如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下: ①1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心, 特别地0PA PB PC P ++=?u u u r u u u r u u u r r 为ABC ?的重心;
(),[0,)AB AC λλ+∈+∞u u u r u u u r 是BC 边上的中线AD 上的任意向量,过重心;
()
1,2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的垂心; ()||cos ||cos AB AC AB B AC C
λ+u u u r u u u r u u u r u u u r [0,)λ∈+∞是△ABC 边BC 的高AD 上的任意向量,过垂心. ③ ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线). ④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
222OA OB OC OA OB OC ?==?==?u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r O 为ABC ?的外心.
4.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形
ABCD 中,设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ,则有以下的结论:
①,AB AC a b AD +=+=u u u r u u u r r r u u u r 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并;若C AB D =u u u r u u u r ,可判断四边形为平行四边形;
②,,a b AD a b CB +=-=r r u u u r r r u u u r 若0a b a b a b +=-??=r r r r r r 对角线相等或邻边垂直,则平行四
边形为矩形;()()0a b a b a b +?-=?=u
u r r r r r r 对角线垂直.则平行四边形为菱形; ③222222a b a b a b ++-=+r r r r r r 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和; ④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r ,特别地,当 a b r r 、
同向或有0r
?||||||a b a b +=+r r r r ≥||||||||a b a b -=-r r r r ;当 a b r r 、
反向或有 0r ?||||||a b a b -=+r r r r ≥||||||||a b a b -=+r r r r ;
当 a b r r 、
不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+r r r r r r (这些和实数比较类似). 5.解析几何与向量综合时可能出现的结论
(1) 给出直线的方向向量()k u ,1=ρ或()n m u ,=ρ
;
(2)给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点; (3)给出0ρ=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()
BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
(5) 给出以下情形之一:①AC AB //; ②存在实数,AB AC λλ=r r 使;
③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,
等于已知C B A ,,三点共线.
(6) 给出λ
λ++=1OB OA OP ,等于已知P 是AB 的定比分点, λ为定比,即PB AP λ=
(7) 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出
0<=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,
等于已知AMB ∠是锐角,
(8)给出MB MA =?? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
(9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,
等于已知ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,
等于已知ABCD 是矩形;
(11)在ABC ?中,给出2
22OC OB OA ==,
等于已知O 是ABC ?的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12) 在ABC ?中,给出0=++OC OB OA ,
等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在ABC ?中,给出OA OC OC OB OB OA ?=?=?,
等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在ABC ?中,给出+=OA OP ()||||
AB AC AB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r )(+∈R λ 等于已知通过ABC ?的内心;
(15)在ABC ?中,给出0=?+?+?c b a
等于已知O 是ABC ?的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16在ABC ?中,给出()
12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r , 等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高二数学向量知识点总结 导读:我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容,具体内容:数学数学是高考的三大必考主科之一,数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学,高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年,所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一,数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学,高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年,所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料,供您阅读。 (一) 考点一:向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。 考点二:向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐
标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。 考点三:定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所成比时,可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式,主要以选择题或填空题型出现,难度一般。由于向量应用的广泛性,经常也会与三角函数,解析几何一并考查,若出现在解答题中,难度以中档题为主,偶尔也以难度略高的题目。 考点四:向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题。 考点五:平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主,属中档题。 考点六:平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
基础练习 1、若(3,5)AB =u u u r ,(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r ( ) A .(-2,-2) B .(-2,2) C .(4, 2) D .(-4,-12) 2、已知平面向量→a =(1,1),→b =(1,-1),则向量12→a -32→b = ( ) A 、(-2,-1) B 、(-2,1) C 、(-1,0) D 、(-1,2) 3、已知平面向量a r =(1,-3),b r =(4,-2),a b λ+r r 与a r 垂直,则λ是( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4、若平面向量b r 与向量a r =(1,-2)的夹角是180°,且|b r |=,则b r =( ) A .(-1,2) B .(-3,6) C .(3,-6) D .(-3,6)或(3,-6) 5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中,若,02是( ) A .锐角三角形 B . 直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、,若E F 、为线段BC 的三等分点,则·=( ) (A )20 (B )21 (C )22 (D )23 7.在四边形ABCD 中,AB =a +2b ,=-4a -b ,=-5a -3b ,其中a 、b 不共线,则四 边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 8.已知()() 3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r r g 那么a r 与b r 夹角为( ) A 、60? B 、90? C 、120? D 、150? 9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点,且BC =a r ,=b r ,=c r , 则下列各式: ①=21c r -21b r ②=a r +2 1b r ③CF =-21a r +2 1b r ④++CF =0r 其中正确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知向量a =(3,-4),b =(2,x ), c =(2,y )且a ∥b ,a ⊥c .求|b -c |的值.
平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ,(λ·a )·b =λ(a ·b ),(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.