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机械优化设计习题集

机械优化设计复习题

一、单项选择题

5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（）（P19-24）

A .约束线性

B .无约束线性

C .约束非线性

D .无约束非线性

6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（）（P22-24）

A .多变量无约束的非线性

B .多变量无约束的线性

C .多变量有约束的非线性

D .多变量有约束的线性

7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目

标函数值（）（P25-28）

A .变化最大

B .变化最小

C .近似恒定

D .变化不确定

8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（）（P25-28）

A . 最小变化率

B .最速下降

C . 最速上升

D .极值

9. 梯度方向是函数具有（）的方向（P25-28）

A ．最速下降

B ．最速上升

C ．最小变化

D ．最大变化率

10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28）

A .最速上升方向

B .上升方向

C .最速下降方向

D .下降方向

11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（）（P25-28）

.f ?= B .12...n

f f f f x x x ????=++??? C .22212(

)()...()n f f f f x x x ????=++??? D

.f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（）（P25-31）

A ．曲面或曲线

B ．曲线或等值面

C ．曲面或等值线

D ．等值线或等值面

13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件

（）（P29-31）

A.*()0f x ?=

B. *()0G x =

C. 海赛矩阵*()G x 正定

D. **()0G()f x x ?=，负定

14.12(,)f x x 在点*x 处存在极小值的充分条件是：要求函数在*x 处的Hessian 矩阵

*()G x 为（）（P29-31）

A .负定

B .正定

C .各阶主子式小于零

D .各阶主子式等于零

15.在设计空间内，目标函数值相等点的连线，对于四维以上问题，构成了（）

（P29-33）

A .等值域

B .等值面

C .同心椭圆族

D .等值超曲面

16.下列有关二维目标函数的无约束极小点说法错误的是（）（P31-32）

A .等值线族的一个共同中心点

B .梯度为零的点

C .驻点

D .海赛矩阵不定的点

17.设()f x 为定义在凸集D 上且具有连续二阶导数的函数，则()f x 在D 上为凸

函数的充分必要条件是海赛矩阵()G x 在D 上处处（）（P33-35）

A .正定

B .半正定

C .负定

D .半负定

18.下列哪一个不属于凸规划的性质（）（P33-35）

A.凸规划问题的目标函数和约束函数均为凸函数

B.凸规划问题中，当目标函数()f x 为二元函数时，其等值线呈现为大圈套小圈

形式

C.凸规划问题中，可行域{|()01,2,...,}i D x g x j m =≤=为凸集

D.凸规划的任何局部最优解不一定是全局最优解

19.拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种（）

（P36-38）

A ．降维法

B .消元法

C .数学规划法

D .升维法

20.若矩阵A 的各阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为（）矩阵（P36-45）

A .正定

B .正定二次型

C .负定

D .负定二次型

21.约束极值点的库恩-塔克条件为1()()q

i i i f x g x λ=?=-?∑，当约束条件

()0(1,2,...i g x i m ≤=和0i λ≥时，则q 应为（）（P39-47）

A .等式约束数目

B .起作用的等式约束数目

C .不等式约束项目

D .起作用的不等式约束数目

22.一维优化方法可用于多维优化问题在既定方向上寻求下述哪个目的的一维搜

索（）（P48-49）

A ．最优方向

B .最优变量

C ．最优步长

D ．最优目标

23.在任何一次迭代计算过程中，当起始点和搜索方向确定后，求系统目标函数

的极小值就是求（）的最优值问题（P48-49）

A .约束

B .等值线

C .步长

D .可行域

24.求多维优化问题目标函数的极值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点

()k x 出发，沿使目标函数满足下列哪个要求所规定方向()k d 搜索，以找出此方

向的极小值(1)k x +（）（P48-49）

A .正定

B .负定

C .上升

D .下降

25.对于一维搜索，搜索区间为[a,b],中间插入两个点1111a b a b <、，，计算出

11()()f a f b <，则缩短后的搜索区间为（）（P49-51）

A . [a 1,b 1]

B . [b 1,b]

C . [a 1,b]

D . [a,b 1]

26.函数()f x 为在区间[10,20]内有极小值的单峰函数，进行一搜索时，取两点13

和16，若f （13）

A.[10,16]

B.[10,13]

