a 2-1)
b 2= b 4,
因为a >0,b >0,所以a <
b 2,即a 2-a -1>0, 解得a >
12+或a <
1
2-(舍去)，即a >12
+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（12
+，+∞）.
解法二。
作业
1.
作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2
||3
BM =.又由椭圆的第二定义,
得2||3BF =
=
||AF ∴=作业3.
作业4.
作业5.
8
3
高中数学 《极坐标方程的应用学案》
学号 《极坐标方程的应用学案》 姓名 学习目标：（1）；掌握极直互化的方法，能将极坐标问题转化为直角坐标解决。 （2）．体会数形结合的思想，通过图像简化问题。 一．知识准备 1. 极直互化 ⑴极坐标),(θρ转化为直角坐标),(y x ⑵直角坐标),(y x 转化为极坐标),(θρ _______________________ _______________________ 2、圆的极坐标方程 基本式一：圆心在极点，a r = 基本式二：过极点，圆心在坐标轴上，a r = 基本式三：过极点，圆心为),(αa 的圆 3、直线的极坐标方程 基本式一：过极点，倾斜角为α 基本式二： 基本式三：倾 斜角 为α， 极点到 (2)_______ x x x O (1)_______x O (1)_______ x ) 0,(a ) ,(πa
直线的距离为d 二．体验过程 1、(2013广一模)在极坐标系中，定点，点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，=AB _________；点B 的极坐标为_____________ 2、已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρcos 2=，θρsin 2a =，（a 是非零常数）。若两圆的圆心距为，求a 的值。 3、(2012年上海)如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6 π α=， 则直线的极坐标方程 4、(2008高考改编)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为 3sin =θρ，θρsin 4=， )20,0(πθρ<≤≥，则曲线1C 与2C 交点的极坐标________________ 5、(2012年高考安徽)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6 R π θρ= ∈的距离是 _____ 6、已知点)0.0(),4 3, 2(),2 ,2(O B A π π 试判断ABO ?的形状 7、在极坐标系中，点)3 , 2(π 到圆θρcos 2=的圆心的距离为_______，切线长为_______ )2 3 , 2(πA 0sin 3cos =+θρθρ5)2 3, (πa (2)_____________ (1)___________ x O
浅谈极坐标及极坐标方程的应用
浅谈极坐标及极坐标方程的应用 摘要 极坐标法是一种重要的解题方法，虽然高中数学教材已经删去极坐标的内容，但这一思想和方法对解决平面几何问题和高等数学问题都有很重要的作用，有必要加以深入研究。 本文首先对极坐标的基础知识进行阐述，给出了极坐标的相关概念，以及求曲线极坐标方程的方法与步骤，并求出了三种圆锥曲线统一的极坐标方程，然后讨论了极坐标在平面解析几何中的应用，最后探讨了极坐标在解决高等数学问题的应用。通过对极坐标在数学各方面的应用的探讨，我们能够发现极坐标有很大的优越性。通过探讨研究，使我们对极坐标这一思想和方法有更深的了解，并使学生对高中平面几何内容有完整的把握，有更深层次的掌握。同时，这种对知识的深入掌握可以使教育者更好的完成对其的教学任务。 关键词：极坐标；应用；优越性 前言 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由滴应用极坐标去研究曲线。 在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标系表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变得极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比直角坐标系具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。 国内外研究动态，不仅在数学理论反面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。由此看来，极
椭圆的极坐标方程及其应用(供参考)
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的统一极坐标./. Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ρ＝ ep 1－e cos θ ，(***) 其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e＜1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示椭圆； 当e＝1时，方程(***)为ρ＝ p 1－cos θ ，表示抛物线； 当e＞1时，方程ρ＝ep 1－e cos θ 表示双曲线，其中ρ∈R. 已知A、B为椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为 原点)． 求证： 1 OA2＋ 1 OB2为定值． [再练一题] 1．本例条件不变，试求△AOB面积的最大值和最小值．
过双曲线x2 4－ y2 5＝1的右焦点，引倾斜角为 π 3的直线，交双曲 线于A、B两点，求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|. 2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝ 9 4－5cos θ ，求双曲线的实轴长、虚轴长 和准线方程． 已知抛物线y2＝4x的焦点为F.
