高等数学(同济五版)第九章 重积分 练习题册

第九章 重 积 分

第 一 节 作 业

一、填空题：

.

)1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4.

),,(,.3.

,4.2.

1),,(),(),,(.122222212121????=

--=≤+=+<==D

D

d y x D y x D xoy d

e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知

由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为

质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于

则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）：

{}{}:

,20,10:),(,)(,

22,11:),(,)(13

22

2132212

1

则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ

（A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。

答：（ ） 三、估计下列积分的值：

??≤+++=D

y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ

第 二 节 作 业

一、填空题：

1. 设??=≤≤-≤≤D

yd x y x D ..11,10:2σ则

??

??-+-+=≤+a y

ay D

y x dx y x f dy d e

y x D 20

20

22)

(2

22

22)(.3.

,1:.2分是

为极坐标系下的二次积化则设σ

二、选择题（单选）：

??

??

?

?????

+----=1

10

2210

10

2

2

101

02210

10221

10

2222

.

3)

(;

3)

(;

3)(;3)(:

,3.1x x y

x

y

dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设

答：（ ）

).

(2)();()();

(2)();

()(:

),0(,.22

22

2

2

2

2222a b a b a b a b D

y x

e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设

答：（ ）

三、试解下列各题：

????-≥-≤>==+==+D

D

dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x .

),(,1,1:),(.2.

)0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的

由直线其中求

)

0.(.5.1,11.4.

),(),(.322222

22

21

)3(21

3

1

2

>=+==+++--+=??

???

?-h h z y x z y x D dxdy y

x y x dy y x f dx dy y x f dx I D

x x 所围成的立体的体积与计算曲面区域所围成的在第一象限的是由圆求的积分次序改变二次积分

四、若f(x)在[a,b]上连续且恒为正，证明：

.)()

(1

)(2?

?

-≥b

a

b

a

a b dx x f dx x f

第 三 节 作 业

一、填空题：

1. 半圆薄片x 2+y 2≤R 2

, y ≥0, 面密度为1，它关于y 轴的转动惯量I= 。

2. 设f(t)为连续函数，则由平面z=0,柱面x 2+y 2=1和曲面z=[f(xy)]2

所围成立体的体积 V= 。 二、选择题（单选）：

1. 两个半径为R 的直交圆柱面所围成的立体的表面积为：

.

16)(;

4)(;

8)(;4)(0

2

2

2

2000

2

2

2

2

222

22

22

22

2??

??

??

??

----------R x R R x R x R R

x R R

x R dy x

R R

dx D dy x

R R

dx C dy x R R

dx B dy x R R dx A

答：（ ）

2. 球面 x 2+y 2+z 2=a 2含在x 2+y 2

=ax 内部的面积为：

???

?

??

??

----R

a a a a rdr r

a a d D rdr r

a a d C rdr r a a d B rdr r a a d A 0

22

cos 0

22

cos 0

22

20

cos 02

2

20

cos 02

2

.

4)(;

4)(;

8)(;4)(π

πθ

θ

π

θ

π

θ

θθθθ

答：（ ） 三、试解下列各题：

1. 求曲面z 2=x 2+y 2包含在圆柱面x 2+y 2

=2x 内的那部分面积。

2. 已知面密度为常量ρ的均匀矩形板的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

2. 设有一等腰直角三形形薄片，腰长为a ，各点处面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求薄片的重心。

第 四 节 作 业

一、填空题：

.

]3)([,1,10:.4.

11

32,10,1:.3.

1)

1cos(,1:.2.

3,0,:.132224444442222

22222222222222=

+≤+≤≤Ω<+++<≤++≤≤++Ω=++++++≤++Ω=

≤≤≤+Ω????????????Ω

ΩΩΩ

dv y x tg e y x z dy z

y x z y x z y x dv z y x z y x z c z b y a x dv h z a y x x 则设则有不等式

由于设则若则若π

二、选择题（单选）：

;

)(;

)(;)(;

)(:

,12,0,0,0.110

210

210

1

1

1

1

0210

210

10

10

210

??

?

?????

?

???

???--------Ω

==++===Ωy y

x x

y

x y

x xdz dy dx D xdz dy dx C xdz dy dx B xdz dy dx A xdv I z y x z y x 为则所围成由设 答：（ ）

.

