D ．a >32
11．点P(－2，－4)与点Q(6，－4)的位置关系是(C) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于直线x ＝2对称
D ．关于直线y ＝2对称
12．(福州中考)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(B )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
13．已知点A(－1，－2)，B(1，3)，将点A 向上平移5个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．
(1)请画出△ABC和△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)若将点B向上平移h个单位长度，使其落在△A1B1C1的内部，指出h的取值范围．
解：(1)所作图形如图所示．A1(－3，3)，B1(－2，1)，C1(－1，3)．
(2)由图可得2＜h＜4.
15．(铜陵期末)如图，在平面直角坐标系中，A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点的坐标(直接写答案)：A1(3，2)；B1(4，－3)；C1(1，－1)；
(3)△A1B1C1的面积为6.5；
(4)在y轴上画出点P，使PB＋PC最小．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(4)如图所示，P点即为所求．
在直线l，l上分别求分别作点P关于两直
)
15．2 线段的垂直平分线
01 基础题
知识点1 用尺规作线段的垂直平分线
1．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是(C)
2．如图，一张纸上有线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
解：(1)如图．
(2)对折，使得点A 与点B 重合，则折痕所在的直线为线段AB 的垂直平分线．
知识点2 线段垂直平分线的性质
3．(合肥包河区期末)如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2AB 的长为半径画弧，两弧相交于
M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.如果AD ＝5，CD ＝2，那么BC ＝(D)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．7
第3题图 第4题图
4．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是(C) A ．AB ＝AD B ．AC 平分∠BCD C ．AB ＝BD D ．BE ＝DE
5．(黄山月考改编)如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D.若AB ＝6，△ABD 的周长为15，则AC ＝9．
6．如图，AD ⊥BC ，BD ＝CD ，点C 在AE 的垂直平分线上．若AB ＝5 cm ，BD ＝3 cm ，求BE 的长．
解：∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ， ∴AB ＝AC.
∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC ＝CE. ∴CE ＝AB.
∵AB ＝5 cm ，BD ＝3 cm ， ∴CE ＝5 cm ，CD ＝3 cm .
∴BE ＝BD ＋DC ＋CE ＝11 cm .
知识点3 线段垂直平分线的判定
7．在锐角△ABC 内一点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 是△ABC(D) A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点
D ．三边垂直平分线的交点
8．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，并且DE ＝DF ，连接AD ，EF.求证：AD 垂直平分EF.
证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠AED ＝∠AFD ＝90°. 在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，
??
?AD ＝AD ，
DE ＝DF ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ADF(HL )． ∴AE ＝AF.
∴点A ，D 在线段EF 的垂直平分线上，即AD 垂直平分EF.
知识点4 线段垂直平分线的应用
9．(教材P130练习T1变式)为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村，B 村，C 村的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示．
02 中档题
10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则AD 与BC 的大小关系是(A )
A ．AD ＞BC
B ．AD ＝B
C C ．A
D ＜BC D ．无法比较 11．(本课时T5变式)如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线D
E 交边BC 于点D ，交边AB 于点E.若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为6．
第11题图 第12题图
12．如图，在△ABC 中，边AB ，BC 的垂直平分线交于点P ，且AP ＝5，那么PC ＝5． 13．(安庆期末)已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝90°，则∠CAD ＝110°或20°．
14．如图所示，点P 在线段AB 的垂直平分线上，PC ⊥PA ，PD ⊥PB ，AC ＝BD.求证：点P 在线段CD 的垂直平分线上．
证明：∵点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴PA ＝PB.
∵PC ⊥PA ，PD ⊥PB ， ∴∠APC ＝∠BPD ＝90°. 在Rt △APC 和Rt △BPD 中，
??
?AC ＝BD ，
PA ＝PB ，
∴PC＝PD.
∴点P在线段CD的垂直平分线上．
03综合题
15．如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.
(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王云同学的判断吗？请说明理由；
(2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
解：(1)王云同学的判断是正确的．
理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，
∴点C在BD的垂直平分线上．
∴AC为BD的垂直平分线．
∴BE＝DE，AC⊥BD.
