2012年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一.选择题(共8小题)
1.(2012赤峰)5-的倒数是( ) A .
15
B .15
-
C .5
D .5-
考点:倒数.
解答:解:∵|﹣5|=5,5的倒数是, ∴|﹣5|的倒数是.
故选A .
2.(2012赤峰)下列运算正确的是( ) A .5
3
2
x x x -=
B .222
()a b a b +=+
C .336
()mn mn =
D .624
p p p ÷=
考点:完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法. 解答:解:A .x 5与x 3不是同类项,无法合并,故本选项错误; B .根据完全平方公式得:(a+b)2=a 2+2ab+b 2,故本选项错误; C .(mn 3)3=m 3n 9,故本选项错误; D .p 6÷p 2=p 4,故本选项正确. 故选D .
3.(2012赤峰)我们虽然把地球称为“水球”,但可利用淡水资源匮乏.我国淡水总量仅约为899000亿米3,用科学记数法表示这个数为( ) A .0.899×104亿米3 B .8.99×105亿米3 C .8.99×104亿米3 D .89.9×104亿米3 考点:科学记数法—表示较大的数.
解答:解:899000亿米3=8.99×105亿米3, 故选:B .
4.(2012赤峰)一个空心的圆柱如图所示,那么它的主视图是( )
A .
B .
C .
D .
考点:简单组合体的三视图.
解答:解:根据主视图的定义,得出它的主视图是:
故选A .
5.(2012赤峰)已知两圆的半径分别为3cm 、4cm,圆心距为8cm,则两圆的位置关系是( ) A .外离 B .相切 C .相交 D .内含 考点:圆与圆的位置关系.
解答:解:∵两圆的半径分别为3cm 、4cm,
∵两圆的半径和为:3+4=7(cm), ∵圆心距为8cm >7cm,
∴两圆的位置关系是:外离. 故选A .
6.(2012赤峰)下列说法正确的是( )
A .随机掷一枚硬币,正面一定朝上,是必然事件
B .数据2,2,3,3,8的众数是8
C .某次抽奖活动获奖的概率为
1
50
,说明每买50张奖券一定有一次中奖 D .想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平,宜采用抽样调查 考点:概率的意义;全面调查与抽样调查;众数;随机事件.
解答:解:A .随机掷一枚硬币,正面一定朝上,是随机事件,故本选项错误; B .数据2,2,3,3,8的众数是2或3,故本选项错误; C .某次抽奖活动获奖的概率为
,不能说明每买50张奖券一定有一次中奖,故本选项错误;
D .想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平,宜采用抽样调查,故本选项正确. 故选D .
7.(2012赤峰)解分式方程
131(1)(2)
x x x =--+的结果为( ) A .1 B .1- C .2- D .无解 考点:解分式方程.
解答:解:方程的两边同乘(x ﹣1)(x+2), 得:x+2=3 解得:x=1.
检验:把x=1代入(x ﹣1)(x+2)=0,即x=1不是原分式方程的解. 则原分式方程无解. 故选D . 8.(2012赤峰)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,以点C 为圆心,CD 为半径的弧与BC 交于点E,四边形ABED 是平行四边形,AB=3,则扇形CDE(阴影部分)的面积是( )
A .32
π
B .
2
π C .π D .3π
考点:扇形面积的计算;等边三角形的判定与性质;平行四边形的性质;等腰梯形的性质. 解答:解:∵四边形ABCD 是等腰梯形,且AD ∥BC, ∴AB=CD ;
又∵四边形ABED 是平行四边形, ∴AB=DE(平行四边形的对边相等), ∴DE=DC=AB=3; ∵CE=CD,
∴CE=CD=DE=3, ∴∠C=60°,
∴扇形CDE(阴影部分)的面积为:=;
故选A .
二.填空题(共8小题)
9.(2012赤峰)一个n 边形的内角和为1080°,则n= . 考点:多边形内角与外角. 解答:解:(n ﹣2)?180°=1080°, 解得n=8.
10.因式分解:3
2
x xy -= . 考点:提公因式法与公式法的综合运用. 解答:解:x 3﹣xy 2=x(x 2﹣y 2) =x(x ﹣y)(x+y).
故答案为:x(x ﹣y)(x+y). 11.(2012赤峰)化简
22(1)2
211
a a a a +÷
+++= . 考点:分式的乘除法;因式分解-运用公式法;约分. 解答:解:原式=
×
=1,
故答案为:1.
12.(2012赤峰)如图,在菱形ABCD 中,BD 为对角线,E 、F 分别是DC .DB 的中点,若EF=6,则菱形ABCD 的周长是 .
考点:菱形的性质;三角形中位线定理.
解答:解:∵AC 是菱形ABCD 的对角线,E 、F 分别是DC .DB 的中点, ∴EF 是△BCD 的中位线, ∴EF=BC=6,
∴BC=12,
∴菱形ABCD 的周长是4×12=48. 故答案为:48.
13.(2012赤峰)投掷一枚质地均匀的骰子两次,两次的点数相同的概率是 . 考点:列表法与树状图法. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
∴两次的点数相同的概率是:=.
