北师大版七年级数学(上册)知识点和关键习题

北师大版七年级数学上册知识点

前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。

第一章丰富的图形世界

备注：本单元两个易错点： 1、图形的展开与折叠 2、“三视图”判断图形个数

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、生活中的立体图形

圆柱

柱

生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……

(按名称分) 锥圆锥

棱锥

3、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

4、常见的几何体及其特点

长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形。

（正方形是特殊的长方形），正方体是特殊的长方体。

棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。

棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。

圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面），两个底面是半径相等的圆。

圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

圆锥：有一个底面和一个侧面（曲面）。侧面展开图是扇形，底面是圆。

球：由一个面（曲面）围成的几何体。

5、棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

6、正方体的平面展开图：11种

3—3型

总结规律：

一线不过四，田凹应弃之；

相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知。

7、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形

不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形

其他几何体的截面形状：

正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形

圆柱：圆、长方形、（正方形）、……

圆锥：圆、三角形、……

球：圆

8、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

第二章有理数及其运算

备注： 1*、数轴是新知识很多地方用到

2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主

要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学

思想）

3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。

1、有理数的分类

整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。

正有理数

整数

有理数零有限小数和无限循环小数或有理数

负有理数分数

2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.

②相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数。

3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数

轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该

数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

绝对值的有关性质

①对任意有理数a，都有|a|≥0；

②若|a|=0，则a=0；

③若|a|=|b|，则a=b或a=－b；

④若|a|=b（b>0），则a=±b；

⑤若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；

⑥对任意有理数a，都有|a|=|－a|.

6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负

数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的运算：

（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方

多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为

零，积就为零。

有理数加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同0相加，仍得这个数。

互为相反数的两个数相加和为0。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！

有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积仍为0。

有理数除法法则：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

注意：0不能作除数。

有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。

a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2则 a=0,b=0；

据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51；

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

乘方的运算性质：

①正数的任何次幂都是正数；

②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

③任何数的偶数次幂都是非负数；

④（除0以外任何数的0次方都得1） 1的任何次幂都得1，0的任何次幂（除0次）都得0；

⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；

⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

（2）有理数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。

（3）运算律

加法交换律 a b b a +=+

加法结合律 )()(c b a c b a ++=++

乘法交换律 ba ab =

乘法结合律 )()(bc a c ab =

乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)( 变形公式 ()ab ac a b c +=+

8、科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成 的形式，其中 ，n 是正整

数，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）

第三章 整式及其加减

备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的理解，其次是对同类项的理解和计算。

容易出错的地方大多在化简计算，有几点：

1、是化简计算过程中去括号变号。

2、化简求值中“整体思想”的运用。

3、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。

知识点

一、字母表示数

1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；

○1加法交换律a＋b＝b＋a加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c）

○2乘法交换律ab＝ba乘法结合律（ab）c＝a（bc）乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac

用字母表示计算公式：

○1长方形的周长2（a＋b）,面积ab （a、b分别为长、宽）○2正方形的周长4a，面积a2（a表示边长）

○3长方体的体积abc，表面积2ab＋2bc＋2ac（a、b、c分别为长、宽、高）

○4正方体的体积a3,表面积6a2（a表示棱长）

○5圆的周长2πr,面积πr2（r为半径）

1×ah（a表示底边长，h表示底边上的高）○6三角形的面积

2

2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。

4、注意书写格式的规范：

(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；

(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；

(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；

(4) 除法运算写成分数形式，分数线具“÷ ”号和“括号”的双重作用。

(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。

典型例题：

例题1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这

捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）米

A 、m n

B 、mn 5

C 、5m 5

D 、(5m n

－5) 例题2.用代数式表示“ 2a 与3的差”为（ ）

A ．2a －3

B ．3－2a

C ．2（a －3）

D ．2（3－a ）

例题3.如图1―3―1，轴上点A 所表示的是实数a ，则到原点的距离是（ ）

A 、a

B ．－a

C ．±a D．－|a|

例题4.已知a=120 x+20， b=120 x+19，c=120

x+21，那么代数式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ac 的值为（ ）

A 、4

B 、3

C 、2

D 、1

练习：

1、温度由t ℃下降3℃后是_____________℃.

2、 飞机每小时飞行a 千米，火车每小时行驶b 千米，飞机的速度是火车速度的_______倍.