(2)由(1)得AC⊥BD.
∴S四边形ABCD＝S△CBD＋S△ABD＝1
2BD·CE＋
1
2BD·AE＝
1
2BD·AC＝
1
2ab.
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为(A)
A．10°
B．15°
C．40°
D．50°
15．3等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
01基础题
知识点1等边对等角
1．(教材P133练习T1(1)变式)等腰直角三角形的一个底角的度数是(B)
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(D)
A．70°B．55°C．50°D．40°
第2题图第3题图
3．(新疆中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为(B)
A．85°B．75°C．60°D．30°
4．(江西中考)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75°．
图1图2
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠ADE的度数．
解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，
∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL)．
∴∠DAE＝∠BAD＝28°.
∴∠ADE ＝12(180°－∠DAE)＝1
2
×(180°－28°)＝76°.
知识点2 等腰三角形的“三线合一”
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，∠BAD ＝20°，则∠C ＝70°.
第7题图 第9题图
8．在△ABC 中，AB ＝AC.
(1)若AD 平分∠BAC ，则∠BDA ＝90°，BD ＝CD ； (2)若BD ＝CD ，则AD 平分∠BAC ，∠ADC ＝90°； (3)若AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ．
9．(教材P134练习T3变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，以下结论中错误的是(B) A ．△ABD ≌△ACD B ．∠B ＝∠BAD C ．D 为BC 的中点
D ．AD 是△ABC 的角平分线
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．求证：BE ＝CE.
证明：∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC.
∴AD 垂直平分BC. ∴BE ＝CE.
11．(北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.
证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠C.
又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC. ∵BE ⊥AC ，
∴∠C ＋∠CBE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝90°. ∴∠CBE ＝∠BAD.
易错点 未分类讨论致错
12．(教材P 134练习T 1(3)变式)一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为80°，20°或50°，50°．
13．等腰三角形的边长分别是4和5，则该等腰三角形的周长为13或14．
02 中档题
14．(台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC.若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是(C )
A ．AE ＝EC
B ．AE ＝BE
C ．∠EBC ＝∠BAC
D .∠EBC ＝∠ABE
第14题图 第15题图
15．【方程思想】如图，AB ∥CD ，BE 垂直平分AD ，DC ＝BC.若∠A ＝70°，则∠C ＝(A ) A ．100° B ．110° C ．115° D ．120° 16．(绵阳中考)如图，AC ，BD 相交于点O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD ＝75°．
第16题图 第17题图
17．(教材P136练习T3变式)在如图所示的钢架中，焊上等长的钢条P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，P 4P 5来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2，∠P 3P 2P 4＝54°，则∠A 的度数是18°．
18．(教材P140习题T11变式)已知：如图，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，AF ⊥CD .求证：点F 是CD 的中点．
证明：连接AC ，AD ， 在△ABC 和△AED 中，
???AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，
∴△ABC ≌△AED (SAS)．
∵AF ⊥CD ，
∴CF ＝FD (等腰三角形三线合一)． ∴点F 是CD 的中点．
19．(阜阳联考期末)如图，△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD ＝CE ，连接DE 交底BC 于点G.求证：GD ＝GE.
证明：过点E 作EF ∥AB 交BC 延长线于点F. ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB. ∵EF ∥AB ， ∴∠F ＝∠B.
∵∠ACB ＝∠FCE ， ∴∠F ＝∠FCE. ∴CE ＝EF.
∵BD ＝CE ，∴BD ＝EF.
在△DBG 和△EFG 中，???∠DGB ＝∠EGF ，
∠B ＝∠F ，BD ＝FE ，
∴△DBG ≌△EFG(AAS )． ∴GD ＝GE.
03 综合题
20．如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O.
(1)求证：AD ＝AE ；
(2)连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的位置关系并说明理由．
解：(1)证明：在△ACD 和△ABE 中，
∵∠CAD ＝∠BAE ，∠ADC ＝∠AEB ＝90°，AC ＝AB ， ∴△ACD ≌△ABE(AAS )． ∴AD ＝AE.
