误差理论

II 误差理论

1.古典误差理论与现代误差理论的区别

古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。

在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。

古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。

2．误差理论的应用

在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。

3.为什么测量结果都带有误差？

完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。

4. 产生误差的原因

（1） 仪器误差；

（2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等；

（3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等；

（4） 方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测

量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差，

这种误差称为间接测量误差；

（5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态

改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。

示例： V T H dT dp ??= Clapeyrong equation

2ln RT H dT p d m vap ?= C lausius-Clapeyrong eq.

近似性：V m (g)>>V m (l),气体为理想气体。

ln(p/p θ) = -Δvap H m /RT + C 假定Δvap H m 与温度无关。 式中，C 为积分常数。有

Δvap H m = - R ·斜率

事实上，Δ

vap H m =f (T )，即Δvap H m 是温度的函数，有 Δ

vap H m /kJ ·mol -1

c T/K

5.方法误差

就其性质来看，它属于系统误差，因重复测量时误差值是不变的，可以对其进行修正，误差的正负号也是可以确定的。

6.直接测量法

无需对待测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到待测量值的方法称为直接测量法。

如，用电压表测电压，温度计温度，

注意：若计量器具的示值是从对照曲线或表格中读出的，则这种测量仍被看作是直接测量。

7.间接测量法

直接测量的量待测量

已知函数关系

如， R = V/I，电阻电压，电流

8．组合测量法

测量目的有多个，需解一方程组，才能求得测量目的。

示例：标准电阻在温度t时的电阻值为：

R t = R20[1 + α(t-20) + β(t-20)2]

式中，R20——20℃时的电阻值

α，β——该标准电阻的一次和二次项温度系数有3个测量目的，R20，α，β。因此，至少需3次测量。

R t1 = R20[1 + α(t1-20) + β(t1-20)2]

R t2 = R20[1 + α(t2-20) + β(t2-20)2]

：

：

：

R tn = R20[1 + α(tn-20) + β(tn-20)2]

n > 3, 可提高测量精度，并可以用最小二乘法处理实测数据。

9.测量与检定的区别

测量——为确定被测对象的量值而进行的实验过程称为测量。

检定——为评定计量器具的匠量性能（准确度、稳定度、灵敏度等）并确定其是否合格所进行的全部工作称为检定。

因此，测量与检定是两个不同的概念，但两者又有联系，因为检定时要对被检计量器具的各项技术指标进行测量，而其测量误差要比对被检指标的额定允许误差小得多，因此从测量的观点来看，检定是测量工作在计量工作中的一种应用，

并且是精确度较高的测量。

检查是用上一级精确度较高的仪器对下一级精确度较低的仪器进行检定，通过检定将量值从国家基准逐级传递给各级以至工作仪器，因此检定能达到量值传递的目的。对一台仪器进行检定，要确定该仪器各项技术指标是否达到规定的要求，从而确定该仪器合格或不合格。

国家标准计量局省、市、县计量局,

传递性

10.误差分类

（1）偶然（随机）误差

（2）系统误差（包括半系统误差）

（3）粗差

11.各类误差介绍

（1）绝对误差

Δ=A – A0

A0——被测量的真值

A ——对于测量仪器，是仪器示值。

真值——一个量在被观测时，它本身所具有的真实大小称为

真值。

实际值——满足规定准确度的、用来代替真值使用的量值称

为实际值。

注意：量的真值是理想的概念，一般地是不可能确切地知道

的。实际上，量子效应可排除唯一的真值。

约定真值——为了给定目的，可以代替真值的量值称为约定真值。注：一般说来，约定真值被认为是非常接近真值的，就给定目的而言，其差值可以忽略不计。

●绝对误差的特点

①一般情况下，它是有单位、有量纲的，其值大小与所取单位

有关。如，A=25 V，A0=24 V，

Δ =（25-24）V = 1V = 1×103 mV。

②能反映误差的大小与方向。

③不能更确切地反映出测量工作的精细程度。

示例：用一频率计测量100kHz的标准频率，示值为101 kHz, Δ = (101-100)kHz=1kHz

用另一频率计测量1MHz的标准频率，示值为1.001MHz,则

Δ = (1.001-1.000)MHz=0.001MHz = 1kHz

Δ相同，后者测量1MHz时才差1kHz, 而前者测100kHz时就差1kHz。

由上可见，绝对误差不能确切地反映出测量工作的精细程度。因此，除了用绝对误差外，还常用相对误差。

（2）相对误差

国家标准规定指出：“测量的绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差”。

《国际通用计量学名词》指出：“测量绝对误差除以被测量的（约定）真值称为相对误差”。

●实际相对误差

δ实际 = Δ/A0 =(A-A0）/A0

示例：频率计一，δ实际 = （101-100）kHz/100 kHz= 1% 频率计二，δ实际 = （1.001-1.000）MHz/1.000MHz = 0.1% 由上可知，两频率计的绝对误差相同，都是1kHz，但实际相对误差不等，说明相对误差能反映测量工作的精细程度。