3、无论a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ）

A. 、

11-a B.a 1 C. 121-a D. 1

21-a

4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a ，排数比每排同学数

的3倍还多2，那么全班同学数为（ ）

A. 23·+a a

B. )23(+a a

C. 23++a a

D. )2(3+a a

5、轮船在A 、B 两地间航行，水流速度为m 千米／时，船在静水中

的速度为n 千米／时，则轮船逆流航行的速度为__________千米／时

6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x 元的商品，甲超

市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（ ）

（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙或丙

7、下列说法中：①a -一定是负数；②||a 一定是正数；③若0>abc ，

则c b a 、、三个有理数中负因数的个数是0或2，其中正确的序号是

8、设三个连续整数的中间一个数是n ,则它们三个数的和是

9、设三个连续奇数的中间一个数是x ,则它们三个数的和是

10、设n 为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被5整除的数为 ；被4除余3的数为

二、代数式

1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。如： n-2 、 0.8a 、2n +500、abc 、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不

是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；

③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问

题的要符合实际问题的意义。

※代数式的书写格式：

①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ；

②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ；

③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如a ?312应写作a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；

⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作4

4-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米。

例：下列不是代数式的是（ ）

0.A .s B t

1.C x = 20.1.D x y - 2、单项式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一

个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。

注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；

2.单独一个非零数的次数是0；

3. 书写时，当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，ab 的系数是1。

4.π是数字，不是字母。

例：2ab 的系数是 ；如2x -的系数是 ；如212

x π-的系数是 ；

3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫

做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。

例：代数式251x y x x -+--有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是

4、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。

练习：

1、 某商品售价为a 元，打八折后又降价20元，则现价为_____元

2、橘子每千克a 元，买10kg 以上可享受九折优惠，则买20千克应付_________元钱.

3、如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴，……图n 需____根火柴。

（图1） （图2） （图n ）

4、温度由t ℃下降3℃后是_____________℃.

5、飞机每小时飞行a 千米，火车每小时行驶b 千米，飞机的速度是火车速度的_______倍.

6、无论a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ） A. 11-a B.a 1 C. 121-a D. 1

21-a 7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a ，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数为（ ）

A. 23·+a a

B. )23(+a a

C. 23++a a

D. )2(3+a a

8、填空23

x y -的系数为_______，次数为_______：232a b +的次数为______ ；2ab 的系数是 ；2x - 的系数是 ；212

x π-的系数

是 ；代数式251x y x x -+--有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是

9、下列不是代数式的是（ ）

0.A .s B t

1.C x = 20.1.D x y - 三、合并同类项

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。

②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；

③几个常数项也是同类项。

如：100a 和200a ，240b 和60b ，-2ab 和10ba

2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 合并同类项法则：

（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；

（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.

（3）不同种的同类项间，用“+”号连接

（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄

如：合并同类项3x 2y 和5x 2

y ，字母x 、y 及x 、y 的指数都不变，?只要将它们的系数3和5相加，即3x 2y+5x 2y=（3+5）x 2y=8x 2y ．

3．合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加

法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则，把同

类项的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果

4. 注意: （1）不是同类项不能合并（2） 求代数式的值时,如

果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.

