15.2.1 分式的乘方
【学习目标】
1. 通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式乘方的运算法则;
2.能熟练地进行分式乘方的运算。
【学习重点】熟练地进行分式的乘除混合运算和分式乘方的运算.
【学习难点】对乘方运算性质的理解和运用。
【知识准备】
1、目前为止,幂的运算法则都有什么?
(1)a m ·a n =__________; (2) a m ÷a n
=__________;
(3)(a m )n =__________; (4)(ab)n =___________;
2、计算
(1))(x y y x x y -?÷ (2) )21()3(43x y x y x -?-÷
【自习自疑】
1.计算:
①2)3
2(
②2)43(-
③ 3)2
1( ④4)21(-
我想问: 请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来,等待课堂上与老师和
同学探究解决。
等级 组长签字 【自探】 【探究一】根据乘方的意义和,计算下列各题: (1)2)(b a =?b a b a =( ) (2) 3)(b a =?b a ?b a b
a =( ) (3)4)(
b a =?b a ?b a b a b
a ?=( ) 由以上计算的结果你能推出n b
a )((n 为正整数)=______________________? 归纳出分式乘方的法则__________________________________________.
【探究二】单个分式的乘方
(1)323)23(c b a - (2) 2232??
? ??-c b a
【探究三】分式的乘除、乘方的混合运算
(1)32223
)2()3(x
ay xy a -÷ (2))()()(422xy x y y x -÷-?-
(3))()()(2232b a a
b a ab b a -?--?-
【探究四】化简求值
先化简代数式()()222222b a b a ab b a b a b a b a +-÷???
? ??+---+ 然后请你自取一组a 、b 的值 代入求值.
【自测自结】
1、判断下列各式是否成立,并改正.
(1)23
)2(a b =252a b (2)2)23(a b -=2249a b - (3)2)3(b
x x -=2229b x x -
2.计算⑴ 2
22()_____x y -=. ⑵ 42m n÷22()m n -·3m n
=________.
3.计算
⑴ 23()x y ÷22()x y - ⑵ 2()x y xy -÷3()x y xy -
4. 化简a b b
b a a b a b a a ?+÷--222242)()(
通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些困惑呢?
第十五章分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,建立数学模型,并理解分式的概念. 2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件. 重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 一、复习引入 1.什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式? ①8m+n 3 ;②1+x+y2;③ a2b+ab2 3 ;④ a+b 2 ;⑤ 2 x2+2x+1 ;⑥ 3 a2+b2 ;⑦ 3x2-4 2x . 二、探究新知 1.分式的定义
(1)学生看教材的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少? 分析:设江水的流速为v千米/时. 轮船顺流航行90千米所用的时间为 90 30+v 小时,逆流航行60千米所用时间为 60 30-v 小时,所以 90 30+v = 60 30-v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题. 观察:以上的式子 90 30+v , 60 30-v , S a , V s ,有什么共同点?它们与分数有什么 相同点和不同点? 可以发现,这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式.分数的分子A与 分母B都是整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中都含有字母. 归纳:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A B 叫 做分式. 巩固练习:教材第129页练习第2题. 2.自学教材第128页思考:要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件? 分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0 时,分式A B 才有意义. 学生自学例1. 例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义? (1) 2 3x ;(2) x x-1 ;(3) 1 5-3b ;(4) x+y x-y . 思考:如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?巩固练习:教材第129页练习第3题. 3.补充例题:当m为何值时,分式的值为0? (1) m m-1 ;(2) m-2 m+3 ;(3) m2-1 m+1 . 思考:当分式为0时,分式的分子、分母各满足什么条件? 分析:分式的值为0时,必须同时满足两个条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零. 三、归纳总结