若已知实际相对误差δ实际和实际值A0，即可算出绝对误差

Δ=δ实际·A0

●额定相对误差

δ额定 = Δ/A =(A-A0）/A

A为仪器示值，A0为实际值。

●引用相对误差

设A为仪表示值，A0为实际值，A上为仪表测量上限，则引用相对误差为

δ引用 = Δ/A上 =(A-A0）/A上

引用相对误差主要用来表示仪表的准确度，多数用在电工和热工仪表方面。

示例：检定2.5级量程为100V的电压表，在50V点刻度上标准电压表示值为48V，试问此表是否合格？

电表的准确度等级是以引用相对误差表示的，2.5级电表的引用相对误差为±2.5%。已知检定点刻度值为A=50V，A0=48V，Δ=A-A0=2V，则引用相对误差

δ引用 = 2/100 = 2% < 2.5%，故50V这点是合格的。

●相对误差的特点

①相对误差是一个比值，其值大小与被测量所取的单位无关；

②能反映误差的大小与方向；

③能更确切地反映出测量工作的精细程度。这是由于相对误

差不仅与绝对误差的大小有关，同时与被测量的数值大小

有关，因此它能更确切地反映出测量工作的精细程度。

示例：有一个5A的0.5级电流表，当其指针指在2.50A时，此点的实际值为 2.51A,求该电流表在此点的引用相对误差、实际相对误差、额定相对误差各为多少？

解：δ引用 = Δ/A上 =(A-A0）/A上=100%×(2.50-2.51）A/5A = -0.2% δ实际 = Δ/A =(A-A0）/A0 =100%×(2.50-2.51）A/2.51A ≈-0.4%

δ额定= Δ/A =(A-A0)/A =100%×(2.50-2.51)A/2.50A =-0.4%

示例：量程10A的0.1级电流表，经检定最大示值误差为8mA,问该电流表是否合格？

解：0.1级电流表允许的引用相对误差为±0.1%，允许的绝对

误差为10×0.1% = 0.01A = 10mA。8mA < 10mA，故该电流表合格。

示例：为什么选用电表时，不仅要考虑准确度，而且要考虑量程，在使用时应尽可能用在电表测量上限的三分之二以上？

解：因电表准确度等级是以引用相对误差定义的，而电表各刻度点的额定相对误差是不同的，刻度点愈偏离测量上限，则额定相对误差愈大，而对测量者来说，真正关心的是额定相对或实际相对误差。若测量时用在仪表测量上限的三分之二以下，则额定相对误差较大，电表准确读不能得到充分利用。

示例：用一个量程为150V的0.5 级电压表测量25V的电压，用一个30V的1.5级电压表测量25V的电压，哪一个的准确度高，为什么？

解：量程为150V的0.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=0.5%×150V=0.75V；

量程为30V的1.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=1.5%×30V=0.45V。说明测量25V电压时用量程为30V的1.5级的电压表的测量准确度高。

●关于δ实际与δ额定

1）从定义看，δ实际与δ额定是两个概念，但当误差值较小时，从数值来说二者相差极微，因此在计算时，按δ实际或

按δ额定计算，所得数值是相同的，故按那种计算都可以。

2）当误差较大时，则δ实际与δ额定也相差较大。因此，具

体计算时，二者不能混用，要严格按规定的要求计算。（3）极限误差

这是极端误差，测量结果（单次测量或测量系列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可忽略。

注一：在误差为正态分布及测量次数足够多时，单次测量的极限误差由±tσ所确定，测量系列的算术平均值的极限误差由±t∧σ所确定。常用t=3, ±3σ(或 3∧σ)对应的概率为

99.73%；当P=99%时， t=2.58；当P=95%时，t=1.96。

注二：当测量次数较少时，测量系列的算术平均值的极限误差t值由t-分布计算。

置信度，置信水平，P；显著性水平，α=1-P。

由上可知，极限误差是以概率来定义的。而仪器生产部门对极限误差的定义不引入概率因素。

以概率0.3%(置信度99.7%)来定义极限误差，检定仪器时仅测量一次或数次，其中有一次超差，严格按概率来说还不能绝对判断该仪器不合格，因为大误差虽然出现的概率小，但毕竟不是绝对不可能出现，现在这台仪器是不是碰巧出现了大误差呢？因此，生产仪器的工业部门往往不引入概率这因素，以免生产厂在检验或处理用户与生产单位之间关于产品是否合格的纠纷时，使问题的解决复杂化。如，电子仪器有关部门文件中对极限误差的定义为：“在规定条件下使用时示值误差的最大值”。

●误差理论中对极限误差都以概率来定义，仪器生产部门对极

限误差的定义则不引入概率因素，那么在实际工作中究竟以哪一个定义为准？由于两个定义不同会产生什么问题？

思考题。

●关于“定义3σ为极限误差”

当具备以下三个条件

①只存在偶然误差；②定义极限误差时取显著性水平为

0.3%；③偶然误差为正态分布

时，极限误差Δmax = 3σ，是正确的。

但在实际工作中，一般除偶然误差外，常存在系统误差，少数情况下偶然误差的分布为非正态分布。因此，在一般情况下，上述三个条件不一定都满足。Δmax = 3σ仅是一个特例，特例就不宜作为一般的定义。所以定义3σ为极限误差是不合适的。