(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角． [再练一题] 3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F 的距离和定直线l的距离的比等于常数1 2的点的轨迹的极坐标方程． 已知双曲线的极坐标方程为ρ＝ 3 1－2cos θ ，过极点作直线与它交于A，B 两点，且AB＝6，求直线AB的极坐标方程．
椭圆极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
微专题 极坐标方程的应用
极坐标 一、内容回顾 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ???? x ′＝λx ，λ>0， y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对 应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝ x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)． 3．常用简单曲线的极坐标方程
二、典型例题 题型一：平面直角坐标系中图象的变换 1.在同一平面直角坐标系中， （1）求 x 2＋y 2＝1 在变换φ：? ??='='y y x x 32的作用下，得到的曲线方程 【解析】 由题意可得：??? ? ?? ?'=' =3 2 y y x x ，代入x 2＋y 2＝1，即13222=??? ??'+??? ??'y x ， 则所得新曲线方程为19 42 2 =+y x ； （2）曲线C 在变换φ：???='='y y x x 32的作用下得到椭圆x 29＋y 2 4＝1.求此曲线C 方程 【解析】 由题意可知：将???='='y y x x 32，代入x 29＋y 2 4＝1，即 149942 2=+y x ，
全参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ） 即 y f （t ） ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条 曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程 总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数， 的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos
4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角） ，中心在 （x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用 表示线段OM的长度， 表示从OX到OM 的角度， 叫点M的极径， 叫点M的极角，有序数对 ，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ，．若点M在极点，则其极坐标为 =0， 可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表 示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加
后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定 或，那么除极点外，平 面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这 两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条 件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程：
3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用4.1极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M 的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。 4.4以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标
圆锥曲线的极坐标方程及应用
圆锥曲线的极坐标方程及应用 圆锥曲线的统一极坐标?/? Q SZQZSQ S ,,,,,SD ZZXZZ 方程 ep 尸 1—eoR ( 其中P 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距. 当Ov ev 1时，方程尸1—COSI 表示椭圆; 当e = 1时，方程(***)为p= —P —-，表示抛物线; 1 — cos 0 当e > 1时，方程P 「竟表示双曲线，其中p€ R . I — ecos 0 2 2 已知A 、B 为椭圆予+ *= 1(a > b > 0)上两点， OA 丄OB(O 为 原点). ［再练一题］ 1. 本例条件不变，试求△ AOB 面积的最大值和最小值. ?例 1 1 求证：OA 2+OB 2为定值. ■2 +
2 2 过双曲线J-￥ = 1的右焦点，引倾斜角为扌的直线，交双曲线于A、B两点，求AB. 应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点（极点）的弦长非常方便.椭圆和抛物线中，该弦长都表示为p+ P,而双曲线中，弦长的一般形式是|p+ p|.
