学案6空间向量及运算

课题：空间向量及其运算

BGST 运用 【最新考纲】

了解空间向量的概念；掌握空间向量的线性运算；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 【考纲解读】

重点：能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直

难点：掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积、坐标表示．

课前预习学案

【基础自查】

1．共线向量、共面向量定理和空间向量分解定理

(1)共线向量定理：两个空间向量a ，b (0b ≠ )，a //b

的充要条件是存在唯一的实数x ，使 .

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b

共面的充要

条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a

＋y b . (3)空间向量分解定理

如果三个向量a ，b ，c

不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实

数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c

.

由上述定理可知，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底． 2．空间向量的数量积及运算 (1)数量积及相关概念

①两向量的夹角：规定0≤〈a ，b

〉≤π，

②向量的数量积：已知向量a ，b ，a ·b

＝ ． (3)空间向量数量积的运算律

①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ (结合律)．②a ·b

＝ (交换律)．

③a

·(b ＋c )＝ (分配律)．

3．空间向量的坐标表示及运算：设a

＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)

(1)坐标运算：123(,,)a a a a λλλλ=

(R λ∈)，a b ＝ ，a b ± ＝____________．

(2)共线与垂直的坐标表示：a //b

?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥b

?

(3)模、夹角和距离公式：|a

|＝ ，|b |＝ .

cos 〈a ，b

〉＝_____________＝ .

班级_______姓名_________

课堂探究案

考向一 空间向量的线性运算

【例1】 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c

，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，

C 1

D 1的中点，试用a ，b ，c

表示以下各向量； (1) AP →；(2) A 1N →；(3) MP →＋NC 1→.

考向二 空间向量数量积的应用

【例2】 如右图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证A 1、G 、C 三点共线；(2)试证A 1C ⊥平面BC 1D ； (3)求点C 到平面BC 1D 的距离．

考向三 空间向量坐标及坐标运算

【例3】 设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b ,3a

－2b ，a ·b 以

及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa

＋μb 与z 轴垂直．

巩固练习

一、选择题

1．以下四个命题中正确的是 （ ）

A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B ．若{a ,b ,c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b

，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底

C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →

＝0

D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c

三向量

共面，则实数λ等于 （ ）

A.627

B.637

C.607

D.657 二、填空题

3．下列命题中，正确的命题个数为________．

①AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；③若a

与b 共面，则a 与b

所在的直线在同一平面内；④若OP →＝12OA →＋13

OB →，则P 、A 、B 三

点共线． 4．空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC

所成角的余弦值等于________． 三、解答题

5．已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z)，a //b

，b ⊥c ，

求：(1) a ，b ，c ；(2)( a ＋c

)与(b ＋c )夹角的余弦值．

选做题

1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12

MC 1→

，N 为B 1B 的中点，则

|MN →

|为 （ ）

A.

216 a B.66a C.156 a D.153

a

2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________． ①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12

OC →；

③MA →＋MB →＋MC →＝0 ；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 ； 3．如右图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC

的重心，试证：(1) OA →＋OB →＋OC →＝0 ；(2) SO →＝13

(SA →＋SB →＋SC →

)．

4. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：

(1)? (2) ? (3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．

《空间向量及其运算》定时训练

班级_______姓名_________ 1．下列命题：

①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0

；

②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b

共线的充要条件；

③若a 、b 共线，则a 与b

所在直线平行；

④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →

(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4

2．如右图，在四面体P －ABC 中，G 为△ABC 的重心，且PA →＝a ， PB →＝b ，PC →＝

c ，则PG →＝______(用a ，b ，c

表示)．

3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x)，c ＝(1，－x,2)．若(a ＋b )⊥c ，

则x ＝________.

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

学案37 空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，

空间向量高中数学教案课程

空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算 预习课本P84～85，思考并完成以下问题 1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？ [新知初探] 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示法：????? ①几何表示法：空间向量用有向线段表示. ②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也 可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |. 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |＝1或|AB |＝1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 －a

相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法OB＝OA＋AB＝a＋b 加法Z CA＝OA－OC＝a－b 运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同() (2)零向量没有方向() (3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致() 答案：(1)√(2)×(3)√ 2．化简PM－PN＋MN所得的结果是() A．PM B．NP C．0 D．MN 答案：C 3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 答案：A 4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． 答案：球面 空间向量的概念辨析 [典例] A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC [解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

空间向量及其线性运算(教案)

课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，

高考数学一轮复习(北师大版理科)：第7章立体几何第6节空间向量及其运算学案

第六节空间向量及其运算 [考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． (对应学生用书第120页) [基础知识填充] 1．空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理：空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在实数λ，使 得a＝λb. (2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量．a是空间任 一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)如图7-6-1所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 图7-6-1 A ．－12a ＋1 2b ＋c B ．12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D ．12a －1 2 b ＋ c A [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB → )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12 b ＋ c .] 3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥d C ．c 不平行于d ，c 也不垂直于d D ．以上三种情况均有可能 B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] 4．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 2 6 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2 ＋22 ＋22 ＝2 6.]

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

空间向量及其运算和空间位置关系 练习题

空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理

(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案

欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．

空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2 121 C ．c b a +-2121 D ．c b a +--2 1 21 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0 B ． 2 π C ．π D ． 32 π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ， a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ． c b a 21 2132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 2 13232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?AD AB ，AD AC ， AC AB ，则BCD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 图

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ）

空间向量及其运算教案讲课教案

第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： 知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何 体加深对运算的理解。 过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探 究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运 算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。 教学重点：（1）空间向量的有关概念； （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义； （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 课堂类型：新授课 教学方法：研讨、探究、启发引导 教学用具：多媒体 教学过程： 一、创设情境 （老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长 方体中的过同一点的三条边上的向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）：这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量

板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。二、讲授新课 （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。 （一）复习回顾平面向量的基本概念 1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量； 2.画法：用有向线段画出来； 3.表示方式：或a（用小写的字母表示）； 4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的； 5.单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量； 6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量； 7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量； （二）空间向量的基本概念 （老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义， （学生）在空间中，既有大小又有方向的量 （老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生） （学生）回答向量概念、画法、.表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。 （老师）：得到空间向量的相关定义，我们做几个题巩固一下（见课件） （三）复习回顾平面向量的加减运算 （老师）：在数学中引入一种量以后，一个很自然的问题就是研究它们的运算，空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法，那么我们首先来复习回顾一下平面向量的加减运算。（课件） 复习回顾：（找学生回答） （学生）：1.平面向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为+； 几何意义：如图为+为平行四边形的对角线，或三角形ABO中边。口诀是首尾相连或相同起点。 2.减法法则：记为-； 几何意义：如图中-为平行四边形的对角线，方向指向被减向量。口诀是：减向量终点指向被减向量终点。 3平面向量运算律：