C. [13,16]

D. [16,20]

27.为了确定函数单峰区间内的极小点，可按照一定的规律给出若干试算点，依

次比较各试算点的函数值大小，直到找到相邻三点的函数值按（）变化的单峰

区间为止（P49-52）

A ．高-低-高

B ．高-低-低

C ．低-高-低

D ．低-低-高

28.0.618法是下列哪一种缩短区间方法的直接搜索方法（）（P51-53）

A .等和

B .等差

C .等比

D .等积

29.假设要求在区间[a,b]插入两点12αα、，且12αα< ，下列关于一维搜索试探

方法——黄金分割法的叙述，错误的是（）（P51-53）

A.其缩短率为0.618

B.1()b b a αλ=--

C.1()a b a αλ=+-

D.在该方法中缩短搜索区间采用的是区间消去法。

30.一维搜索方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度（）（P51-56）

A.慢

B.快

C.一样

D.不确定

31.一维搜索试探方法---黄金分割法比二次插值法的收敛速度（）（P51-58）

A .慢

B .快

C .一样

D .不确定

32.关于一维搜索的牛顿法，下列叙述错误的是（）（P53-58）

A.牛顿法属于一维搜索的插值方法

B.牛顿法的特点是收敛速度很慢

C.牛顿法中需要计算每一点的函数二阶导数

D 牛顿法要求初始点离极小点不太远，否则有可能使极小化序列发散

33.关于一维搜索方法的叙述，下列说法错误的是（）（P48-58）

A ．黄金分割法是最常用的一维搜索试探方法

B ．在试探法中，确定试验点的位置时没有考虑函数值的分布

C ．当函数具有较好的解析性质时，试探法比插值法的效果好

D ．插值法中的牛顿法是利用一点的函数值、一阶导数值等构造二次函数的

34.下列多变量无约束优化方法中，属于直接法的是（）（P59-60）

A .变量轮换法

B .牛顿法

C .共轭梯度法

D .变尺度法

35.最速下降法相邻两搜索方向k d 和+1k d 之间关系为（）（P60-63）

A ．相切

B ．正交

C ．成锐角

D ．共轭

36.下面四种无约束优化方法中，哪一种在构成搜索方向时要使用到目标函数的

二阶导数（）（P59-90）

A .梯度法

B .牛顿法

C .变尺度法

D .单行替换法

37.下列多变量无约束优化方法中,算法稳定性最好的是（）（P59-89）

A.坐标轮换法

B.原始共轭方向法

C.鲍威尔法

D.梯度法

38.下述哪个方法的主要优点是省去了海赛矩阵的计算，被公认为是求解无约束

优化问题最有效的算法之一（）（P59-89）

A .变尺度法

B .复合形法

C .惩罚函数法

D .坐标轮换法

39.通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是（）（P59-89）

A .牛顿法

B .梯度法

C .共轭梯度法

D .变尺度法

40.下列约束优化问题的求解方法中，属于间接解法的是（）（P59-89）

A ．随机方向法 B.惩罚函数法 C.复合形法 D.广义简约梯度法

41.下列无约束优化方法中，哪一个需要计算Hessian 矩阵（）（P60-89）

A .鲍威尔法

B .梯度法

C .牛顿法

D .共轭梯度法

42.哪种方法在确定优化搜索方向时，不需用目标函数的一阶或二阶导数信息

（）（P60-90）

A .梯度法

B .牛顿法

C .变尺度法

D .鲍威尔法

43.下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是（）（P70-73）

A ．共轭梯度法具有二次收敛性

B. 共轭梯度法的第一个搜索方向应取为负梯度方向

C. 共轭梯度法需要计算海赛矩阵

D ．共轭梯度法的收敛速度比最速下降法快

44.变尺度法的迭代公式为1()k k k k k x x H f x α+=-?，下列不属于k H 必须满足的条

件是（）（P74-80）

A ．k H 之间有简单的迭代形式

B ．拟牛顿条件

C．与海赛矩阵正交D．对称正定

45.梯度法和牛顿法可看作是下列哪种方法的一种特例（）（P74-80）

A.坐标转换法

B. 共轭方向法

C. 变尺度法

D.复合形法

46.坐标轮换法之所以收敛速度很慢，原因在于其搜索方向与坐标轴的关系是下述哪种情况，不适应函数的变化情况（）（P81-82）

A．垂直B．斜交C．平行D．正交47.在无约束优化方法中，直接利用目标函数值构成的搜索方法是（）（P83-85）

A．梯度法B．鲍威尔法C．共轭梯度法D．变尺度法48.关于鲍威尔方法，叙述错误的是（）（P83-88）

A．鲍威尔法是利用函数的一阶导数来构造共轭方向的

