数列递推思想的应用

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数列递推思想的应用

作者：黄旭东

来源：《高中生学习·高三版》2016年第05期

数列作为高考的考点与热点，在历年的高考中所占比例较大，特别在综合题中的应用，能力要求越来越高.其中数列递推思想，具有很强的逻辑性，是学习逻辑推理和化归能力的好素材，也是数学教学中渗透数学思想方法的好载体，其递推思想在解题中的应用相当广泛.下面

对数列递推思想的应用作简要梳理，供参考.

在归纳推理中应用

例1 如图，一白珠下面挂一黑珠，每一黑珠下挂一黑珠与一白珠，则第11行黑珠的个数为________.

[…第一行][…第二行][…第三行][…第四行][…第五行][…第六行]

解析设第行黑珠的个数为个，则，则第行黑珠的个数为等于第行黑珠的个数为与第行白

珠的个数之和，由于第行白珠的个数即为第行中黑珠个数，故有.

点拨此题通过运用递推思想得到一个递推关系，正是著名的“斐波拉契数列”. 在一些数列归纳通项的推理中，利用递推思想，构建递推公式，使有限拓展到无限，由特殊变成一般规律，这是解决此类问题常见思路与方法，同理这也体现了合理推理的精髓所在.

构建“递推公式”，巧证数列不等式

例2 已知函数设满足，，数列满足，.证明：.

解析本题可不用数学归纳法证，直接应用递推公式证更加简洁，简证如下.

时，显然成立.

时，由题意得，，且，

综上所述，.

点拨此题由两边结构中都有，故联想递推关系，类比“已知等比数列递推关系求通项方法”，适当放缩使问题得以解决.在中学阶段某些压轴数列不等式的证明中，常利用此递推思想结合放缩法进行转化与化归.

构建递推数列模型，求无限往复数学问题