统计归纳推理

1．用反证法证明“若a+b+c ＜3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为（ ）

A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1

B ．假设a ，b ，c 都大于1

C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1

D ．假设a ，b ，c 都不小于1

2．（2015秋?孝感期末）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所

以a 2＞0”，你认为这个推理（ ）

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．是正确的

3．若P =，43+++=a a Q )0(≥a ，则P ，Q 的大小关系为（ ）

A ．Q P ＞

B ．Q P =

C ．Q P ＜

D ．由a 的取值确定

4．“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电，金、银、铜、铁、锡都是金属，所以一切金属都导电”．此推理方法是（ ）

A ．完全归纳推理

B ．归纳推理

C ．类比推理

D ．演绎推理

5．观察下列各式：3437,4973==2，240174=，则20117的末两位数字为（ ）

A.01

B.43

C.07

D.49

6．设（ ）

A.都大于2

B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2

D.至少有一个不大于2

7．若P=+，Q=+（a≥0），则P ，Q 的大小关系是（ ）

A.P ＞Q

B.P=Q

C.P ＜Q

D.由a 的取值确定

8．已知,x y 的取值如图所示，且线性回归方程为132

y bx ∧=+，则b =（ ）

A ．13

B ．12

C ．13-

D ．12

- 9．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问

110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22?列联表，由计算可得28.806K ≈

参照附表，得到的正确结论是（ ）

A ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

B ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

C ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

10．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考

察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

参照附表，下列结论正确的是（ ）．

A ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；

B ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；

C ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；

D ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”．

11． 已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）

A ．8?n ≤

B ．9?n ≤

C ．10?n ≤

D ．11?n ≤

12．如图甲在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三

角形，按图所标边长，由勾股定理有222b a c +=，设正方形换成正方体，把截线换成如图乙的截面，从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用1S 、2S 、

3S 表示三个侧面面积，

用4S 表示截面面积，那么你类比得到的结论是______________．

13．已知正三角形内切圆的半径是其高的13

，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______________________________________．

14．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，（a 、t

均为正实数），则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________．

15．埃及数学中有一个独特现象：除

23

用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315

=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115

，这样每人分得11315+．形如2(5,7,9,11,)n n = 的分数的分解：2115315=+，2117428

=+，2119545=+，按此规律，211= ；2n = (5,7,9,11,)n = ． 16．“整数对”按如下规律排成一列:

(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), ,则第50个数对是 ．

17．将演绎推理“函数21y x =+的图像是一条直线．”恢复成完全的三段论形式，其中大前提是 ．

18．下面使用类比推理，得出正确结论的是________．

①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a ＝b”；

②“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc”类比出“（a·b）c ＝ac·bc”；

③“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc”类比出“

a b a b c c c +=+ （c≠0）”； ④“（ab ）n ＝a n b n ”类比出“（a ＋b ）n ＝a n ＋b n ”．

19．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为

cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得c

b a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________ 20．观察各式：221,3,a b a b +=+=334455

4,7,11,a b a b a b +=+=+= ，则依次

类推可得1010a b += ；

21．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22， ，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，

第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =， ，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = .

1 5 1

2 22

22．用反证法证明命题“若210x -=，则x =-1或x =1”时,应假设

23______________．

24．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系．

根据上表提供的数据得到回归方程y bx a =+中的 6.5b =，预测销售额为115万元时约需____万元广告费．

25．李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______

26．执行如图所示的程序框图，若判断框内填入的条件是2014i ≤，则输出的S 为 .

27．按如下程序框图运行，则输出结果为 ．

28．当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．

?列联表，并说明是否有99．9%的把握认为收看《奔（1）试根据题设数据完成下列22

跑吧兄弟第三季》与年龄有关；

（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人。从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率．

29．为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：

男生：

女生：

（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；

（2）完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

()()()()()22=n ad bc x n a b c d a b c d a c b d ??-=+++ ? ?++++??

