课时18 二次函数及其图像

y

x

课时18 二次函数及其图像

【课前热身】

1． （08南昌）将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．

2. （07四川） 如图1所示的抛物线是二次函数

2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．

3.（08贵阳）二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）

A.－2

B.2

C.－1

D.1

4.（08沈阳）二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）

A.（1,3）

B.（－1,3）

C.（1,－3）

D.（－1,－3）

5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. a b c ><>000，，

B. a b c <<>000，，

C. a b c <><000，，

D. a b c <>>000，，

【考点链接】

1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质

a ＞0

2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .

3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.

4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.

【典例精析】

例1 (06遂宁)已知二次函数24y x x =+，

(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++

(其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画

出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称

轴和顶点坐标.

(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.

例2 （08大连）如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，

2)． ⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；

⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．

(直接写出答案)

【中考演练】

1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .

2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标

为(0，3)的抛物线的解析式 .

3.（07江西）已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如右图所

示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．

D

B

A

4. 函数2

y ax

=与(0,0)

y ax b a b

=+>>在同一坐标系中的大致图象是（）

5. (06资阳)已知函数y=x2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使

y≥1成立的x的取值范围是（）

A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3

6. (06浙江) 二次函数c

bx

ax

y+

+

=2（0

≠

a）的图象如图所示，则下列结论：

①a＞0；②c＞0；③b2-4a c＞0，其中正确的个数是( )

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

（第5题）（第6题）

7. 已知二次函数243

y ax x

=-+的图象经过点（－1，8）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）根据（1

（3

二次函数的图像和性质(第三课时)

第六章实数 6.1平方根 第1课时算术平方根 【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根. 【过程与方法】 通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维. 【情感态度】 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣. 【教学重点】 理解算术平方根的概念. 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 一、情境导入，初步认识 教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果.

问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2. 问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式. 由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5.02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2)=4，故平方为4的数为2或-2. 问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少? 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm. 二、思考探究，获取新知 教师归纳出新定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式 学生： 时间： 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围． 例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1

函数-第3讲：二次函数图像、性质与解析式

一．二次函数的概念 （一）二次函数的定义 1、一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中 x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 【注意】抛物线的另一定义：在平面内，到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的集合成为抛物线，F 称为抛物线的焦点。l 称为抛物线的准线。 2、任何二次函数都可以整理成c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式． 3、判断函数是否为二次函数的方法： （1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2； （2）二次项系数不等于0； 【方法技巧】 第三节 二次函数的图象、性质与解析 【知识梳理】

（3）等式两边都是整式． 4、二次函数自变量x 的取值范围是全体实数． （二）二次函数图象的画法：五点绘图法 1、利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+ 2、确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 3、在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、 以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）． 二．二次函数的图象性质 （一）二次函数2y ax =0a ≠（）的性质 1、抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0=x （y 轴）. 2、函数2ax y =的图象与a 的符号关系. （1）当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； （2）当0a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； （2）当0a 时有最小值 a b a c 442 -

(中考数学复习教案) 18二次函数的应用 课时18二次函数的应用

课时18．二次函数的应用 【课前热身】 1. 二次函数y=2x2-4x+5的对称轴方程是x=______；当x=_____时，y有最小值是______. 2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米， 现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图），则此抛物线 的解析式为_______________. 3. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到 了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数 关系是( ) A．y=x2+a B．y=a(x-1)2 C．y=a(1-x)2 D．y=a(l+x)2 4. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是( ) A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.6 5. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点，则k的取值范围是( ) A. k＞-7 4 B. k≥- 7 4 C. k＞- 7 4 且k≠0 D. k≥- 7 4 且k≠0 6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【知识整理】 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程中b2-4ac来判定： (1)b2-4ac＞0?抛物线与x轴有2个交点； (2)b2-4ac =0?抛物线与x轴只有1个交点，此交点即顶点； (3)b2-4ac＜0?抛物线与x轴没有交点. 2.二次函数与日常生活、自然、体育、科学技术有密切联系. 应用二次函数知识解决实际生活问题时，首先要考虑“四方面”(与x轴的交点、对称轴、与y轴的交点、顶点)，然后充分发挥“形”的直观作用和“数”的关系，由数思形，由形定数，数形结合. 【例题讲解】 例1华联商场以每件30元购进一种商品，试销售中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数y=162-3x； (1)写出商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式； (2)如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元时最合适？最大销售利润为多少？

