________．【答案】22(1)(2)10x y +++=

【解析】根据题意，圆C 的圆心在直线230x y --=上，设圆心的坐标为(23,)t t +，圆C 经过点(2,3)A -，(2,5)B --，则有2222(232)(3)(232)(5)t t t t +-++=++++，解可得2t =-，则231t +=-，即圆心C 的坐标为(1,2)--，圆的半径为r ，则2222||(12)(23)10r CA ==--+-+=，故圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y +++=；故答案为：22(1)(2)10x y +++=．

12．（2020?江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线:330l x -+=与圆

22:4C x y +=的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为__________．【答案】2233

(()12

x y +

+-= 【解析】根据题意，直线:3230l x -+=与圆22:4C x y +=相交，设其交点为A 、B ，则有22

32304x x y ?-+??+=??，联立解可得：31x y ?=-?

?=??

02x y =??=?，即A 、B 的坐标为(3-1)和(0,2)；

当AB 为圆M 的直径时，圆M 的面积最小，此时圆M 的圆心3(M 3)2

，半径1

||12r AB ==；则此时圆M 的标准方程为：2233

()()12

x y +-=；故答案为：2233

()()12

x y +

+-=． 13．（2020?河东区一模）已知圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ，点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为__________． 5

【解析】设圆O 的方程为220x y dx ey f ++++=，圆O 过点(0,0)A 、(0,4)B 、(1,1)C ， ∴0016040110

f e f d e f =??

++++=??++++=?

，求得2

40d e f =??=-??=?，故圆的方程为22240x y x y ++-=，

即22(1)(2)5x y ++-=，表示圆心为(1,2)-5的圆．

22||(31)(42)25DO =++-

故点(3,4)D 到圆O 上的点最小距离为2555 5．

14．（2020?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__________．【答案】52【解析】圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=，圆心坐标为(3,3)，半径为32 如图，

所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上，可设所求圆的圆心为(,)a a 2222(10)a a a a +++ 解得5a =-，

∴所求圆M 的半径为52

故答案为：52．

15．（2020?滨海新区模拟）以点(1,0)C 为圆心，且被y 轴截得的弦长为2的圆的方程为__________．【答案】22(1)2x y -+= 【解析】如图，

圆的半径为22112r =+=．又圆心为(1,0)，

∴所求圆的方程为22(1)2x y -+=．

故答案为：22(1)2x y -+=．

16．（2020?东城区一模）圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为__________．【答案】221

(1)2

x y -+=

【解析】设所求圆的方程为222()x a y r -+=，因为圆与直线1:l y x =和2:2l y x =-11

r =

=++，

解得1a =，2r ，

所以圆的方程为221(1)2

x y -+=．故答案为：221(1)2

x y -+=

． 17．（2020?河西区一模）已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________．【答案】22(1)(2)4x y -+-=

【解析】圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，

圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，

故圆的半径|1||2|a a +=，解得1a =，或1

a =-（舍去），故半径为2，

则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2)4x y -+-=．

18．（2020?宿迁模拟）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，当圆C 面积最小时，圆C 的标准方程为__________．【答案】22(2)(1)5x y -+-=

【解析】A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2100x y +-=相切，所以原点(0,0)在圆上，

原点(0,0)到直线2100x y +-=的距离2

d ==

+(0,0)到直线的距离为直径时，

该圆最小．即52

r =

直线2100x y +-=与圆的切点坐标满足21001

2x y y x +-=??

?=??，解得4

x y =??

=?，

所以圆心坐标为4022

2012

a b +?

==???

+?==??，

故圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=．故答案为：22(2)(1)5x y -+-=．

19．（2020?滨海新区模拟）已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A --和(2,2)B -，且圆心C 在直线

:10l x y --=上，则圆心为C 的圆的标准方程是__________．

【答案】22(3)(2)25x y -+-=

【解析】由(1,1)A --，(2,2)B -，得AB 的中点为3(2-，1)2

，

又12312AB k --=

=--+，AB ∴的垂直平分线方程为113

()232

y x -=+，即330x y -+=．联立33010x y x y -+=??--=?，解得3

2x y =??=?

．

∴圆心坐标为(3,2)C ，半径为||5CA =．

∴圆心为C 的圆的标准方程是22(3)(2)25x y -+-=．

故答案为：22(3)(2)25x y -+-=．

20．（2020?如皋市校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆22:230C x y x ++-=上的动点，则2AB BO +的最小值为__________． 10【解析】由(0,1)A ，圆22:230C x y x ++-=上可化为22(1)4x y ++=，设点(,)B x y ，则

22222(1)2AB BO x y x y ++-+2222(1)44x y x y =+-+22(1)4(32)x y x =+-- 22(1)128x y x =+--2222(1)(1)88x y x y x =+-+++-2222(1)(3)x y x y =+--+

这表示圆C 上的点B 到点A 的距离与到点(3,0)D 的距离的和，所以点B 在线段AD 上时，2AB BO +取得最小值，如图所示，

所以2AB BO +的最小值是221310AD + 10

21．（2020?江苏一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切于点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为__________．【答案】22(2)8x y ++=

【解析】已知圆22:48120M x y x y +--+=，整理得：22(2)(4)8x y -+-=，令0y =，圆的方程转换为：28120y y -+=，解得2y =或6．由于圆N 与圆M 相切于(0,)m 且过点(0,2)-．所以2m =．

即圆N 经过点(0,2)A ，(0,2)B -．所以圆心在这两点连线的中垂线x 轴上，

x 轴与MA 的交点为圆心N ．

所以:2MA y x =+．令0y =，则2x =-．即(2,0)N -， |22R NA ==．

所以圆N 的标准方程为：22(2)8x y ++=．故答案为：22(2)8x y ++=．

22．（2020?南通模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 2圆心在直线:21l y x =-上，

