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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列的概念知识总结及例题讲解素材 北师大版必修5

§1.1.1 数列的概念

本小节重点:了解数列概念、分类、通项公式;及通项公式的求法。

一、基本概念

1. 数列的概念

○1按一定次序排列的一列数叫数列。

注:数列的另一定义:数列也可以看做是一个定义域为正整数集,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

○2数列中的每一个数按顺序1,2,3,…,都有一个序号,叫作项数,每一个序号也对应着一个数,这个数叫作数列中的项,例如第4个数,叫作第4项,第n个数,叫作第n项,记作;

○3数列的一般形式为,,,…,,…简单记为,其中表示数列的通项. ○4通项公式:如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式

表示时,我们称这个公式为这个数列的通项公式。

特别提示:a) 数列的通项公式不是唯一的,例如:-1,1,-1,1,…通项公式可表示为

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或;

b) 不是所有的数列都有通项公式,例如:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…就没有通项公式.

○5递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系式可以用一个公式来表示,则这个公式就

叫作递推公式。

2. 数列的表示方法

○1列表法,指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.

○2图像法,指在坐标平面中用点表示.

○3解析法,指用一数学式子表示来。例如:常用的通项公式.

3. 数列的分类

○1按数列中项数的多少来分:有穷数列和无穷数列.

○2按数列中相邻两项间的大小关系来分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

○3按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分:有界数列和无界数列.

二、例题讲解

例1. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:

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(1),,,,… (2) 1,3,6,10,15,…

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(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…

(5),,,,…

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(6) ,,,,,,…或

特别提示:在此种题型当中一些常用的数列为:

1)1,0,1,0,…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…

例2. 已知数列,

(1)求数列的第10项

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(2)是否为该数列的项,为什么?

(3)求证:数列中各项都在区间内;

(4)在区间内有无数列中的项?

例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式

(1)(可用两种方法)

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(2)已知数列满足求

(3)(插项法和叠加法组合)

(4)在数列中,已知,

(5)设是首项为1的正数数列,且,

求它的通项公式.(累乘法)

(6)已知数列中,,数列中,,当时,

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,求

例4.求下列数列中某一项

(1)已知数列满足,求

(2)已知数列对任意,有,若,求

(3)在数列中,,求

(4)已知数列满足,求

例5.利用数列的单调性解答

(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项,

最小项为第y项,则x+y=

(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数

列,求实数k的取值范围.

(3)设,又知数列的通项满足

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,

1)试求数列的通项公式;

2)判断数列的增减性.

(4)设是定义在正整数集上的函数,且满足,如果

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,则=

例6. 和之间的关系

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注:数列的通项与前n项和的相互关系是:;

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(1)已知数列的前n项和,求数列的通项公式.

(2)已知求

(3)已知,又数列中,,这个数列

的前n项和的公式,对所有大于1的自然数n都有.

1)求数列的通项公式.

2)若, 求的值

特别提示:请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.