故答案为:.
14.(2012赤峰)存在两个变量x 与y,y 是x 的函数,该函数同时满足两个条件:①图象经过(1,1)点;②当x >0时,y 随x 的增大而减小,这个函数的解析式是 (写出一个即可). 考点:反比例函数的性质.
解答:解:设此函数的解析式为y=(k >0), ∵此函数经过点(1,1), ∴k=1,
∴答案可以为:y=(答案不唯一). 故答案为:y=(答案不唯一).
15.(2012赤峰)某中学的学生自己动手整修操场,如果让初二学生单独工作,需要6小时完成;如果让初三学生单独工作,需要4小时完成.现在由初二、初三学生一起工作x 小时,完成了任务.根据题意,可列方程为 .
考点:由实际问题抽象出一元一次方程.
解答:解:根据题意得:初二学生的效率为,初三学生的效率为, 则初二和初三学生一起工作的效率为(),
∴列方程为:(
)x=1.
故答案为:(+)x=1. 16.(2012赤峰)将分数
6
7
化为小数是,则小数点后第2012位上的数是 .
考点:规律型:数字的变化类. 解答:解:∵
化为小数是
,
∴2012÷6=335(组)…2(个);
所以小数点后面第2012位上的数字是:5; 故答案为:5.
三.解答题(共9小题) 17.(2012赤峰)计算201
sin 30(2)52)16
-?+--; 考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 解答:解:原式=
111
11424
-+-=-.
18
.(2012赤峰)求不等式组
3(2)4
14
1
3
x x
x
x
--≥
?
?
+
?
>-
??
的整数解.
考点:一元一次不等式组的整数解.
解答:解:
3(2)4
14
1
3
x x
x
x
--≥
?
?
?+
>-
??
①
②
解①得:x≤1,
解②得:x>﹣4,
解集为:﹣4<x≤1,
整数解为:﹣3,﹣2,﹣1,0,1.
19.(2012赤峰)如图所示,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.
(1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在AD上任取一点E,连接BE、CE.求证:△ABE≌△ACE.
考点:全等三角形的判定;等腰三角形的判定;作图—基本作图.
解答:(1)解:如图所示:
(2)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵在△ABE和△ACE中
,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
20.(2012赤峰)如图,王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°,在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°,已知甲楼高26米,求乙楼的高度.3 1.7)
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
解答:解:作AE⊥DC于点E
∴∠AED=90°
∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°
∴四边形ABCE是矩形
∴AE=BC AB=EC
设DC=x
∵AB=26
∴DE=x﹣26
在Rt△AED中,tan30°=,
即
解得:x≈61.1
答:乙楼高为61.1米
21.(2012赤峰)甲、乙两名运动员在相同的条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示:
运动员平均数中位数方差
甲7 7
乙7 2.6
考点:折线统计图;算术平均数;中位数;方差.
解答:解:(1)S甲2=[(6﹣7)2+(6﹣7)2+(7﹣7)2+(6﹣7)2+(6﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(9﹣7)2], =(1+1+0+1+1+0+1+0+1+4),
=1,
乙按照成绩从低到高排列如下:4、6、6、6、7、7、7、8、9、10, 第5个与第6个数都是7,
所以,乙的中位数为7;…(6分)
(2)答:因为甲、乙的平均数与中位数都相同,甲的方差小,所以更稳定,因此甲的成绩好些.…(10分) 22.(2012赤峰)如图,点O 是线段AB 上的一点,OA=OC,OD 平分∠AOC 交AC 于点D,OF 平分∠COB,CF ⊥OF 于点F .
(1)求证:四边形CDOF 是矩形;
(2)当∠AOC 多少度时,四边形CDOF 是正方形?并说明理由.
考点:正方形的判定;矩形的判定.
解答:(1)证明:∵OD 平分∠AOC,OF 平分∠COB(已知), ∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF, ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴2∠COD+2∠COF=180°, ∴∠COD+∠COF=90°, ∴∠DOF=90°;
∵OA=OC,OD 平分∠AOC(已知),
∴OD ⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三合一”的性质), ∴∠CDO=90°, ∵CF ⊥OF, ∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF 是矩形;
(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF 是正方形; 理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC, ∴OD=DC ;
又由(1)知四边形CDOF 是矩形,则 四边形CDOF 是正方形;
因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF 是正方形.
23.(2012赤峰)如图,直线1l y x =:与双曲线k
y x
=
相交于点A(a,2),将直线l 1向上平移3个单位得到l 2,直线l 2与双曲线相交于B .C 两点(点B 在第一象限),交y 轴于D 点.
(1)求双曲线
k
y
x
的解析式;
(2)求tan∠DOB的值.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换;锐角三角函数的定义.
解答:解:(1)∵A(a,2)是y=x与y=的交点,
∴A(2,2),
把A(2,2)代入y=,得k=4,
∴双曲线的解析式为y=;
(2)∵将l1向上平移了3个单位得到l2,
∴l2的解析式为y=x+3,
∴解方程组,
得,,
∴B (1,4),
∴tan∠DOB=.