3二次函数图像与性质(二)

课题：二次函数图像与性质（二） 复习目标 1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值; 2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。 复习难点 用二次函数的性质和图象解决实际问题。 复习过程 一、知识点回顾 1. 二次函数的解析式： （1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： . 2．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 二、复习题组 题组一 1求抛物线 y=2x 2-4x+5 的对称轴和顶点坐标. 2 已知二次函数y=-x 2+4x- 3 ⑴求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；⑵当-2≤x ≤0 时,求二次函数y=-x 2+4x-3的最大值和最小值.

3在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0) ⑴求该二次函数的关系式； ⑵ 将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 题组二 1. （2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 2. (2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点(31 )，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 3. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________. 4. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的顶点P 的横坐标是4,? 图象交x 轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 5.已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k, (1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点. (2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②此抛物线上是否存在一点P ，使△P AB 的面积等于3，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计

第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手

作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

二次函数的图象和性质3(含答案)

2010年全国各地数学中考试题分类汇编17 二次函数的图象和性质3 一、选择题 1．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ． 4 【答案】C 2．（2010湖北省咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 【答案】A 3．（2010北京） 将二次函数y ＝x 2 －2x ＋3，化为y ＝(x －h )2 ＋k 的形式，结果为（ ） A ．y ＝(x ＋1)2 ＋4 B ．y ＝(x －1)2 ＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2 D ． y ＝(x －1)2 ＋2 【答案】D 4．（2010山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()1 0y x x =-<；④2 23y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 【答案】B 5．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2 -5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ） A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1 【答案】D y x O y x O y x O 1 －1 y x O 1 －1

二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计--王钦

二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 长垣县武邱乡中心学校 王钦 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手

作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用

y x O 2019-2020年中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用 一、【知识要点】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3. 二次函数的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 4. 用配方法可化成的形式，其中＝ ， ＝ . 5. 二次函数的图像和图像的关系. 6．二次函数通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有

最（“大”或“小”）值是． 7、二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． （3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根 8、二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 二、【经典例题剖析】 1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求： （1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 2. 已知抛物线y＝x2－2x－8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积． 3.如图所示，直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC，∠BAC=90o， 过C作CD⊥轴，垂足为D （1）求点A、B的坐标和AD的长 （2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式三、当堂检测 D O B A C

二次函数的图象与性质(3)

二次函数的图象与性质（3） [本课知识要点] 会画出2 )(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维] 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2 ax y =的图象上下平移所得，那 么函数 2)2(21-= x y 的图象，是否也可以由函数 221 x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 221x y = ，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回 对于抛物线 2)2(21 += x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时， 函数取得最 值，最 值y= ． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 221x y = … 29 2 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y … 21 0 21 2 225 8 225 … 2)2(21 -= x y … 225 8 29 2 21 0 21 …

探索 抛物线 2)2(21+= x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平 移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-= x y ，应将抛物线 221 x y =作怎样的平移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2 )2(3+-=x y 之间的关系吗? 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2 )2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2 )2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴 和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由2 3x y -=向左平移2个单位而得的． 2 )(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下： [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线2 )1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2 x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 标． [本课课外作业] A 组 1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2 )1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2 21x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2 )1(21 --=x y ？

二次函数的应用第二课时教案

2.4二次函数的应用(2) 教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。 难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习： 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质？并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离？ 2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？ (顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点) 3.求二次函数y＝－2x2＋10x＋1的最大(或最小)值？ 思考：如何求下列函数的最值： (1) y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4) (2)y=2x2＋4x＋5 (3)y＝ 1 100－5x2 (4) y=x2＋1 x2 2利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 二、例题讲解 例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 分析：设经过t时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 。因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。 解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为 S=A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-10 13） 2+576 （t>0） 当t=10 13时，被开方式169（t-10 13） 2+576有最小值576。 所以当t=10 13时，S最小值=576 =24（km） 答：经过10 13时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。