B．鲍威尔法又称为方向加速法

C．鲍威尔法是一种有效的共轭方向法

D．对于非二次函数且具有连续二阶导数的优化问题，用鲍威尔法是有效的

49.下列说法不正确的是（）（P95-102）

A.线性规划问题中目标函数和约束函数都是线性的

B.目标函数是线性函数，而约束条件不是线性的优化问题也属于线性规划问

题

C.线性规划问题中目标函数的最优解位于凸多边形（或凸多面体）的顶点上

D.线性规划问题中目标函数的最优解不必在可行域整个区域内搜索

50.下列关于随机方向法的叙述，错误的是（）（P140-143）

A.随机方向法是一种原理简单的直接解法

B.对目标函数的性态无特殊要求

C.此算法的收敛速度慢

D.是求解小型优化问题的十分有效的算法

51.关于约束优化问题的解法，下列说法正确的是（）（P138-158）

A.直接解法通常适用于仅含等式约束的问题

B.若目标函数为凸函数，可行域为凸集，间接法可保证获得全局最优点

C.间接解法可有效地处理具有等式约束的约束优化问题

D.可行方向法属于间接解法

52.用复合形法求解约束优化问题时，下面哪种搜索方法不能用来改变初始复合

形的形状（）（P144-148）

A．反射B．扩张C．收缩D．映射53.用可行方向法求解约束优化问题时，下面哪个不是产生可行方向的条件（）（P149-158）

A.按可行方向得到的新点是可行点

B.目标函数值有所下降

C.可行方向的起始点在可行域外

D.可行方向的起始点在可行域内

54.关于惩罚函数法，下列说法错误的是（）（P159-165）

A．惩罚函数法是一种直接解法

B．使用内点时，初始点应选择一个离约束边界较远的点

C．外点法的迭代过程在可行域之外进行

D．混合惩罚函数法可用来求解同时具有等式约束和不等式约束的优化问题55.内点惩罚函数法可用于求解下列哪类优化问题（）（P159-162）

A．无约束优化问题B．只含有不等式约束的优化问题

C．只含有等式的优化问题D．含有不等式和等式约束的优化问题

56.下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是（）（P159-162）

A .可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题

B .惩罚因子是不断递减的正值

C .初始点应选择一个离约束边界较远的点

D .初始点必须在可行域内

57.在用惩罚函数法求解约束优化问题时，下列说法错误的是（）（P159-164）

A.惩罚函数法是一种很有效的间接解法

B.内点惩罚函数法只能用来求解具有等式约束的优化问题

C.外点惩罚函数法的迭代过程是在可行域之外进行

D.混合惩罚函数法可用于求解同时具有等式约束和不等式约束的优化问题

58.下列关于外点惩罚函数法的叙述，错误的是（）（P160-164）

A .可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B .惩罚因子不断递增

C .新目标函数定义在可行域之内

D .初始点必须在可行域外

59.下列关于增广乘子法叙述错误的是（）（P165-173）

A .增广乘子法在数值稳定性方面比惩罚函数好

B .增广乘子法可用于求解等式约束优化问题

C .增广乘子法只可用于求解不等式约束优化问题

D .增广乘子法的收敛条件可视乘子矢量是否稳定来决定

60. 关于多目标优化问题的叙述，下列说法错误的是（）（P202-205）

A ．多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优是较难做到的

B ．多目标优化问题的特点之一是任意两个设计方案的优劣较容易判别

C ．多目标优化问题得到的非劣解往往不止一个

D ．多目标优化方法中的主要目标法是将多目标优化问题转化为一系列单目标

优化问题来求解

二、填空题

1.机械优化设计中常把与设计的目标函数的变化关系比较紧密的设计参数定

为。（P19）

2.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是目标函数、约束条件和。（P19）

3.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是设计变量、目标函数和。（P19-21）

4.建立机械优化设计数学模型的三个基本要素是设计变量、约束条件

和。（P19-21）

5.约束条件根据数学表达式可分为：等式约束条件和。（P20）

6.约束条件根据数学表达式可分为：不等式约束条件和。（P20）

7.目标函数是n 维变量的函数，其图像只能在n+1维空间中表达，为了在n 维空

间中反映目标函数变化情况，常采用目标函数的方法。（P21）

8.在二维设计空间中，（c 为常数）代表的是12x x -设计平面上的