(1) 以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2) 过F 作直线I 交抛物线于A , B 两点，若AB = 16,运用抛物线的极坐标 方程，求直线I 的倾斜角. 3 p= 1—2C0SV 过极点作直线与它交于A ，B 两点，且AB = 6,求直线AB 的极坐标方程. ［再练一题］ 3.平面直角坐标系中，有一定点 F(2,0)和一条定直线I : x = — 2.求与定点F 的距离和定直线I 的距离的比等于常数 1 2的点的轨迹的极坐标方程. 已知双曲线的极坐标方程为
极坐标及极坐标方程的应用精编版
极坐标及极坐标方程的 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一。但若限定或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三
种圆锥曲线统一的极坐标方程： 3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用 4.1极坐标法求到定点的线段长度 解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 4.2以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 4.3以原点为极点
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？ 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？ 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
极坐标方程及其应用
考点一 极坐标方程及其应用 例题（2015·山西四校联考）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程??? x ＝1＋cos φy ＝sin φ (φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ① 求圆C 的极坐标方程； ②直线l 的极坐标方程是2ρsin ? ?? ??θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【审题立意】本题考查极坐标方程，属于中档题． 【技能突破】求解极坐标方程的题应注意两点： (1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形． (2)已知两曲线的极坐标方程求交点时，可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点，再化为极坐标． 【解题思路】把直角坐标方程化为极坐标，注意化简，联立求交点坐标． 【参考答案】①圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． ② 设P (ρ1，θ1)，则由????? ρ＝2cos θθ＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3． 设Q (ρ2，θ2)，则由????? ρ(sin θ＋3cos θ)＝33θ＝π3 ，解得ρ2＝3，θ2＝π3． 所以|PQ |＝2． 【变式训练】 (2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x － 1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求 △C 2MN 的面积． 解析: (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0． (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝2．故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2．
从椭圆的标准方程推出椭圆在极坐标下的方程
)1()(,其中cos 1cos 1cos 0 又0 cos 且0cos 0 cos 或cos ) cos )(cos ()cos () cos (22cos 2) cos (2)cos (cos 2cos 2) cos (2)cos (4cos 4cos 2.的一元二次方程是一个关于0cos 2)cos (0 cos cos 1 cos 01 cos 10 且0cos 2)cos (0 cos 2)cos )((0 cos 2)cos cos (0 cos 2))cos 1(cos (0 )(cos 2)sin cos (0 )(cos 2)sin cos (0 sin cos 2cos 1sin )cos (代入上式得： ,sin ,cos 在极坐标系下，1）（成 个单位长度，方程则变轴负方向移动将椭圆向标系原点的距离。是椭圆的焦点距直角坐),0(:其中有程。上的点的坐标满足的方在直角坐标系下各椭圆椭圆的标准方程是椭圆; ）0（1轴的椭圆的标准方程：焦点在222 222222222 22 222222222222222222224 222242242222222222222 2222422222422222242222222422222222222222222222222222222222222222222222 2222222 22e a a c a a a a c a a a b a a b p a c e e p a c a b c a b r r c a c a c a c a b r c a b r c a c a c a b c a a b cb c a c a c b cb c a b c a b c cb r r b r cb c a r c a c a c a b a b c a b r cb c a r b r cb b a a r b r cb a a b r b r cb a b r c a b r cb a b r b a c b r cb r a r b b a r a c b r cb r b b r a c r r y r x b y a c x c x c c c a b b a b y a x x -=-=-?=?===+=+=+=∴≥>->+∴>>--=+=∴+--±=-±-=--+±-=--+±-=∴=-+-∴>-∴>∴≤≤∴≤≤->∴>>=-=-+-=-+--=-+-+=-+-+=--++=-+++=-+++=++===++>-=>>=+θθθθθθ θθθθθθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
历年高考极坐标