，其中

30．2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员)，下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．

注：（1）表中b a /表示出手b 次命中a 次；

（2）00T S (真实得分率)是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： 罚球出手次数）

投篮出手次数全场得分?+?=44.0(2T S 00． （Ⅰ）求表中x 的值；

（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中00T S 超过0050的概率； （Ⅲ）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据

散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．

31．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500 ml 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥． ．

． ． ． ． 0 5 10 15 20 25 30 20

40

60

80 100

120 0 易建联得分 中

国队得

分 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．

（1）请将上面的列联表补充完整．

（2）是否有99．5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．

（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生（其中有2名女生）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到1男1女的概率是多少？

参考数据：

参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．

32．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y （万元）和房屋的面积x （2m ）的数据 ，

若由资料可知y 对x 呈线性相关关系。

试求:（1）线性回归方程；

（2）根据（1）的结果估计当房屋面积为2

150m 时的销售价格. 参考公式：1

12222

11()()()n n i i i i

xy i i n n x i i i i x y nx y x x y y S b S x

nx x x ====---===--∑∑∑∑

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：考虑命题的反面，即可得出结论．

解：由于命题：“若a ，b ，c 中至少有一个小于1”的反面是：“a，b ，c 都不小于1”， 故用反证法证明“若a+b+c ＜3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为“a，b ，c 都不小于1”，

故选D ．

考点：反证法．

2．A

【解析】

试题分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．

解：∵任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0，

大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．

故选A ．

考点：演绎推理的基本方法．

3．C

【解析】

试题分析：因为

2234P a a -+，,0P Q >，所以.P Q <选C ．

考点：比较大小

4．B

【解析】

试题分析：所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理， 金、银、铜、铁、锡是部分金属，因此是由部分对象性质推理该类对象性质

考点：归纳推理

5．B

【解析】

试题分析：1680775=，11764976=易观察出末两位数是成周期变化的，周期为4，故

35024201177+?=，所以20117的末两位数字为43

考点：推理

6．C

【解析】

试题分析：假设：

中都小于2，则，但由于

=≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出正确

答案：

中至少有一个不小于2． 解：由于=≥2+2+2=6， ∴中至少有一个不小于2， 故选C ．

点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

7．C

【解析】

试题分析：本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，

Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明． 解：∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，

只要证：2a+7+2＜2a+7+2，

只要证：a 2+7a ＜a 2+7a+12，

只要证：0＜12，

∵0＜12成立，

∴P ＜Q 成立．

故选C

点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

8．D

【解析】

试题分析：可以先计算出样本数据中心点的坐标，再根据回归直线必然经过样本中心点的原理，就可求出b 的值.设样本中心点的坐标为(),M x y ，则23433

x ++==，64553y ++==，所以13532b =+，解得12

b =-，故选D. 考点：线性回归.

9．B

【解析】

试题分析：由题得28.8067.879K ≈>，所以有99．5%的把握认为“爱好该项运动与性别

有关”，故选B ．

考点：独立性检验

10．A

【解析】

试题分析：()841.3762.47030505080030010022

>≈???-=k ，故应选A ． 考点：独立性检验

11．B

【解析】

试题分析：由题意分析，计算10a 需要9n =，即1099a a =+，所以最后一次运行s s n =+中9n =，然后10n =，此时已经计算出10a ，符合条件要终止程序运行，所以判断条件是9?n ≤，故选B ．

考点：程序框图．

12．22224123

S S S S =++ 【解析】

试题分析：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：22224123

S S S S =++． 故答案为：22224123

S S S S =++ 考点：类比推理

13．正四面体的内切球的半径是其高的14

【解析】

试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，因此正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球，类似的结论为正四面体内切球的半径是高的14

． 考点：类比推理．

14．55

【解析】

试题分析：根据，， ，按照规律，若 则，，，故答案为． 考点：归纳推理．

【方法点睛】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，在做本题中要弄清楚当n 变化时，对应的式子所出现的规律，可以得到对应的通式，从而将n=7代入即可．

15．11666+；111(1)