)(;

2

1)(;

21

)(;

21

)(:

,.22424242

1

2

1e D e C e e B e e A I dy ye dx I x

xy -+-=??是则设

答：（ ）

三、试解下列各题：

??

?

???

???---+Ω

Ω

=++===Ω+++====Ω1

10

1232.

.3.

1,0,0,0,)

1(.2.

01,,.12

222

2x y x y x dz z dy dx z y x z y x z y x dxdydz

z x x y xy z dxdydz z xy 计算所围成的四面体为平面其中计算所围成的闭区域和与平面是由曲面其中计算

第 五 节 作 业

一、填空题： 1. 将积分?

?

?->+=

2

20

222

)0(x x a

a dz y x z dy dx I 化为柱面坐标系下的三次积分是

。

.

,)(,4,1,.2222222=

++===+=Ω???Ω

I dv z y x f I z z y x z 则坐标系下化为三次积分在球面

将三重积分所围成由设

二、选择题（单选）：

???

??????

?????????????????????------+Ω

Ω

=

+≤≤++Ω=≥≤++Ωπ

π

ππ

π

π

πππππ

π

θθθθ???θ???θ??θ???θ20

1

1120

1

120

1

0111

20

1

112

2

2

2

2

20

20

1

320

1

3

20

1

220

20

1

2222.

)(;

)(;)(;

)(,,2.2;

cos sin )(;

cos sin )(;

sin )(;

cos sin )(:

,0,1.12

2

22

2

2

r r r

r

r r r

dz rdr d D dz rdr d C dz rdr d B dz rdr d A dv y x z z z y x dr r d d D dr r d d C dr r d d B dr r d d A zdv I z z y x 则为设为则为若

答：（ ）

.

4)(;

4)(;

4)(;

4)(:

0,0,0,:,0,:.31

2

1

2

1

2

1

2

2222222221????????????????????????ΩΩΩΩΩΩΩΩ====≥≥≥≤++Ω≥≤++Ωxyzdv xyzdv D zdv zdv C ydv ydv B xdv xdv A z y x R z y x z R z y x 则设空间区域

答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 计算

???Ω

==+Ω+.22,)(2222所围成的闭区域及平面是由曲面其中z z y x dv y x

.

)3(;)2(;

)1(.0,||,||)(.4.

2,.3.

0,0,0,11,.2222222222222轴的转动惯量求物体关于求物体的重心求其体积所围成和平面占有的闭区域是由曲面为常量密度一均匀物体之公共部分和为其中计算卦限内的闭区域所围成在第一

及平面为柱面其中计算z z a y a x y x z Rz z y x R z y x dv z y x z z y x xydv ===+=≤++≤++Ω=====+Ω??????Ω

Ω

ρ

.)

(lim ,0)0(,

1)0(',)(),0()()(.55

222

2

222t t F f f u f t dv z y x

f t F t t x y x +

→≤++==>++=

???求且为连续函数设

第 九 章 综 合 作 业

一、填空题（每小题4分，共20分）：

{}

.

,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4.

sin .3.

,0,1|),(.2.

,),(,),(.12222210

221

20

2

????????

????

Ω

Ω

-=

≤+-+-Ω=

====+Ω==

≥≤+===dv z y y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy x

x

dy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f y

y

D

x x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系

将所围成由设则设则

改变积分次序将是连续函数设

二、选择题（单选）（每小题4分，共20分）：

.

)(;)(;)(;)(:

,,,)sin(,)(,)ln(,1,21

,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy Y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D D

D

D

<<<<<<<<+=+=+==+=

+==??????间的大小关系为则所围成由设

答：（ ）

.

),(),()(;

),()(;),(),()(;

),()(),(,),(.201

8221

21

21

228

26

21

8

221

21

2122821226

21

4

2

???

?

??

???

?

??

??--+-++------+++---+---++=y

y y y y

y

y y y y

y x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 答（ ）

3. 半径为R 和r(0

).(8

1

)();(41)();(21)();()(44444444r R D r R C r R B r R A ----πρπρπρπρ

答：（ ）

.72

1)

(;64

1)

(;56

1)

(;48

1

)

(,0,0,0,1.4222D C B A xyzdxdydz z y x z y x =

====++Ω???Ω

则

限的部分所围空间区域在第一卦是由设

答：（ ） 三、计算

?