坐标系与参数方程专题复习 一 基础知识回顾： 1 极坐标与直角坐标的互化：极点的直角坐标系的坐标原点重合，极轴和轴的正半轴重合，则有 2椭圆的参数方程 椭圆1b y a x 22 22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(. bsin y ,acos x 为参数??????==. 3双曲线的参数方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程可表示为)(, tan ,sec 为参数??????==b y a x 4抛物线2px y 2 =的参数方程可表示 （1）)(tan 2tan 22为参数ααα??? ??? ? ==p y p x 不包括顶点.α为抛物线上的点和原点连线的倾斜角. （2）)t (. 2pt y ,2pt x 2为参数???==.表求抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的负倒数. 5.经过点),(000y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ?? ?+=+=α α 由0e t M =参数的几何意义： 因为)sin ,(cos αα=，所以1||=，由0e t M =，得到.||||0t M =， 由此，直线上的动点M 到定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值. 当πα<<0时，0sin >α，所以直线的方向向量总是向上的，此时，若,0>t 则M M 0方向向上，若,0圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。 今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又 设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而 θ ρρ cos += = p DP OP e ，即θρcos 1e ep -= 椭圆（双曲线）的焦参数c b p 2 =（极和极线的距离） 椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -= （如右图） 其中02 >=c b p 是定点F 到定直线的距离， 当10<e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。 引论:（1）若θρcos 1e ep += 当10<e 时，方程表示极点在左焦点 的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。 （2）若θρsin 1e ep -= 10<e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲 线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。 （3）1sin ep e ρθ= + 当10<e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。 整体对比： θ ρcos 1e ep -= θ ρcos 1e ep += θ ρsin 1e ep -= θ ρsin 1e ep +=
椭圆的极坐标方程及其应用 (2)
. 椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
4.2.2 第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用
第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程． 3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一． [基础·初探] 圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝θ)，(***) 其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e＜1时，方程ρ＝θ)表示椭圆； 当e＝1时，方程(***)为ρ＝θ)，表示抛物线； 当e＞1时，方程ρ＝θ)表示双曲线，其中ρ∈R. [思考·探究] 1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？ 【提示】应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝θ)的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝θ)，则e＝，表示椭圆． 2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？ 【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑：
疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 疑问4： 解惑： 已知A、B为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上两点，⊥(O为原点)．求证：＋为定值． 【自主解答】以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x＝ρθ，y＝ρθ，代入＋＝1中得＝＋.设A(ρ1，α)，＋＝＋＝＋(为定值)．[再练一题] 1．本例条件不变，试求△面积的最大值和最小值． 【解】由例题解析得，S△＝ρ1ρ2， 而ρ1＝， ρ2＝， ∴S△＝· ＝· ＝ ∴当2α＝1时，(S△)＝； ∴当2α＝时，(S△)＝. 过双曲线－＝1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，求. 【思路探究】求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求.
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的应 用 Newly compiled on November 23, 2020
极坐标及极坐标方程的应用 1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用表示线段OM 的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加 后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极
坐标不唯一。但若限定或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程： 3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用 极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。
极坐标及极坐标方程的应用
极坐标及极坐标方程的 应用 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
极坐标及极坐标方程的应用 1.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任意一点M，用表示线段OM 的长度，表示从OX到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对，就叫点M的极坐标。这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M，．若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值。 如图1-2，此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1) (2)同理，与，也是同一个点的坐标。又由于一个角加 后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极