22

n n n +++ 【解析】

试题分析：5132+=，1535=?，714,28472+==?，915,45592

+==?，因此1116,611662+=?=，21111666=+，归纳得出2111(1)22

n n n n

=+++． 考点：归纳推理，合情推理．

【名师点睛】1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．

2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．

特别提醒:归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．

16．)6,5(

【解析】

试题分析：根据题中所给的“整数对”的规律可以发现，和为2的整数对有1个，和为3的有2个，以此类推，和为1n +的整数对有n 个，所以有(1)502

n n +≤，解得9n ≤，所以一直到和为10的整数对排完，总共有45个，第50个数对是和为11的第5个，故为)6,5(． 考点：数列的有关问题．

17．一次函数的图像是一条直线

【解析】

试题分析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。

本题中的一般性前提是一次函数的图像是一条直线

考点：演绎推理

18．③

【解析】

是错误的，如

2221111+=+（），故选③ 考点：归纳推理.

19．1234

3V S S S S +++ 【解析】

试题分析：设球心为O ，分别连结四个顶点与球心O ，将四面体分割成底面面积分别为

4321,,,S S S S 高为R 的三棱锥，其体积分别为113S R ，213S R ，313S R ，413

S R ，由

V=113S R +213S R +313S R +413S R 得，R=

1234

3V S S S S +++. 考点:类比推理

20．123

【解析】 试题分析：此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.

考点：观察推断能力.

21．10,355==n a

【解析】

试题分析：根据示意图：可得231-=--n a a n n ，)2(112211≥+-+???+-+-=---n a a a a a a a a n n n n n ， ∴

)2(2

312232)1(3232112211≥-=+-?+???+--+-=+-+???+-+-=---n n n n n a a a a a a a a n n n n n ，

当1=n 时，也成立，∴232n n a n -=，∴35255325=-?=a ，令101452

32=?=-n n n . 考点：归纳推理.

22．x x ≠≠-1且1．

【解析】

试题分析：反证法的反设只否定结论，或的否定是且所以是1-≠x 且1≠x .

考点：反证法

23

证13＋

＋

因为42>40

24．15

【解析】 试题分析：5,50==x y ，则5.1755.650=?-=-=x b y a ，即5.175.6+=x y ，当销售额y 为115万时，代入回归直线得广告费155

.65.17115=-=-=

b a y x ，即投入15万广告费，预计销售额将为115万.

考点：线性相关与回归直线.

【思路点睛】两个变量若线性相关，则可认为它们满足回归直线方程，而回归直线方程表示的是一条直线，所以先要利用已知条件求得这条直线中的两个参数a ，b ，其中b 可以直接利用变量来求得，而参数a 则要利用x b y a -=来求得，求得了回归直线方程，就可将变量代入直线，从而求得另一个变量，在此求得的值为近似值，而非精确值.

25．方案三

【解析】

试题分析：方案一：所用时间为8513715654+++++=．

方案二：所用时间为815730++=．方案三：所用时间为813727++=．所以所用时间最少的方案是方案三． 考点：流程图

26．0

【解析】

试题分析：根据程序框图，当1i =时，1S =-；当2i =时，110S =-+=；当3i =时，011S =-=-；当4i =时，110S =-+=；…，即当i 为奇数时S 为－1，当i 为偶数时S 为0，因为2014i ≤所以输出的S 为0．

考点：程序框图.

27．170

【解析】

试题分析：程序执行过程中各量依次为：1131,0,2,3,19,22,i s s i s ====≥=+5,i = 135135759,222,7,79,2222,9,99s i s i ≥=++=≥=+++=≥输出170s =

考点：程序框图

点评：此题着重注意程序循环体执行的次数

28．（1）表格见解析，有关；（2）

1121

． 【解析】

试题分析：(1)根据题目条件填写表格，利用公式，可计算2K 的值，根据临界值表，即可得到结论；

（2）采取分层抽样的方法抽取的7人中有2人收看，5人不收看《奔跑吧兄弟第三季》 ，从中任意抽取2人由21种不同的取法．记事件A 为至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》 ，基本事件总数为21，事件A 包含的事件数为11011+=，由概率公式即可求得．