1.1 分式 1.1.1分式的概念 (第1课时) 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点: 重点:分式的概念和性质难点:理解分式的性质。 教学过程 一创设情境,导入新课 探究: 1把三个一样的苹果分给4位小朋友,每位小朋友分到多少苹果?你怎么分给他们?(交流讨论) (1)每位小朋友分3 4 (2)分法: ①每个苹果切成四个相等的小块,共12块,每人分3块,这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便,每个苹果切成8块,共24块,每人分6块,这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多?(36 = 48 ,即: 3326 == 4428 ? ? )由此表明了什 么? 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数,分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数,分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为:把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友,每位小朋友分到多少苹果? 用除法表示:3n ÷,用分数表示为:3 n , 3 3n n ÷、相等吗?( 3 3= n n ÷)这里的n
可以是实数吗?(n不能为0) (2) 33 4n 与有什么区别?(后者分母含有字母)我们把前者叫分数,后者叫分 式,什么叫分式呢?分式有没有和分数一样的性质? 这节课我们来学习-----分式的基本性质。(板书课题) 二合作交流,探究新知 1 分式的概念填空: (1 )如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子,那么每袋瓜子的价格是______元。 (2)一个梯形木板的面积是6 2 m,如果梯形上底是am,下底是bm,那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩,b亩的稻田m kg,n kg,这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式: 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点?(分子分母都是整 式,分母含有字母) 一般地,如果f、g分别表示两个整式,并且g中含有字母,那么代数式f g 叫分 式。 说明:分式的分子分母一般是多项式,单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考:33a 44a 与分式相等吗? 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗? 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义,那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗? 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式,分式值不变。分式的分子与分母约去共因式,分式的值不变。 用式子表示为:设h≠0,则f f h g g h ?= ?
14.1.2 幂的乘方 教学目标 1.知识与技能 理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质. 2.过程与方法 经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力. 3.情感、态度与价值观 培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值. 重、难点与关键 1.重点:幂的乘方法则. 2.难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 3.关键:要突破这个难点,在引导这个推导过程时,步步深入,层层引导,?要求对性质深入地理解. 教学方法 采用“探讨、交流、合作”的教学方法,让学生在互动交流中,认识幂的乘方法则. 教学过程 一、创设情境,导入新知 【情境导入】 大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,?木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,?请同学们计算一下太 阳和木星的体积是多少?(球的体积公式为V=4 3 πr3) 【学生活动】进行计算,并在黑板上演算. 解:设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为 V木星=4 3 π·(102)3=?(引入课题). 教师引导】(102)3=?利用幂的意义来推导.
【学生活动】有些同学这时无从下手. 【教师启发】请同学们思考一下a 3代表什么?(102)3呢? 【学生回答】a 3=a ×a ×a ,指3个a 相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=10 2+2+2=106,?因此(102)3=106. 【教师活动】下面有问题: 利用刚才的推导方法推导下面几个题目: (1)(a 2)3;(2)(24)3;(3)(b n )3;(4)-(x 2)2 . 【学生活动】推导上面的问题,个别同学上讲台演示. 【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a )的结果是多少? 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论: (a m )n =()n m m m m m m m m a a a a a +++=个n 个= a mn . 评析:通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘. 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1)(103)5;(2)(b 3)4;(3)(x n )3;(4)-(x 7)7. 【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算. 【教师活动】启发学生共同完成例题. 【学生活动】在教师启发下,完成例题的问题:并进一步理解幂的乘方法则: 解:(1)(103)5=10 3×5=1015; (3)(x n )3=x n ×3=x 3n ; (2)(b 3)4=b 3×4=b 12; (4)-(x 7)7=-x 7×7=-x 49 . 三、随堂练习,巩固练习 课本P143练习. 【探研时空】 计算:-x 2·x 2·(x 2)3+x 10 . 【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生,媒体显示练习题. 【学生活动】书面练习、板演. 四、课堂总结,发展潜能 1.幂的乘方(a m )n =a mn (m ,n 都是正整数)使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.