有的书上定义Δmax = 3σ，理解此定义时应考虑上述三个条件。（4）系统误差

在偏离测量规定条件时或由于测量方法所引入的因素，按某确定规律性所引起的误差。

注：系统误差包括已定系统误差和未定系统误差。前者是指符号和绝对值已经确定的系统误差，后者是指符号或绝对值未确定的系统误差。

《国际通用计量学名词》中对系统误差的定义是：“系统误差：测量误差的分量，在同一被测量的多次测量过程中，它

保持常数或以可预定方式变化着“。

注一：系统误差的原因可以知道，也可以不知道。

注二：系统误差和偶然误差主要是指误差性质，故应从误差服从什么规律来判定误差性质、确定系统误差的定义。

●系统误差的特点

①系统误差是一个非随机变量，即系统误差的出现不服从统计规律而服从确定的函数规律。

②重复测量时，误差的重现性。

③可修正性。由于系统误差的重现性，确定了它具有可修整的特点。

示例：一个标准电阻的误差是系统误差。

说明：1）其误差值基本上是一个固定值，亦即是个常数，这是最简单的函数规律。

2）重复测量时，标准电阻的误差可以认为是不变的，即随时间引起的阻值变化可以忽略不计，因此其误差具有重复性。 3）该标准电阻经更高精确度的方法测出其阻值，从而可以确定其误差与修正值，对系统误差进行校正。

●系统误差的分类

1）固定系统误差。如，用天平进行测量时，砝码所产生的误差为衡定常值，故为固定

系统误差。

2）线性变化的系统误差，随着测量次数增加而成线性增

加或减小的系统误差。如，用尺量布，若此尺比规定的长度短1mm（即Δ=1mm），则在测量过程中每进行一次测量就产生一个绝对误差1mm，这样被测的布愈长，测量的次数愈多，则产生的绝对误差愈大，成线性地增加。

3）周期性变化的系统误差。数值与符号作周期性改变的误差称为周期性变化的系统误差。这种误差的符号由正变到负，数值由大变到小至零再变大，这样重复地变化着。

4）变化规律复杂的系统误差。误差出现的规律无法用简单的数学解析式表示的系统误差称为变化规律复杂的系统误差。

●消除或减小系统误差的途径

1）通过改进测量方法来消除或减小系统误差。有：替代法、异号法、交替法，各测量专业中所介绍的方法。

2）通过适当的数据处理来消除或减小系统误差。如，半周期读数法就可以消除周期性变化的系统误差，由于误差的周期性变化，经过1800后误差就变号。

3）通过引入修正值减小系统误差。对固定的或变化很小的系统误差，可以引入修正值对系统误差进行修正，从而减小系统误差。但要注意，不是任何情况下得到的修正值都能提高测量精度，只有被修整的系统误差远大于其偶然误差时，才能通过使用修正值而提高精度。

问题：用什么方法发现仪器存在衡定的系统误差？

一个仪器的系统误差，一般情况下比其偶然误差大，因此如何发现存在系统误差与消除或减小系统误差对提高仪器测量精度是很有意义的。

要发现与确定衡定的系统误差，唯一的方法是用更高一级精确度的标准仪器对其进行检定。检定方法是用标准仪器和被检仪器同测一个稳定的量。如

对被检仪器，进行n 次重复测量，得示值为A i (i=1,2,3,…,n),取算术平均值 n A A n i i

∑==1

对标准仪器，进行n 次重复测量，得示值为A 0i (i=1,2,3,…,n),取算术平均值 n A A n i i

∑==100

则被检仪器的系统误差为 0A A -=θ

（5） 偶然误差（随机误差）

● 定义

在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变

化着的误差称为随机误差。

《国际通用计量学名词》中对随机误差的定义是：“随机误差：测量误差的分量，在同

一被测量的多次测量过程中，它以不可预定方式变化着“。

注：随机误差不可能修正。

问题：以下的随机误差定义是否妥当？为什么？若不妥，你认为应该怎样定义较好？

1）重复测量时，以随机方式变化的误差称为偶然误差；

2）重复测量时，误差可能大，可能小，事前不能肯定的误差称为偶然误差；

3）产生原因不明的误差称为偶然误差。

解答：以上定义均不妥当，其理由如下：

1）偶然误差确实是以随机方式变化的误差，但是，不能说一切以随机方式变化的误差都是偶然误差。从概率论可知，以随机方式变化的量是随机变量，随机变量X加上一个常数C后，这个新的随机变量Y=X+C仍是按相同的随机方式变化的。将这一理论应用到误差问题中，设偶然误差ε是按随机方式变化的，而偶然误差ε加系统误差θ后，也是按随机方式变化的，也就是说Δ=ε+θ，Δ也是按随机方式变化的，若是按第一中定义来定义偶然误差，那么ε是偶然误差，Δ也是偶然误差。

这就失去了定义的唯一性。因此第一中定义是不妥当的。从概率论的观点看，偶然误差是中心化的随机变量。所谓“中心化”

就是随机变量减去数学期望。随机变量中心化后为X-m X, m X

数学期望。对误差来说，中心化就是误差减去其系统误差，即ε=Δ-θ。

2）“重复测量时，误差可能大，可能小，事前不能肯定的误差称为偶然误差”。有些书是以这样的描述来定义偶然误差的，这主要是为了把偶然误差的定义描述得更通俗些，以便一些不熟悉概率论的读者也能基本上理解偶然误差的含义。但严格来说，这样的定义存在一定欠缺之处。从概率论观点看，偶然误差是一个随机变量，随机变量在具体试验时所出现的数值是随机的，是不能事前确定的，但是值得注意的是这些数值从整体来看是服从统计规律的。如果对偶然误差的定义只强调其取值的可能大、可能小，事前不能肯定，而不指出其从整体来看服从统计规律，则不能把随机变量的含义充分体现在偶然误差的定义中，而且容易把偶然误差与粗差混淆在一起，粗差的出现也是事前不能肯定的，它与偶然误差的根本区别就在于粗差不服从统计规律。