?-1

1

22

x

y dy e x dx （10分）。

四、计算

???Ω

+-=+=Ω+)(2,)(222222

y x z y x z dv y x

与是由其中所围成的闭区域

（12分）。

五、求上半球面22222y x z y x z +=--=与旋转抛物面所围成的立体的体积（12分）

。 六、计算

41,)(2222222

≤++≤+≥Ω+???Ω

z y x y x z dxdydz y x

z 及由其中所确定

（14分）。

七、设曲面x2+y2+z2-2az=0(a>0) 所围立体上各点的密度与该点到原点的距离成正比，求该立体的重心（12分）。

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同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济版(下册)期末考四套试题与答案

高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin ππ ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念

理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点

的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求

高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套

高等数学（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（） （A ）y x + ；（B ）x ；(C)y ；(D)0。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ；

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学第六版下册复习题 同济版

2011-2012-2《大学数学一》综合练习 一﹑填空题： 1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB j AC Pr =___________。 2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。 3. 过原点且平行于直线? ? ?=--=-1523 4z y x z x 的直线方程为_____________________。 4. 将曲线2 20 x z x y ?=? =?绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。 5. 函数z=arcsin(2x)+ 2 224ln(1) x y x y ---的定义域____________________. 6. (,)(0,1) 42 lim 3x y xy xy →+-= 。 7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e = 1 {2,1}5 的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2 sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2 cos c t 对应于t= 4 π 的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。 10. 将二次积分2 1 2 20 ()x x dx f x y dy +??化为极坐标下的二次积分的表达式为 . 11. ??? ? -+--+2 1 2 1 2 ),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 . 12. 曲线积分 ds z y x L ?++2221的值为 ，其中L 为曲线222 1,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分412 4(4)(65)L x xy dx x y y dy λλ-++-? 在xoy 平面内与路径无关，则λ= . 14. 设L 为有向曲线2 214x y +=的正向，则(2)(3)L x y dx x y dy -++=? . 15. 设∑是球面：222 4x y z ++=，则曲面积分 ??∑++dS z y x )(222 = . 16. 设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径为3，则幂级数11 )1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、函数与极限 （一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数在连续 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限 左极限：右极限：

2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)

c)（） d)（） e) 二、导数与微分 （一）导数 1、定义： 左导数： 右导数： 函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数

1）定义： 2）公式： （二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且 三、微分中值定理与导数的应用 （一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）； 则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）； 则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3） 则 （二）洛必达法则

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-3

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案5-3

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 习题5-3 1. 计算下列定积分: (1)?+π ππ 2 )3 sin(dx x ; 解 02 1 2132cos 34cos ) 3 cos()3sin(2 =-=+-=+-=+?πππ πππ π πx dx x . (2)?-+1 23 ) 511(x dx ; 解 512 51 110116101) 511(2 151)511(2212 21 2 3= ?+?- =+-?=+-----?x x dx . (3)?203cos sin π???d ; 解 ??-=20 320 3sin cos cos sin π π?????d s d 4 10cos 412cos 41cos 4144204 =+-=-=π?π . (4)?-π θθ03)sin 1(d ; 解 ????-+=+=-π ππππθθθθθθθθ020 02003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 3 4)cos 3 1(cos 0 3-=-+=πθθππ . (5)?26 2cos π πudu ; 解 222626 2 2sin 4 1 21 )2cos 1(21cos ππ ππ πππ πu u du u udu +=+=?? 8 36 )3 sin (sin 4 1)6 2(21- =-+-=π ππππ. (6)dx x ?-2 022; 解 dt t tdt t t x dx x ???+=?=-20202 2 )2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ 令

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证：

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测验题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积a b →→ ?= (). (A) 1；(B)-1； (C)0；(D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是(). 共面；(B)共线； (C) 垂直；(D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有() ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥面；面面面 5、2 ()αβ→ → ±=() (A)2 2 αβ→→±；(B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+；(D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面(). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线(). (A) 过原点；(B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴；(D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是(). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 x y z ?+=? =?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=；(B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=；(D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 .

高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）