九年级数学 分式 辅导讲义 教学内容 分式和分式的性质; 分式的运算; 分式方程及分式方程的运用; 教学目标 1.了解分式的意义及分式的基本性质; 2.会利用分式的基本性质进行约分和通分; 3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算; 4.会解可化为一元一次方程的分式方程; 5.能够根据具体问题中的数量关系,用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题; 教学重点 分式概念和性质;分式的运算; 教学难点 分式方程的应用; 教学过程 知识详解 【知识点 1】分式的概念: 1、 分式的定义:一般地,如果A 、B 表示两个_____________,并且___________中含有字母,那么代数式 __________叫做分式。 2、分式有意义的条件:____________________; 3、分式为0的条件:______________________; 【例】1、下列各式:π 8,11,5,21,7,322x x y x b a a -++中,分式有_______________ 2、一件工作,甲单独做a 小时完成,乙单独做b 小时完成,则甲、乙合作 小时完成 3、若分式1 12+-x x 的值为0,则x 的取值为_________________ 4、当x 时,分式3 1-+x x 有意义,当x 时,分式32-x x 无意义。 【知识点 2】分式的基本性质: 1、分式的基本性质:分式的__________________都乘以(或除以)_______________________, 分式的值____________ 用式子表示就是:A A M =B B ( ),A A =B B ÷÷( )( ) (其中,M 是___________________) 2、分式的约分:根据_____________,把分式的_____________分别______它们的___________,叫做分式的约分。 通常把分式约成_____________; 3、分式的通分:同分母的分式通分:___________________________________. 异分母的分式通分:___________________________________.
(106)7(b6)3(a m)4-(b9)3 (107)3(y4)6-(a m)7(a9)4?a6 x?x2z?z8x2?x3 (-2)×(-2)8×(-2)8x4m?x3m-1x4n?x6n+1 1 1 1 (-—)×(-—)2×(-—)7s4?s b6?b9 9 9 9 (-1)×(-1)7×(-1)5z?z9x?x7 1 1 1 (-—)3×(-—)6×(-—)3y m?y4m+1y n?y3n-1 6 6 6 (103)5(a4)6(y n)2-(y7)8
(109)8(b3)5-(b m)3(a4)4?a2 x?x9z?z4a9?a2 (-2)7×(-2)7×(-2)8x5n?x4n-1x6m?x2m+1 1 1 1 (-—)6×(-—)9×(-—)2y9?y a2?a 4 4 4 (-1)2×(-1)7×(-1)7t?t4s?s8 1 1 1 (-—)8×(-—)8×(-—)9y8n?y8n-1y2m?y7m+1 6 6 6 (107)3(y6)6(y m)9-(y2)9 (103)2(a6)9-(b m)8(a9)4?a8
x?x4s4?s6t9?t6 (-2)4×(-2)9×(-2)8x8n?x5n+1x m?x9m-1 1 1 1 (-—)3×(-—)6×(-—)4b2?b8t6?t 4 4 4 (-4)3×(-4)7×(-4)3b3?b5c5?c6 1 1 1 (-—)7×(-—)3×(-—)3y3m?y7m+1y5m?y4m-1 6 6 6 (102)8(a2)3(a n)3-(x6)9 (107)4(b9)5-(y m)6(a5)6?a9 x6?x2b?b8c6?c9
分式 一 下列各有理式中,哪些是整式,哪些是分式。 1x , 2x π, 23a b , 20.5xy y +, b c a +, 32y -+, 5x z y -, 18- 二 x 等于什么数时,分式的值为零。 (1) 3289x x -+ (2) 26412x x x -+- (3) 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时,分式 211x x +-满足 (1)分式的值为零 (2)分式没有意义 (3)分式的值是1
四 不改变分式的值,把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数,并且使各项系数 最小。 (1)11231134 a b a b +- (2) 0.3 1.20.051 x x +- (3)22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值,使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 (1)2 2311a a a a --+- (2)211x x -- (3)3 211 a a a ---+ 六 约分 (1)322222x x y x y xy -- (2)()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ (3)33222 y y y y y +-+-
分式的计算 一 先化简再求值 (1)2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- (2)22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-, 13y =- (3)22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =, 7b =,2c =- 二 计算 (1)232231049x y a b ab xy ? (2)22346b a a b -? (3)322243x z xz y y ÷- (4)3 4224189xy x y x y ÷- (5)22212221 a a a a a a -+-+?+- (6)222233a b a a b a b a b ++÷-- (7)()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- (8)23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+
15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?