3）将“产生原因不明的误差称为偶然误差”，显然是不妥的。

因为实际工作中，产生系统误差的原因有时也是清楚的，而产生偶然误差的原因有时是明确的，如果按上述定义来定义偶然误差，那么有些服从函数规律的（系统）误差将定义为偶然误差，一些服从统计规律的（偶然）误差将被定义为系统误差。

误差产生的原因是否明确，主要取决于人们的认识能力，而误差的性质是客观存在的，应该不因认识能力的改变而改变。从

这一点来看，上述定义也是不妥当的。

以上讨论了三种不全面的偶然误差的定义，下面是正确的偶然误差的定义：以随机方式变化并具有抵偿性的误差称为偶然误差。

● 偶然误差的性质

偶然误差的出现，对个体而言是没有规律的，是随机的，是不可预测的。误差的数值可能大，可能小，其符号可能正可能负，但对大量偶然误差数据组成的整体而言，是服从统计规律的。这统计规律也就是偶然误差所具有的几点性质： 1）

绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多； 2）

绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相同； 3） 在一定测量条件下，测量次数一定时，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；

4） 同一量的等精度测量，其偶然误差的算术平均值ε 随着测量次数的增加而无限地趋向于零。即有 n n i i ∑==

1εε，当0,→∞→εn 式中，εi 为第i 次测量的偶然误差，n 为测量次数。

以上介绍的偶然误差的四点性质，仅当偶然误差为正态分布，或者是单峰两边对称分布时才具有，这就是前提。实际工作中，我们遇到的偶然误差的极大多数为正态分布，故所遇到的偶然误差都具有上述四种性质。

● 偶然误差的数学描述

服从正态分布的随机变量的概率密度分布函数为 )2ex p(21)(2σεσπε-==

f y 或 )2)(ex p(21)(22

σθσ

π-?-=?=f y 以上为描述偶然误差的数学方程式。式中，Δ为测量误差，ε为偶然误差，σ为均方根误差（标准差，标准误差），θ为系统误差，有：ε=Δ-θ。

偶然误差的四点性质可由上述方程得到解释。

（1） 误差落在以ε为中心、区间为d ε内的概率为f (ε)d ε。从式中可知，ε=0时f (ε)最大，即f (ε)d ε最大；当ε增大时，f (ε)减小，f (ε)d ε减小。这说明小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。通俗地理解，绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。

（2） 因 （-ε）2 = （+ε）2

故 f (-ε) = f (+ε)

这说明绝对值相同的正负误差其概率密度相等，豢养，绝对值相等的偶然误差出现的次数相同。

（3） 根据误差方程式，有

负误差的平均值为 ?∞-0

)(εεεd f

正误差的平均值为 ?∞0)(εεεd f

由于f (ε)对ε=0这一轴线对称，所以

??∞∞-=00)()(εεεεεεd f d f

两个平均值的绝对值相等，但符号相反。故

0)()()(00==+???∞

∞-∞∞-εεεεεεεεεd f d f d f

说明正负误差互相抵偿，误差之代数和为零。

（4） 已知当ε增大时f (ε)减小，因此大误差出现的概率很小，而实际工作中又只进行有限次测量，在有限次测量中出现大误差的次数就更小，成为实际上的不可能事件。所以说，在有限次测量中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

▲ Student 分布── t 分布

在实际测量中，测定次数不可能无限多。在等精密度的多次测量中，如果有足够的

测定值（至少30个，可达100个，称做大样本测定）。根据随机误差的正态分布理论，用算术平均值代表最佳值，用样本的标准差代替总体样本的标准差σ（测定次数无限多时的标准差称为总体样本的标准差），可直接应用u 检验。但在物理化学实验中，一般对一个物理量只进行少数几次测定，称做小样本测定。由于测定次数很少，随机误差正态分布理论不能直接用于小样本测定的检验。

在小样本测定中，若总体随机误差为正态分布，样本均值为x 。由于偶然误差在有限次测定中不可能完全互相抵消完，故x 仍含有一定的偶然误差，x 仍是一个随机变量。若样本均值x 视为服