试题解析：（1）

由列联表中的数据，得到22

110(10255025)13.96810.82860503575k ??-?==>??? 因此，有99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关．

（2）采取分层抽样的方法抽取的7人中有2人收看，5人不收看《奔跑吧兄弟第三季》 ，从中任意抽取2人由21种不同的取法．记事件A 为至少有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》 ，基本事件总数为21，事件A 包含的事件数为11011+=，故11011()2121P A +=

=． 考点： 独立性检验的应用；古典概型；分层抽样．

29．（Ⅰ）35

；（Ⅱ）没有把握． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）把所有选取的人都用字母表示，写出所有情况，在所有情况中选出符合题意的情况共12种，最后计算概率；（Ⅱ）利用2k 的公式计算，再查表进行比较大小即可判断．

试题解析：（Ⅰ） 选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为,A B ， 睡眠时间在[5,6)的有4人，设为,,,a b c d ．

从中选取3人的情况有,,A B a A B b ,,,,,,,,,,ABd Aab Aac Aad Abc Abd Acd Bab Bac Bad Bbc ，,Bbd Bcd ，,abc abd ，,acd bcd ，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此3人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为

123205=． （Ⅱ）

220(126148)400.440 2.7062026142091

k ?-?==≈

考点：1、古典概型；2、回归分析．

【方法点睛】解答古典概型的概率问题一般要做好三个方面：一是明确分辨问题性质，即是不是古典概型问题，如果是，又是哪一类的古典概型问题；二是古典概型的计算公式，一定要掌握公式()P A ＝

A k S n

=包含的基本事件数中基本事件总数；三是根据公式要求确定n 和k ，找出解题的主要数据．

30．（Ⅰ）58.56%；（Ⅱ）8()9

P A =；（Ⅲ）不具有线性相关关系． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接由易建联在这9场比赛中投篮的统计数据可得出x 的值即可；（Ⅱ）首先设易建联在比赛中00

T S 超过0050为事件A ，然后由易建联在这9场比赛中投篮的统计数据表可知，易建联在比赛中00T S 超过0050的场数为8场，而总场数为9场，最后由古典概

型的计算公式即可得出所求的结果；（Ⅲ）由散点图可知，散点图并不是分布在某一条直线的周围．即可得出相应的结论．

试题解析：（Ⅰ）2658.56%2(200.445)

x ==?+?． （Ⅱ）设易建联在比赛中00T S 超过0050为事件A ，则8()9

P A =． （Ⅲ）不具有线性相关关系．因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛．

考点：1、古典概型；2、线性相关．

31．（1）见解析；（2）有关；（3）

．

【解析】 试题分析：（1）由概率意义知肥胖的有人，这样不肥胖的有22人，其他相应可得；（2）由独立性检验公式计算可得结论为有关；（3）常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6人，4男2女，从中抽2人，共有种抽法，其中一男一女的抽法为，由概率公式可得，也可以把6人编号，男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，用列举法写出所有可能情形．

试题解析：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则＝，解得x ＝6．

（2）由已知数据可得K 2＝≈8．523>7．879，

因此有99．5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．

（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，则任取2人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中是1男1女的有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种，

故正好抽到1男1女的概率P ＝

．

考点：古典概型，独立性检验．

32．（1）0.8421y x =-（2）105

【解析】

试题分析：（1）根据数据表先求,x y ，再根据公式求b ，根据线性回归直线必过样本中心点

(),x y ，可得a y bx =-。

（2）将150x =代入回归方程即可得所求。 解：（1）由已知数据表求得：100,63x y ==， 2分 将数据代入12

1()()()n

i i

i n i

i x x y y b x x ==--=-∑∑ 计算得：b=0.84, 6分 又由y bx a =+得：630.8410021a y bx =-=-?=- 8分

线性回归方程为：0.8421y x =-. 9分

(2)当150x =时，求得0.8415021105y =?-=（万元）， 12分

所以当房屋面积为2150m 时的销售价格为105万元。 13分

考点：线性回归方程。