几何五大模型汇总
小学平面几何五大模型
一、
共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC
△中，,D E分别是,
AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()
S S AB AC AD AE
=??
△△
证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出
若△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，
则
ADE
ABC
S
S
?
?
=
AE
AD
AC
AB
?
?
二、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如下图
12
::
S S a b
=
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
ACD BCD
S S=
△△
；
反之，如果
ACD BCD
S S
=
△△
，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
b
a
S2
S1
D
C
B
A
三、蝶形定理
1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面
可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①AD AE DE AF AB
AC
BC
AG
===；
②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在?ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕
子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
O F
E D C B A
附件1：鸟头模型例题及习题：
例8：
法1：无敌设高法。
法2：反复使用鸟头定理：求出E点、F点的特殊性；
简述：以上这一题是中环杯决赛题，作为我们讲义的例8。我们介绍的法一“无敌设高法”主要是从代数的角
度死算，这是我们以后学习解复杂问题的通用方法，作为五年级的同学可以多多接触一些；法二“鸟头模型”让我们确定特殊点，从而找线段的比例关系。让面积比转换成求线段比。