从正态分布的随机变量，样本均值的标准差)(x ∧σ代替总体样本的标准差，得到统计量t ，则小样本测定中的样本值服从t 分布————又称Student 分布。

设对某一量进行系列测定，得到测量值x i , i=1,2,3,…,n 。其偶然误差的均方根误差（近似值）为

2/112)1/()(??????--=∑=∧n x x n i i σ ------- 该数列的均方根误差（标准误

差）的近似值。

而均方根误差则是

2/1120/)(??????-=∑=n A x n i i σ 详见下面的讨论。x 是A 0的近似值。 算术平均值x 的均方根误差的近似值为：

)(x ∧σ=n /∧

σ 当测量次数较多时，不论偶然误差是不是正态分布，变量 )//()(0n A x t ∧-=σ 近似为正态分布

当测量次数n 较少时，变量t 就不是正态分布了，其分布称为t 分布。

设变量t )//(n t ∧=σε

ε= x -A 0，ε为算术平均值的偶然误差， A 0为真值，即x 的数学期望（A 0=E （x ））。

当测量次数n > 2时，t 的概率密度分布函数为

误差理论试卷及问题详解

《误差理论与数据处理》试卷一 一．某待测量约为 80m，要求测量误差不超过 3％，现有 1.0 级 0－300m 和 2.0 级 0－100m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求？ （本题 10 分） 二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为： 1＝0.8′， 2＝1.0′， 3＝0.5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？ （本题 10 分） 三．测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃） 20.53, 20.52, 20.50, 20.52, 20.53, 20.53, 20.50, 20.49, 20.49, 20.51, 20.53, 20.52, 20.49, 20.40, 20.50 已知温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判 断该测量列是否含有粗大误差。要求置信概率 P=99.73%，求温度的测量结 果。（本题 18 分） 四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为： l 1 1 (10.000 0.0004) mm; l 2 2 (1.010 0.0003) mm; l 3 3 (1.001 0.0001) mm 求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ ij 0 ）。（本题 10 分）五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略） x y 1 0.1051 5 0.5262 10 1.0521 15 1.5775 20 2.1031 25 2.6287 设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）（本题 15 分） 六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有： ①仪器示值误差不超过 0.15v，按均匀分布，其相对标准差为 25%； ②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 0.05 v; ③仪器分辨率为 0.10v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。

中国计量学院现代科技学院《误差理论与数据处理》考试题型

一、填空题 1、测量误差等于 测得值 与真值之差。 2、误差的来源包括 测量装置误差 、人员误差 、 环境误差 、方法误差。 3、按误差的性质与特点，可将误差分为 系统误差、 随机误差 、 粗大误差 三类。 4、保留三位有效数字时3.1415应为 3.14 ，0.3145应为 0.314 。 5、扩展不确定度U 由合成标准不确定度Uc 乘以 包含因子 k 得到。 6、量块的公称尺寸为10mm ，实际尺寸为10.001mm ，若按公称尺寸使用，始终会存在-0.001 mm 的系统误差。采用修正方法消除，则修正值为 +0.001 mm 。当用此量块作为标准件 测得圆柱体直径为10.002mm ，则此圆柱体的最可信赖值为 10.003 mm 。 7、设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻Ω±Ωμ129000742 .10，测量结果服从正态分布，置信水平为99％,则其标准不确定度u 为 0.00005Ω 。这属于 B 类 评定。 二、选择题 1、 2.5级电压表是指其（ c ）为2.5%。 A ．绝对误差 B ．相对误差 C ．引用误差 D ．误差绝对值 2、 用算术平均值作为被测量的最佳估计值是为了减少（ B ）的影响。 A ．系统误差 B ．随机误差 C ．粗大误差 3、 单位权化的实质是：使任何一个量值乘以（ B ），得到新的量值的权数为1。 A ．P B ．21/σ C D ．1/σ 4、 对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量 结果总标准差的（ c ）。 A ．1/3~1/4 B ．1/3~1/8 C ．1/3~1/10 D ．1/4~1/10 5、 判别粗大误差的3σ准则称为（ c ）。 A ．罗曼诺夫斯基准则 B ．荻克松准则 C ．莱以特准则 6、不确定度用合成标准不确定度c u 表示时，测量结果为Y=100.02147(35)g ，则合成标准不确定度c u 为（ B ）。 A ．3.5 mg B ．0.35mg C ．0.35g D ．35g 7、误差和不确定度都可作为评定测量结果精度的参数，则下列结论正确的是（ C ）。 A ．误差小，则不确定度就小 B ．误差小，则不确定度就大 C ．误差小，则不确定度可能小也可能大。

误差理论与大数据处理作业

第一章绪论 １-1、研究误差的意义就是什么?简述误差理论的主要内容。 答: 研究误差的意义为: (1)正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以消除或减小误差; (2)正确处理测量与实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据; (3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器与测量方法,以便在最经济条件下,得到理想 的结果。 误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2、试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点就是什么？ 答:测量误差就就是测的值与被测量的真值之间的差;按照误差的特点与性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号保持恒定,或遵循一定的规律变化(大小与符号都按一定规律变化); 随机误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号以不可预定方式变化; 粗大误差的特点就是可取性。 1-3、试述误差的绝对值与绝对误差有何异同,并举例说明。 答:(1)误差的绝对值都就是正数,只就是说实际尺寸与标准尺寸差别的大小数量,不反映就是“大了”还就是“小了”,只就是差别量; 绝对误差即可能就是正值也可能就是负值,指的就是实际尺寸与标准尺寸的差值。＋多少表明大了多少,－多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者就是指系统的误差未定但标准值确定的,后者就是指系统本身标准值未定。1-6.在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为50ｍｍ,已知其最大绝对误差为 1μm,试问该被测件的真实长度为多少? 已知:L=5０,△L=1μm＝0.001mm, 解: 绝对误差=测得值－真值,即: △L=L-L =L-△Ｌ＝50-0.０01=4９、999(mｍ) 测件的真实长度Ｌ １-7、用二等标准活塞压力计测量某压力得100、2Ｐa,该压力用更准确的办法测得为100、５Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解:在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值-实际值, 即: 100.2－100、5＝-０、3( Pa)