5.第13课时 二次函数的图象与性质

第三章 函数 第13课时 二次函数的图象及性质 (建议时间： 分钟) 能力提升 1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1 D. 直线x ＝－1 3. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2 D. y 2>y 1>2 4. (苏科九下P 13练习第1题改编)抛物线y ＝－3x 2，y ＝13x 2，y ＝5x 2，y ＝－3 4x 2的共同性质是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是y 轴 C. 都有最高点 D. y 随x 的增大而增大 5. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A. y ＝(x －4)2－6 B. y ＝(x －1)2－3 C. y ＝(x －2)2－2 D. y ＝(x －4)2－2 6. (2019荆门)抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 8. (2019陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为( ) A. m ＝57，n ＝－18 7 B. m ＝5，n ＝－6 C. m ＝－1，n ＝6 D. m ＝1，n ＝－2 9. (2019温州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 10. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 11. (2019绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 12. (2019遂宁)二次函数y ＝x 2－ax ＋b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是( )

2.4 二次函数的应用(第2课时)优秀教学设计

第二章二次函数 《二次函数的应用（第2课时）》 教学设计说明 一、学生知识状况分析 通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题. 二、教学任务分析 “何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释. 教学目标 (一)知识与技能 1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值. 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力. (二)过程与方法 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力. (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和

学好数学的信心. 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 三、教学过程分析 本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨. 第一环节 探究活动一 活动内容：（有关利润的问题） 服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是： 销售利润=单件利润×销售量 若设批发单价为x 元，则： 单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则 )14024(5000-2+-=x x 20000)12(50002+--=x ）元（10-x 件)5001 .0-135000(?+x )5001 .0135000)(10(?-+-=x x y

二次函数图像与性质(3)

二次函数的图像与性质（3） 九年级数学张黎教学目标： 1.能正确说出y=a(x-h)2+k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标 2.让学生经历y=a(x-h)2+k性质的探究过程，理解其性质及 与y=ax2图像的关系 3.经历探索二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系的过 程，养成学生观察、思考、归纳的思维习惯 教学重点： 理解y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系 教学难点： 1.理解y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系 2.能正确说出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标教学工具：几何画板 教学方法：讨论式、启发式等 教学过程： 一、导入语 同学们好，上节课我们学习了将形如y=ax2(a≠0)的抛物线经过上下平移，掌握了其规律是上加下减，并探索出了平移后图

像的性质，那若经过左右平移呢？其规律又是什么？经左右平移后的图像又有何性质呢？带着这些问题让我们共同走进本节课??????二次函数的图像与性质 二、交流讨论，共探新知 1、请大家观察y=2x2与y=2(x+3)2的图像 议一议 想一想 ⑴两条抛物线的图像有什么相同点与不同点？ ⑵y=2(x+3)2的图像可以看作是由y=2x2的图像经过怎样的平 移而得到？ 几何画板动态演示平移情况

（3）观察这两个函数关系式，你发现的平移前后的关系式有何变化吗？你发现了什么？ 2.请大家观察抛物线y=2x 2与y=2(x-4) 2图像 想一想 ⑴ 两条抛物线的图像有什么相同点与不同点？ ⑵ y=2(x+3) 2的图像可以看作是由y=2x 2的图像经过怎样的平移而得到？ 几何画板动态演示平移情况 左 加 y=2(x +3)2 向左平移3个单位长度 y=2x 2 议一议