例1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：

（1）23a 2b 和-5

7a 2 b （2）2m 2 np 和 -pm 2n (3) 0和-1

例2. 下列各组中：①xy y x 5

152与；②22515yx y x 与-；③22515yx ax 与；④338x 与；⑤2x -与212x π；⑥23x 与x ⑦2

3x 与2，同类项有 （填序号）

例3. 如果13x k y 与—13x 2y 是同类项，则k=______，13x k y+（-13

x 2y ）=________． 例4．直接写出下列各式的结果：

（1）-

12xy+12xy=_______；（2）7a 2b+2a 2b=________；（3）-x-3x+2x=_______； （4）x 2y-12x 2y-13

x 2y=_______； （5）3xy 2-7xy 2=________． 例5．合并下列多项式中的同类项．

（1）4x 2y-8xy 2+7-4x 2y+10xy 2-4； （2）a 2-2ab+b 2+a 2+2ab+b 2

．

（3）223561x x x +-- （4）222226245xy x x y yx x -+-+

例6.若0,0x y ≠≠，22102xy axy +=，则a = 练习：

1、单项式22b a x 与y b a 3-是同类项，则x = ，y =

2、下列各组中：①xy y x 5152与；②22515yx y x 与-；③22515yx ax 与；

④338x 与；⑤2x -与212x π；⑥23x 与x ⑦23x 与2，同类项有 （填序号）

3、合并同类项：①223561x x x +-- ②222226245xy x x y yx x -+-+

4、若0,0x y ≠≠，22102

xy axy +=，则a = 四、去括号法则

1、 根据去括号法则去括号：

（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。

（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都要改变符号。

2、 根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号：若括号前有因

式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。

3、 多重括号的化简原则：

（1）由里向外逐层去掉括号

（2）由外向里逐层去掉括号

注意：

1、添括号法则

添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。

2、整式的运算：

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

例1、一个两位数，十位数字是x ，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数是

例2、去括号，合并同类项

（1）－3（2s －5）+6s (2)3x －[5x －（12x

－4）]

（3）6a 2－4ab －4(2a 2+ 12ab) （4）)6(4)2(322-++--xy x xy x

（5） ()()x y x y +-- （6）2()3()2m n m x x ---+

（7）

)35(13222x x x x +--+- （8）)2

1(4)3212(22+--+-a a a a （9）)2(2)35(b a b a a ----+ （10）m n mn nm n m 22226

12131+--

练习：

1、化简：① ()()x y x y +-- ②2()3()2m n m x x ---+

2、一个两位数，十位数字是x ，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数是

3、化简：(1))35(13222x x x x +--+- (2))2

1(4)3212(22+--+-a a a a (3))

2(2)35(b a b a a ----+ (4)

m n mn nm n m 2222612131+--

五、代数式求值——先化简，再求值 代数式求值：

1、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。

2、求代数式的值时应注意以下问题:

（1）严格按求值的步骤和格式去做．

（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若

有多个字母，?代入时要注意对应关系，千万不能混淆．

（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变

（4）字母取负数代入时要添括号

（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号

例1 当x=13，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x 2-2y 2

+1； （2）2()

1x y xy --

例2 当2x =-时，求代数式5(41)x x --的值

例3 已知b a ，互为倒数，n m ，互为相反数，求代数式2(223)m n ab -+-的值

例4 化简，求值： ①1)32(36922---+b ab b ab ，其中2

1=a ，1-=b

②)3123()31(22122y x y x x +-+--,其中3

2,2=-=y x

经典例题

例题1.若ab x 与a y b 2

是同类项，下列结论正确的是（ ）

A ．X ＝2，y=1

B ．X=0，y=0

C ．X ＝2，y=0

D 、X=1，y=1

例题2. 2x －x 等于（ ）

A ．x

B ．－x

C ．3x

D ．－3x

例题3.x －（2x －y ）的运算结果是（ ）

A ．－x+y

B ．－x －y

C ．x －y

D ．3x －y

练习：

1、当2x =-时，求代数式5(41)x x --的值

2、已知b a ，互为倒数，n m ，互为相反数，求代数式2(223)m n ab -+-的值

3、已知32-=-n m ,求733m n --的值。

4、化简，求值：

①1)32(36922---+b ab b ab ，其中2

1=a ，1-=b

②)3123()31(22122y x y x x +-+--,其中3

2,2=-=y x

5、已知2221A x y xy =-+，22121,2,2

B x y xy x y =-+-=-=，求2A B -

六、探索规律列代数式

例题1.观察下列数表：

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为________，第n 行与第n 列交叉点上的数应为_________（用含有n 的代数式表示，n 为正整数）

例题2.观察下列各等式：

（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的___________；如果等号左边的第一个实数用x表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表示为_____________________.

（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x为_________________；

（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：__________________

例题3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图1―3―3所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．

第四章平面图形及其位置关系

备注：这一章重要是为后面几何打基础：

1、重点在平行的性质与证明。

2、同旁内角、内错角、同位角的定义（这个有些学生在开始的时候会出现小失误后面没什么问题）

3、垂线的性质与判定

线段、射线、直线

1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。

2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。

3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。

4、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

名称图形

表示方

法

端

点

长度

直线

l

B

A

直线

AB(或BA)

直线l

无

端点

无法

度量

射线

M

O

射线OM

1

个

无法

度量

线段

l

B

A

线段

AB(或BA)

2

个

可度

量长度