6习题五 误差理论基础

习题五 一、填空题 1、真误差是指，其表达式为。 2、误差的来源有、、三个方面，按误差的性质不同，可分为和两种。 3、评定观测值精度主要采用、和。 4、用6″级经纬仪按测回法测量某一角度，欲使测角精度达到±5″，则测回数不得少于 。 5、在等精度观测中，设观测值中误差为m，观测次数为n，则最可靠值的中误差为。 6、水准测量中，设一测站的高差观测中误差为±5mm，若1km有15个测站，则1km的高差中误差为。 7、误差传播定律是描绘和中误差关系的定律，它的表达式为。 8、在等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为，在不等精度观测平差中，最可靠值采用，其表达式为。 9、在一组观测值中，单位权中误差为±3mm，某观测值的权为4，则该观测值中误差为 。 二、简答题 1、何为系统误差？它有什么特性？在测量工作中如何消除或削弱？ 2、何为偶然误差？偶然误差能否在测量工作中消除？它的统计特性有哪些？ 3、什么叫中误差？为什么中误差能够作为衡量精度的标准？在一组等精度观测中，中误差和真误差有何区别？

4、试用偶然误差的特性来证明：在等精度观测中，算术平均值作为最可靠值。 5、设有Z1=X1+X2，Z2=2X3，若X1、X2、X3均独立，且中误差相等，问Z1、Z2的中误差是否相等，说明原因。 6、什么叫做权？它有什么含义？权与中误差之间的关系怎样？ 7、已知某正方形，若用钢尺丈量一条边，其中误差为m=±3mm，则正方形的周长中误差为多少？若用钢尺丈量4条边，则周长的中误差又是多少？试计算说明。 8、什么叫做权倒数传播定律？它描绘的是一种什么关系？它与误差传播定律有什么联系？ 三、选择题 1、用水准仪观测时，若前、后视距不相等，此因素对高差的影响表现为（），在一条水准线路上的影响表现为（） A 、偶然误差，偶然误差 B 、偶然误差，系统误差 C 、系统误差，偶然误差 D 、系统误差，系统误差 2、当误差的大小与观测量的大小无关时，此时不能用（）来衡量精度 A 、相对误差 B 、中误差 C 、绝对误差 D 、容许误差（） 3、用30 米长的钢尺丈量距离（该尺经过检验后其实长度为29.995m ），用此尺每量一整尺就有0.005m 的尺长误差，则这种误差属于 A 、偶然误差，且符号为（-） B 、系统误差，且符号为（-） C 、偶然误差，且符号为（+ ） D 、系统误差，且符号为（+ ） 4、由于测量人员的粗心大意，在观测、记录或计算时读错、记错、算错所造成的误差，称为（） A 、偶然误差 B 、系统误差 C 、相对误差 D 、过失误差 5、在相同条件下，对任何一个量进行重复观测，当观测次数增加到无限多时，偶然误差的算术平均值为零，这说明偶然误差具有

误差理论与数据处理答案

《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

误差理论与大数据处理作业

第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm， 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L ＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 测件的真实长度Ｌ 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa）

第二章 误差理论及应用

第二章误差理论及应用 第一节误差的来源与分类 一、误差的来源与误差的概念 每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。 测量值与真值之差称为误差。在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。实际上，误差仍然是存在的。 由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。 二、测量误差的分类 在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。 1．系统误差 在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。在正确的测量结果中不应包含系统误差。 2．随机(偶然)误差 随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。误差的大小以及正负误差的出现，完全由概率决定，没有理由认为误差偏向一方比偏向另一方更为可能。因此，误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。因此，多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。 3．过失误差 过失误差是一种显然与事实不符的误差，它主要由于测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起，例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，只要多方注意，细心操作，过失误差就可以避免。包含过失误差的测量结果是不能采用的。 第二节系统误差

DDS的误差分析

DDS 的误差分析 摘要：随着电子技术的不断发展，被测系统的工作频率、复杂程度不断提高，对激励信号源的输出信号带宽、输出波形的复杂度提出了更高的要求。基于直接数字合成技术的任意波形合成方法，以其信号产生方式灵活、频率分辨率高、频率切换速度快等诸多优点，在现代时域测试中得到了广泛的应用。 可是DDS 的杂散分量较多，严重影响了基于 DDS 的任意波形合成输出信号的波形质量，限制了任意波形合成技术的更广泛应用。针对 DDS 输出信号杂散分析与抑制一直是研究的热点，也有大量的技术被提出。本文将从相位截断、幅度量化误差和DAC 非线性等三个方面来讨论误差的产生以及一些基本的消除方法。 关键词：直接数字合成 任意波形合成 相位截断 幅度量化 DAC 非线性 １ ＤＤＳ的原理 １.１ ＤＤＷＳ DDWS 主要由地址发生器、波形查找表、数模转换器和可变时钟发生器组成。根据预定的采样频率、所需信号的时域特征、波形长度等参数，由信号的数学表达式计算出各信号点幅度值，经过量化后按采样顺序预先存储在波形查找表中。可变时钟发生器按照用户设置的采样频率输出相应的时钟信号。每一个时钟信号的上升沿，地址发生器的输出地址加 1，地址发生器的输出地址对波形查找表寻址，逐点读出波形数据，经数模转换后生成相应的输出信号。设可变时钟频率为f Ｓ，若周期波形每个周期由 n 个采样点构成。 １.２ ＤＤＦＳ 由于 DDWS 产生新的频率必须通过更改采样时钟的频率或波形存储器中的数据点数来实现，作为振荡器应用具有较大的局限性。因此提出了如图 2-2 所示基于相位累加器的改进模型，即直接数字频率合成(DDFS)。DDFS 系统主要由固定时钟发生器、相位累加器、波形查找表、数模转换器和低通滤波器等组成。在采样时钟的控制下，N 位的相位累加器以频率控制字 K 进行累加，截取高 M 位作为相位地址对波形查找表进行寻址，输出相应的 D 位幅度信息，完成波形相位到幅度的转换。输出的波形幅度信息通过数模转换器得到相应的模拟信号输出，低通滤波器滤除杂散分量，保证输出波形的纯度。 DDFS 的输出频率f ｏ 和采样时钟f Ｓ之间的关系为： s N o f K f 2