二次函数第3课时教案

26.1 二次函数(3) 教学目标： 1、使学生能利用描点法正确作出函数y = ax2+ b的图象。 2、让学生经历二次函数y = ax2+ bx+ c性质探究的过程，理解二次函数y = ax2+ b的性质及它与函数y = ax2的关系。 重点难点： 会用描点法画出二次函数y = ax2+ b的图象，理解二次函数y= ax2+ b的性质，理解函数y= ax2+ b与函数y= ax2的相互关系是教学重点。 正确理解二次函数y = ax2+ b的性质，理解抛物线y= ax2+ b与抛物线y= ax2的关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1. ___________________________________________ 二次函数y= 2x2的图象是 ,它的开口向 __________________________________________________ ,顶点坐标是______ ;对称轴是 ______ , 在对称轴的左侧，y随x的增大而_________ ，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________ ，函数y = ax?与x = ______ 时，取最_______ 值，其最_______ 值是______ 。 2 .二次函数y = 2x2+ 1的图象与二次函数y = 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标 是否相同？ 二、分析问题，解决问题 问题1:对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？ (画出函数y = 2x2和函数y = 2x2的图象，并加以比较) . . ____________________________________ 2 2 . . 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y = 2x与y = 2x + 1的图象吗？ 教学要点 1 ?先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y= 2x2的图象。 2 ?教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y = 2x2+ 1的对应值表，并让学生画出函数y= 2x2+ 1的图象. 3 ?教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表: x—3—2—10123 2 y = x1882028P18 2 1993l3919 y = x + 1 (2) 描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= 2x2和y = 2x2+ 1的图象。 (图象略) 问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 教师引导学生观察上表，当x依次取一3,—2,—1, 0, 1, 2, 3时，两个函数的函数 值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y= 2x2 + 1的函数 值都比函数y = 2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象，先研究点(一1, 2)和点(一1 , 3)、点(0 , 0)和点(0 , 1)、点(1 , 2)和点(1 , 3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y= 2x2 + 1的图象上的点都是由函数y = 2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4:函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象有什么联系？ 由问题3的探索，可以得到结论：函数y= 2x2+ 1的图象可以看成是将函数y = 2x2的图

2018届中考数学一轮复习第13课时二次函数(2)导学案(无答案)

第13课时二次函数(2) 班级：姓名： 学习目标： 1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习难点： 利用二次函数与一元二次方程关系解决综合问题。 学习过程： 一、知识梳理 1.抛物线中符号的确定 (1)的符号由抛物线开口方向决定, 当时,抛物线开口, 当时,?抛物线开口; (2)的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定. 当0时,抛物线交y轴于正半轴；当0时,抛物线交y轴于负半轴； (3)的符号由对称轴来决定. 当对称轴在轴左侧时,的符号与的符号； 当对称轴在轴右侧时,的符号与的符号；?简记左同右异. 2.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线，当时，抛物线转化为一元二次方程, (1)当抛物线与轴有两个交点时,方程有； (2)当抛物线与轴有一个交点,方程有； (3)当抛物线与轴无交点,?方程。 变式：抛物线，当时，抛物线转化为一元二次方程，试说明该方程根的情况。 。 。 二、典型例题 1.抛物线中a、b、c符号的确定 （中考指要例1）（2017?株洲）如图示二次函数的对称轴在轴的右侧，其图象与轴交于点与点，且与y轴交于点，小强得到以下结论：①；②；③；④当时；以上结论中正确结论的序号为．

2. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 （1）抛物线与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 （2）若二次函数的图像经过点，则关于的方程实数根为（）A． B． C. D． （3）已知抛物线与轴只有一个交点，则＝. （4）如图，已知的顶点坐标分别为，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． （5）二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数 D．无实数根 （6）已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题： ①求关于x的一元二次方程的解； ②求此抛物线的函数表达式； ③当为值时，?

《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章二次函数 2.4二次函数的应用 第2课时 一、教学目标 1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值． 2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力． 二、教学重点及难点 重点：1．探索销售中的最大利润问题． 2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力． 难点：运用二次函数的知识解决实际问题． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板。 四、相关资源 《生产服装》动画，，. 五、教学过程 【情境导入】

【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润． 师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容． 设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣． 【探究新知】 教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元． 那么销售量可表示为 13 5000500 0.1 x - ?? +? ? ?? 件．所以销售额为 13 5000500 0.1 x x - ?? +? ? ?? ； 所获利润 13 5000500(10) 0.1 x y x - ?? =+?- ? ?? ． 整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000． 答：厂家批发单价是12元时可以获利最多． 设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．