(2)OA ⊥BC.理由：
在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线．
又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.
21．【方程思想】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(B)
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
第2课时等边三角形的性质
01基础题
知识点等边三角形的性质
1．如图所示，已知△ABC是等边三角形．根据图形填空：
(1)边的关系：AB＝BC＝AC；
(2)角的关系：∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°；
(3)若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°；
(4)若AE＝EC，则BE⊥AC，∠CBE＝∠ABE＝30°；
(5)若∠ACF＝∠BCF，则CF⊥AB，AF＝BF；
(6)等边三角形是轴对称图形，它的对称轴是各边的垂直平分线，它有3条对称轴．
第1题图第2题图
2．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)
A．100°B．80°C．60°D．40°
3．(蚌埠期末)如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为(D)
A．30°B．20°C．25°D．15°
第3题图第4题图
4．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．
5．(湘潭中考)如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°．
第5题图第6题图
6．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝40°，则∠β＝20°．
7．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中，
???AE ＝CD ，
∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，
∴△BAE ≌△ACD(SAS )． ∴BE ＝AD.
02 中档题
8．(福建中考)如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于(A )
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
第8题图 第9题图
9．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝(C) A ．30° B ．20° C ．15° D ．100°
10．如图，△ABC 是等边三角形，BC ＝BD ，∠BAD ＝20°，则∠BCD 的度数为50°．
第10题图 第11题图
11．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD ＝AE ，AD 与CE 相交于点F ，则∠DFC ＝60度．
12．如图，等边△ABC 中，点D 为AC 边的中点，过点C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE.求证：∠CAE ＝∠ABD.
证明：∵△ABC 是等边三角形，D 为AC 边的中点， ∴BD ⊥AC.
∴∠BDA ＝90°. ∵AE ⊥CE ，
∴∠E ＝∠BDA ＝90°. ∵CE ∥AB ，
∴90°－∠ACE ＝90°－∠BAD ， 即∠CAE ＝∠ABD.
03 综合题
13．在△ABC 中，AB ＝AC ，在△ABC 的外部作等边△ACD ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接BD.
(1)如图1，若∠BAC ＝100°，求∠BDF 的度数；
(2)如图2，∠ACB 的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN.
①补全图2；
②若BN ＝DN ，求证：∠MNB ＝∠MBN.
解：(1)在等边△ACD 中，∠CAD ＝∠ADC ＝60°，AD ＝AC ＝DC. ∵E 为AC 的中点，∴∠ADE ＝1
2∠ADC ＝30°.
∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB.
∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝160°， ∴∠ADB ＝∠ABD ＝10°.
∴∠BDF ＝∠ADF －∠ADB ＝20°. (2)①补全图形，如图．
②证明：连接AN.
∵CM 平分∠ACB ，∴设∠ACM ＝∠BCM ＝α. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α. 在等边△ACD 中，
∵E 为AC 的中点，∴DN ⊥AC. ∴NA ＝NC.
∴∠NAC ＝∠NCA ＝α. ∴∠DAN ＝60°＋α.
在△ABN 和△ADN 中，???AB ＝AD ，
BN ＝DN ，AN ＝AN ，
∴△ABN ≌△ADN(SSS )．
∴∠ABN ＝∠ADN ＝30°，∠BAN ＝∠DAN ＝60°＋α. ∴∠BAC ＝∠BAN ＋∠NAC ＝60°＋2α.
在△ABC 中，∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°， ∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°. ∴α＝20°.
∴∠NBC ＝∠ABC －∠ABN ＝10°.
∴∠MNB＝∠MBN.
14．(教材P140习题T10变式)如图，在等边△ABC中，点D，E为线段BC，AC上动点且BD＝CE，连接AD，BE相交于点F，连接CF，下面结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB＝120°；③若BD＝CD，则F A＝FB＝FC；④若∠AFC＝90°，则AF＝3BF.其中结论正确的有(C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