24.(2012赤峰)如图,AB是⊙O的弦,点D是半径OA上的动点(与点A.O不重合),过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F,交AB于点C.
(1)点H在直线EF上,如果HC=HB,那么HB是⊙O的切线吗?请说明理由;
(2)连接AE、AF,如果AF=FB,并且CF=16,FE=50,求AF的长.
考点:圆的综合题.
解答:解:(1)HB是⊙O的切线,理由如下: 连接OB.
∵HC=HB,∴∠HCB=∠HBC,
又∵OB=OA,∴∠OAB=∠OBA,
∵CD⊥OA,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠OAB=90°,
∵∠ACD=∠HCB,∴∠OBA+∠HBA=90°, ∴HB⊥OB,
∴HB是⊙O的切线;
(2)∵=,
∴∠FAB=∠AEF,
又∵∠AFE=∠CFA,
∴△AFE∽△CFA,
∴,
∴AF2=CF?FE,
∵CF=16,FE=50,
∴AF==20.
25.(2012赤峰)如图,抛物线2
5y x bx =--与x 轴交于A .B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称,直线AF 交y 轴于点E,|OC|:|OA|=5:1. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF 的解析式;
(3)在直线AF 上是否存在点P,使△CFP 是直角三角形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
考点:二次函数综合题. 解答:解:(1)∵y=x 2﹣bx ﹣5, ∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1, ∴|OA|=1,
即A(﹣1,0),…(2分)
把A(﹣1,0)代入y=x 2﹣bx ﹣5得 (﹣1)2+b ﹣5=0, 解得b=4,
抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ﹣5;…(4分)
(2)∵点C 与点F 关于对称轴对称,C(0,﹣5),设F(x 0,﹣5), ∴x 02﹣4x 0﹣5=﹣5,
解得x 0=0(舍去),或x 0=4, ∴F(4,﹣5),…(6分) ∴对称轴为x=2,
设直线AF 的解析式为y=kx+b, 把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b, 得
,
解得,
所以,直线FA 的解析式为y=﹣x ﹣1;…(8分) (3)存在.…(9分)
理由如下:①当∠FCP=90°时,点P 与点E 重合, ∵点E 是直线y=﹣x ﹣1与y 轴的交点, ∴E(0,﹣1),
∴P(0,﹣1),…(10分)
②当CF 是斜边时,过点C 作CP ⊥AF 于点P(x 1,﹣x 1﹣1),
∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5), ∴CE=CF, ∴EP=EF, ∴CP=PF,
∴点P 在抛物线的对称轴上,…(11分)
∴x 1=2,
把x 1=2代入y=﹣x ﹣1,得 y=﹣3, ∴P(2,﹣3),
综上所述,直线AF 上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP 是直角三角形.…(12分)
26.(2012赤峰)阅读材料:
(1)对于任意两个数a b 、的大小比较,有下面的方法: 当0a b ->时,一定有a b >; 当0a b -=时,一定有a b =; 当0a b -<时,一定有a b <.
反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”. (2)对于比较两个正数a b 、的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: ∵2
2
()()a b a b a b -=+-,0a b +> ∴(2
2
a b -)与(a b -)的符号相同 当2
2a b ->0时,a b ->0,得a b > 当2
2
a b -=0时,a b -=0,得a b = 当2
2
a b -<0时,a b -<0,得a b <
解决下列实际问题:
(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x >y,张丽同学的用纸总面积为W 1,李明同学的用纸总面积为W 2.回答下列问题:
①W 1= (用x 、y 的式子表示) W 2= (用x 、y 的式子表示) ②请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A .B 两镇供气,已知A .B 到l 的距离分别是3km 、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:
方案一:如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.
方案二:如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.
①在方案一中,a1= km(用含x的式子表示);
②在方案二中,a2= km(用含x的式子表示);
③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
考点:轴对称-最短路线问题;整式的混合运算.
解答:(1)解:①W1=3x+7y,W2=2x+8y,
故答案为:3x+7y,2x+8y.
②解:W1﹣W2=(3x+7y)﹣(2x+8y)=x﹣y,
∵x>y,
∴x﹣y>0,
∴W1﹣W2>0,
得W1>W2,所以张丽同学用纸的总面积大.
(2)①解:a1=AB+AP=x+3,
故答案为:x+3.
②解:过B作BM⊥AC于M,
则AM=4﹣3=1,
在△ABM中,由勾股定理得:BM2=AB2﹣12=x2﹣1,
在△A′MB中,由勾股定理得:AP+BP=A′B==,
故答案为:.
③解:=(x+3)2﹣()2=x2+6x+9﹣(x2+48)=6x﹣39,
当>0(即a1﹣a2>0,a1>a2)时,6x﹣39>0,解得x>6.5,
当=0(即a1﹣a2=0,a1=a2)时,6x﹣39=0,解得x=6.5,
当<0(即a1﹣a2<0,a1<a2)时,6x﹣39<0,解得x<6.5,
综上所述
当x>6.5时,选择方案二,输气管道较短,
当x=6.5时,两种方案一样,
当0<x<6.5时,选择方案一,输气管道较短.