坐标不唯一。但若限定或，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.在极坐标系中，曲线可以用含有，这两个变数的方程来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程。求曲线的极坐标方程的方法与步骤： 1°建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为， 2°写出适合条件的点M的集合； 3°列方程， 4°化简所得方程； 5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。三种圆锥曲线统一的极坐标方程： 3.极坐标和直角坐标的互化 4.极坐标在平面解析几何中的应用 极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时，可以考虑利用极坐标法求解。但是绝大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的，在求解过程中运算繁琐复杂，将此类问题转化为用极坐标方程求解，十分简洁，收到良好的效果。巧设极点，建立极坐标系是解决问题的关键。 以定点为极点 如果题设条件与结论中，涉及到过某定点M的线段长度问题，应该取该点为极点，先将直角坐标原点移动到M点，施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式，化普通方程为极坐标方程求解。 以原点为极点 如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时，应选取原点为极点，应用互化公式，将直角坐标方程转化极坐标方程求解。以焦点为极点 凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题，应选取焦点为极点(椭圆左焦点，双曲线右焦点)，应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。
极坐标方程
1 10.2 Graphs of Polar Equations Review 1. Graph each equation in the Polar Grid : a. 3r = b. 3 π θ= Exercise 1 Graph 5cos r θ=-. 2. Graph each point on the r θ-plane. a. 5(2, )12P π- b. 4(3, )3Q π- c. 13(1.5, )2 R π d. ( 4.2, 4.6)S -
2 Example 2 Transform the polar equation 7csc r θ= to rectangular form and then graph. Symmetries Tests for Symmetry in Polar Graphs If an equation is equivalent to the one formed by making the given substitutions, then its graph has the indicated symmetry: Replace r by r - or θ by πθ+ Symmetry with respect to the Replace θ by θ- Symmetry with respect to the Replace θ by πθ- or (,)r θ by (,)r θ-- Symmetry with respect to the line θ= Example 3 Use the tests for symmetry to identify the kind of symmetry possessed by the graph of the following equations. a. 510cos r θ=+ b. 24sin r θ=- Exercise 3 1. 3cos 2r θ= 2. sin 2r θ=- 3. 3r =- 4. 712πθ= 5. 2 4cos 2r θ= 6. 11sin r θ =-
椭圆极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用 X y2 如图，倾斜角为且过椭圆C：r 2 1(a b 0)的右焦点F2的直线I交椭圆C于P,Q两点，椭圆 a b C的离心率为e,焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ，并证明：1—为定值 2 2 例2. (07年全国I)已知椭圆 - y 1的左、右焦点分别为￡ , F2 ?过F,的直线交椭圆于B, D两点, 3 2 过F2的直线交椭圆于A, C两点，且AC BD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值. 2 练习2. (05年全国 n) P、Q、M、N四点都在椭圆X2— 2 改为：抛物线y2 2 px( p 0)呢? 例1.( 10年全国n)已知椭圆 直线与C相交于代B两点?若 C:^ 练习1. (10年辽宁理科)设椭圆 A, B两点，直线I的倾斜角为60°, 1(a b 求k。 0)的离心率为3，过右焦点F且斜率为k(k 2 0)的 PF与FQ共线,MF与FN线，且PF MF 0?求四边形PMQN的面积的最小值和最大值 2 y_ b2 AF 2FB,1(a 求椭圆C的离心率; 0)的右焦点为 例3. ( 07年重庆理)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 (I)求椭圆的方程； (n)在椭圆上任取三个不同点P,P2, F3，使R FP? F(3,0)，右准线I的方程为x 12. P2FP3P3FP1，证明： 1 |FP1 | 1 |FP21 1 |FP3| 为定值，并求此定值 1 上, F为椭圆在y轴正半轴上的焦点?已知
2 推广：已知椭圆冷 a 1(a b 0), F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点R,P2, ,P n,若 PFP2 P.FP3 P n 1FP n 练习3. ( 08年福建理 科) 如图，椭圆 n1 P n FP i ,则 i i | PF i | x2y2. -r 1(a b a b —，你能证明吗? ep 0)的一个焦点是F( 1，0)，O为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； 2 2 2 (n)设过点F的直线I交椭圆于A、B两点若直线I绕点F任意转动，值有OA OB AB，求a的取值范围. 作业3. ( 15年四市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆 2 2 笃爲1(a b 0)上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点日(1,0)和右焦点F2(1,0)，且 a b AC BD，椭圆的一条准线方程为x 4 (1)求椭圆方程； (2)求四边形ABCD面积的取值范围。 作业1. (08年宁夏文)过椭圆1的右焦点作一条斜率 为 2的直线与椭圆交于A, B两点，O为坐 标原点，则厶OAB的面积为 作业2. (09年全国I)已知椭圆 2 X 2 C : —y 2 1的右焦点为F右准线|，点A l，线段AF交C于点B。若 F A d 1 - ■■■ B \>1 A \ 「k巧° -a- - * \ X / 练习4. ( 08年安徽文)已知椭圆 (I)求椭圆C的方程； (n)已知过点日(-2,0)倾斜角为 2 2 x y C: 2 21(a>b>0)，其相应于焦点F(2, 0)的准线方程为 a b 的直线交椭圆C于A, B两点.求证：I AB _ 2 ' 2 cos x=4. (川)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E, 求AB DE 的最小值. 作业5.已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF 3FB ，求弦AB的中点到准线的距 离