测量误差理论的基本知识习题参考答案

5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差

测量误差理论的基本知识习题答案.doc

5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。

《误差理论与数据处理》答案

《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到 更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经 济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4() h h g T π+=，得 21802000180' '=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

误差理论

II 误差理论 1.古典误差理论与现代误差理论的区别 古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。 在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。 古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。 2．误差理论的应用 在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。 3.为什么测量结果都带有误差？ 完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。

4. 产生误差的原因 （1） 仪器误差； （2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等； （3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等； （4） 方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测 量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差， 这种误差称为间接测量误差； （5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态 改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。 示例： V T H dT dp ??= Clapeyrong equation 2ln RT H dT p d m vap ?= C lausius-Clapeyrong eq. 近似性：V m (g)>>V m (l),气体为理想气体。 ln(p/p ) = -Δvap H m /RT + C 假定Δvap H m 与温度无关。 式中，C 为积分常数。有 Δvap H m = - R ·斜率 事实上，Δvap H m =f (T )，即Δvap H m 是温度的函数，有 Δvap H m /kJ ·mol -1

误差理论及数据处理大作业

《误差理论与数据处理》小作业 姓名： 学号：1120 班级：1208106班 学院：机电工程学院 日期：2016年 3月28 日

《误差理论与数据处理》小作业 姓名： 学号：11 班级：1208106班 学院：机电工程学院 作业目的：使学生充分了解误差的性质，学会数据处理方法。通过对测量精度的分析和计算，解决误差的合理分配问题，达到在最经济的条件下，得到最理想的设计和测量结 果。 作业内容：自拟一个与误差原理相关的选题 要求：1、结合工程实践的实际问题 2、理论联系实际 3、运用基本理论分析和计算 作业要求：1、题目要适当 2、基本格式：封页 标题（黑体小三居中）：字数不超过20字 摘要（黑体五号）：概述论文的核心内容（宋体五号） 作业正文（宋体五号），字数不少于1500字 3、作业统一采用A4纸，单面打印，左侧装订 4、必须独立完成作业，教师审查后评定成绩占课程总成绩的20%

多面棱体测量的极限误差 摘要：多面棱体是一种高精度标准器具，检定光学分度头等圆分度仪器的分度误差，在高精度的机械加工或测量中也可以作为角度的定位基准[1]，其检测条件是：温度20℃；大气压力101.325KPa；水蒸汽压力(湿度)1.333KPa。而在温度、湿度、大气压等条件有偏差时候，给测量也会带来一定的误差，本次通过在温度有一定波动的条件下测量多面棱体的长度，求这种测量方法的极限误差和最终的测量结果。 关键词：多面棱体、极限误差、测量结果、温度 （一）工程案例： 长度等于或小于80mm的多面棱体，测量或使用其长度时，多面棱体的轴线可竖直或水平安装。长度大于80mm的多面棱体，测量或使用其长度时，多面棱体的轴线应水平安装，这时，多面棱体一个较窄的侧面放置在分别距多面棱体两端侧量面各为0.211×L的两个横放的支柱上。测量时恒温条件为t=20±2o。10 次重复测得值（单位μm）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。 解：按测量顺序，用表格记下测得数据。 1、求算术平均值 2、求各测得值的残余误差（具体数据见上表格）

误差及数据处理基础理论知识综述

误差及数据处理基础理论知识综述 2009-12-1 13:45:43 误差及数据处理基础理论知识综述 前言 由于各行各业有各自的误差理论及数据处理理论，但基础理论都是一致的，大同小异。现就在检验（测量）领域的误差理论及数据处理基础知识进行理论文字上的综述，尝试作一次理论上的探讨，与各位同仁共同学习和提高，如有不妥及错误之处请各位批评指正。 一、误差基础知识 在各种测量领域，我们经常使用一些术语，例如测量误差、测量准确度和测量不确定度等来表示测量结果质量的好坏。现我们从上述三个术语的定义出发，给出这些术语的基本概念，并指出它们之间的差别，以利于正确使用这些术语。 （一）测量结果 测量结果的定义是“由测量所得到的赋予被测量的值”，因此测量结果是通过测量得到的被测量的最佳估计值。由于任何测量都存在缺陷，因而通常测量结果并不等于真值。完整表述测量结果时，必须给出其测量不确定度，必要时还应说明测量所处条件，或影响量的取值范围。以便使用者可以正确地利用该测量结果。 测量结果可能是单次测量的结果，也可能是由多次测量所得。对于前者，测得值就是测量结果；若为多次测量所得，则测得值的算术平均值才是测量结果。因此在给出测量结果时，通常说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，同时还应表明它是否为几个值的平均。 测得值，有时也称为观测值，是指从一次观测中由测量仪器或量具的显示装置中所得到的单一值。一般地说，它并不是测量结果。测量结果是指对测得值经过恰当的处理（如按一定的规则确定并剔除测得值中的离群值）、修正（指必须加上由各种原因引起的必要的修正值或乘以必要的修正因子）或经过必要的计算而得到的最后提供给用户的量值。因此测得值或观测值是测量中得到的原始数据，是测量过程的一个中间环节。对于间接测量而言，测得值或观测值往往具有和被测量不同的量纲。而测量结果则是整个测量的最