若圆C 上存在一点P ，使得直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=交于点P ，则当实数a 变化时，圆心C 的横坐标x 的取值范围是__________．【答案】[1-，7

【解析】因为直线1:20l ax y --=与直线2:20l x ay +-=互相垂直，且分别过定点(0,2)A -，(2,0)B ，

故点P 在以AB 为直径的圆上运动，直径4422AB =+=，即半径为2，圆心坐标为(1,1)-，又因为点P 在圆C 上，故两圆有公共点，所以两圆的圆心距d 满足022d ，即220

(1)(211)22x x -+-+，解得7

-，故答案为[1-，7

．

23．（2020?南通模拟）已知半径为1的圆C 的圆心在射线2(1)y x x =-+上，若圆C 上有且仅有一点Q ，满足226QA QB +=，其中(1,1)A ，(3,3)B ，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)1x y -+=

【解析】设(,)Q x y ，则由22||||6QA QB +=得：

2222[(1)(1)][(3)(3)]6x y x y -+-+-+-=，整理得22(2)(2)1x y -+-=，

所以点Q 在以(2,2)为圆心，半径为1的圆上；

又点Q 在圆22()[(2)]1(1)x a y a a -+--+=上，且两圆有唯一公共点，则两圆相切，如图所示；当两圆外切时，22(2)[2(2)]4a a -+--+=，

解得2a =或0a =，应取2a =；

当两圆内切时，22(2)[2(2)]0a a -+--+=，此时方程无实数解，a 的值不存在；综上知，圆C 的圆心为(2,0)，圆C 的方程为22(2)1x y -+=．故答案为：22(2)1x y -+=．

24．（2020?许昌一模）若圆22420x y x y F +--+=的半径为3，则F =__________．【答案】4-

【解析】根据题意，圆22420x y x y F +--+=的半径为3221

(4)(2)432

F -+--=，解可得：4F =-；故答案为：4-．

25．（2020?南开区校级模拟）过点(3,2)A -，(5,2)B --，且圆心在直线3240x y -+=上的圆的半径为__________． 10【解析】

(3,2)A -，(5,2)B --，

∴22

25(3)

AB k --=

=---，AB 的中点坐标为(4,0)-，

AB ∴的垂直平分线方程为1

(4)2y x =-+，即240x y ++=．

联立2403240x y x y ++=??-+=?，解得21x y =-??=-?

．

∴所求圆的圆心坐标为(2,1)--，半径22(32)(21)10r -+++

26．（2020?洛阳二模）已知点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，||3AB =，2BM MA =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；

（2）过点(0,1)N 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，与曲线C 分别交于P ，Q （不同于点)N 两点，求证：直线PQ 过定点．

【解析】（1）设点M 的坐标为(,)M x y ，(,0)A a ，(0,)B b ．

由2

BM MA

=得

21 (,)

33 M a b

所以

a x

b y =

因为229

a b

所以22

()(3)9

x y

则

（2）由题可知，直线NP的斜率存在，设直线

()

NP l的方程：1

y kx

联立2

y kx

得：22

(14)80

k x kx

++=，解得

122

x x

则

814

(,)

1414

k k

，由于

l，

l为过N互相垂直的直线，同理得

(,)

k k

++直线PQ的斜率为

414

885

414

k k

k k k

k k

直线PQ的方程为

418

()

454

k k k

y x

k k k

-=-

化简得：

213

y x

因此直线PQ恒过点

(0,)

-．

27．（2019?西湖区校级模拟）如图，已知圆M过点(10,4)

P，且与直线43200

x y

+-=相切于点(2,4)

A （1）求圆M的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且||||

BC OA

=，求直线l的方程；

【解析】（1）过点(2,4)

A且与直线43200

x y

+-=垂直的直线方程为34100

x y

-+=①；

AP的垂直平分线方程为6

x=；

由①②联立得圆心(6,7)M ，半径22||(62)(74)5r AM ==-+-=；圆M 的方程为22(6)(7)25x y -+-=．（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为

220

-=-．设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离5

d =

=．

因为222425BC OA ==+=，

而2

()2

BC MC d =+，所以2(5)2555m +=

+，解得5m =或15m =-．故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=．

28．（2019?西湖区校级模拟）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点(1,0)A ，且与圆C 相切，求1l 的方程；

（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．

【解析】（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意． ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心(3,4)到已知直线1l 的距离等于半径2， 2

k =+

解之得3

k =

．所求直线方程是1x =，3430x y --=．

（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4)C ，2r =，

由两圆外切，可知5CD =

∴22(3)(24)5a a -+--=，

解得3a =，或2a =-， (3,1)D ∴-或(2,4)D -，

∴所求圆的方程为22(3)(1)9x y -++=或22(2)(4)9x y ++-=．

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴为（ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）

圆的方程_基础知识讲解

圆的方程编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心，为半径. 要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

2021届高考数学(理)考点复习：圆的方程(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b ) 半径为r 一般式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E 2 半径r ＝1 2 D 2＋ E 2－4F 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小，由5OB =，得4OA =，即圆心到原点的距离的最小值是4，故选A ． 2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________．【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆，其圆心为(1,0)，半径为1，则该圆的方程为22(1)1x y -+=．【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0 42020F D F D E F =?? ++=??+++=? ，解得2D =-，0E F ==； ∴所求圆的方程为2220x y x +-=．故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=．

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

高一数学高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学高中数学圆的方程专题（四个课时）类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程考点一圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2解得223a -<<. 考点二点与圆的位置关系

1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D