测量误差理论的基本知识

测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？

误差理论论文

NANCHANG UNIVERSITY 误差理论课程论文 班级： xxxxxxxx 学号： x xx xxxxxx 学生姓名： xxxxxxx

近年误差理论相关研究的主流趋势与热点 【摘要】对近3年以来，网络中以不确定度（误差）为关键词的学术论文进行了研究。分析了以不确定度（误差）为关键词的学术论文及其相关研究主要研究的问题，主要分布的领域，有何成果或者结论。从而总结出当前相关研究的主流趋势、热点。 【关键词】误差理论；不确定度；测量；热点；领域；成果 【Abstract】In the past 3 years, the network with uncertainty (error) were studied for the keywords of academic papers. Analysis on uncertainty (error) is the main research keywords of academic papers and related research problems, main distribution areas, what are the results orconclusions. To summarize the mainstream trend, the current research hot spot. 【Key Words】error theory；trend；hotspot；field；results 引言

众所周知，在自然科学中，人们通过测量得到对事物的认识，没有测量就没有科学。测量是人类认识自然和改造自然的重要手段，在国民经济中起着重要的作用。然而我们对自然界的所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测量结果与该量的真值之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。测量误差大小的评估或测量不确定度的评定（即测量误差范围的估计）正是误差理论与数据处理研究的内容.本文通过分析近三年来，中国知网上以不确定度为关键词的论文数目，主要研究的问题，主要分布的领域，有哪些成果或者结论。从而归纳总结出当前相关研究的主流趋势、热点。 1 从学术论文数量与领域分析 本文以中国知网的CNKI 数据库作为数据来源平台。并且，经过查阅发现CNKI 上不仅全面汇集我国出版的学术期刊，期刊论文收录详尽，并且容易收集资料，因此，本文最终选定以CNKI 数据库为数据收集的出发点。指定关键词为不确定度和误差，选定年限2012-2014，共搜出5474篇文献。其中以不确定度为关键词的学术论文有4421篇，以误差为关键词的论文有1627篇。 从以不确定度和误差为关键词的学术论文数量对比，可以看出测量不确定度比测量误差有更广泛的应用。正是因为测量不确定度比经典误差理论更科学、更实用，所以在世界各国的计量领域测量不确定度得到了更广泛的应用。测量不确定度与测量误差之间既有一定的联系又有一定的区别，测量误差是测量不确定度的基础，测量不确定度是经典误差理论不断发展和完善的产物。所以接下来我们从以不确定度为关键词的4421篇学术论文中分析近三年误差理论的主要研究领域。在这4421篇学术论文中主要分布领域为：化学833篇，仪器仪表工业695篇，轻工业手工业454篇，环境科学与资源利用433篇，电力工业334篇，金属

误差理论及数据处理-复习题及答案

《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，3.1*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和

_________来表示。 标准差 极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ 0.75 ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ 0.4 ，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150)(16.0)100150(100)(222212122 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R=264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R

04采样信号量化误差分析

实验四采样信号量化误差分析 一. 实验目的 1.通过本实验熟悉A/D、D/A变换中的量化误差。 2.了解A/D、D/A器件位数与量化误差的关系。 二. 实验原理 把连续时间信号转换为与其相对应的数字信号的过程称之为模—数（A/D）转换过程，反之则称为数—模（D/A）转换过程，它们是数字信号处理的必要程序．一般在进行A/D转换之前，需要将模拟信号经抗频混滤波器预处理，变成带限信号，防止采样时出现频率混迭现象,然后再经A/D转换成为数字信号，最后送入数字信号分析仪或数字计算机完成信号处理．如果需要，再由D/A转换器将数字信号转换成模拟信号，去驱动计算机外围执行元件或模拟式显示、记录仪等。 图1 信号A/D转换过程 把采样信号x（nT s）经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。若取信号x（t）可能出现的最大值A，令其分为D个间隔，则每个间隔长度为R=A/D，R称为量化增量或量化步长。当采样信号x（nT s）落在某一小间隔内，经过舍入或截尾方法而变为有限值时，则产生量化误差，如图2所示。 图2 信号的6等分量化过程 一般又把量化误差看成是模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声。量化增量D愈大，则量化误差愈大，量化增量大小，一般取决于计算机A/D卡的位数．例如，8位二进制为28=256，即量化电平R为所测信号最大电压幅值的1／256。 三. 实验内容 采用软件模拟的方法对数字信号进行量化处理,观察量化后信号波形的变化,将原始数字信号和量化后的数字信号转化为音频数据流或音频文件(WAV格式),通过计算机声卡和喇叭播放,感受量化后带来的舍入噪声的影响。