()12,=f x x c

。（P21）

9.优化问题数值迭代方法（或数学规划方法）的基本迭代公式为。（P23）

10.优化设计问题的数学规划解法的两个基本核心一是建立搜索方向k d ，二是确定。（P23）

11.一维搜索起始点()12T k =--x ，搜索方向()10T

k d =-，搜索步长因子1.5k α=，则搜索得到的迭代点1k +x 点为。（P23）

12.优化问题常用的收敛准则中的模准则（或点距准则）其表达式。

（P24）

13.优化问题常用的收敛准则中的梯度准则其表达式。（P24）

14.优化问题常用的收敛准则有三种，它们分别为函数值准则、梯度准则和

和。（P24）

15.优化问题常用的收敛准则中的函数值准则其表达式。（P24）

16.函数

在()011T =x 处沿1x 轴的方向导数值为。（P26） 17.函数

在()011T

=x 处沿2x 轴的方向导数值为。（P26）

18.函数在点()011T =x 处的梯度向量为。（P27）

19.函数在点()011T

=x 处的负梯度方向向量为。（P27、61）

20.函数

在()011T =x 处的梯度向量。（P27、61）

21.函数

在()022T =x 处的的海赛矩阵0()G x 为。（P29）

22.函数在点011??= ???x 处的海赛矩阵0()G x 为。（P29）

23.无约束优化问题中，n 元函数在某点k x 点处取得极值的充分条件

为。（P32）

24.二元函数的极值点为。

（P31-33） 25.无约束优化问题中，n 元函数在某点k

x 点处取得极值的必要条件。

（P31-33）

26.函数的极值点为，该点是极大值还是极小值及原因。（P31-33） ()22122122345=f x x x x x +--+x ()

0f -?x ()2212122485=-f x x x x +-+x ()21=2f x x ++x 14=x ()2212121224525=3f x x x x x x +-+-+x ()22122122345=f x x x x x +--+x ()22121122425=f x x x x x +--+x ()221212425=f x x x x +--+x ()22121122425=f x x x x x +--+x ()2212122485=-f x x x x +-+x

27.约束优化问题中，目标函数在约束边界某点x 处取得极值的必要条件为。（P33-36）

28.约束函数122

122132()90,()20,()20g x x x g x x g x x =+-≤=-≤=--≤所构成的可行域的集合是。（P34）

29.约束优化问题中，如果约束函数和目标函数均为凸函数，则优化问题的局部

最优解即为。（P33-36）

30.约束优化问题局部最优解为全域最优解的充要条件是目标函数为凸函数

和。（P35-36）

31.约束优化问题中，目标函数在约束边界某点处取得极值的充分条件是：目标函数和约束函数必须满足。（P42-44）

32.一维搜索的两个基本步骤分别是：和利用区间消去法原理不断

缩小区间。（确定搜索区间）（P49）

33. 一维搜索一般包括两个基本步骤分别是：确定搜索区间和。（P49）

34.一维寻优时，搜索区间可采用进退算法确定，它利用了一维连续单峰函

数的函数值随变量变化具有的特点。（P49）

35.一维搜索的试探方法中最著名的方法是。（P51-53）

36.一维搜索的插值方法有牛顿法和等。（P55）

37.无约束优化方法中，梯度法的搜索方向及表达式为。（P60-61）

38.无约束优化方法中，牛顿法的搜索方向及表达式为。（P64）

39.无约束优化方法中，阻尼牛顿法的搜索方向及表达式为。

（P65）

40.无约束优化方法的共轭方向中，每一次得到的共轭搜索方向都依赖于迭代点

处的负梯度而构造出来的，这种方法称为。（P70）

41.无约束优化方法中，变尺度法的搜索方向及表达式为。（P76）

42.变尺度法中为使方向朝着目标函数值下降的方向，变尺度矩阵k H 必须满足的条件为。（P76）

43.无约束优化方法中，鲍威尔法中的相邻两次的搜索方向k d 和1k d +之间满足的

关系及表达式为。（P83）

44.在优化问题中,如果目标函数和约束函数均是线性的，则该优化问题称为。（P21-95）

45.二维线性规划问题的极值点一般在位置。（P97）

46.线性规划优化问题的解法有。（P107）

47.约束优化方法的直接解法有：随机方向法、复合形法和。

（P140、149）

48.二维复合形平面上三个迭代点()112T =--x 、()205T =x 、()323T

=-x ,()k k H f x -??

三个点的形心点c x 为。（P144-146）

49.约束优化方法中，复合形法的搜索方向为：复合多边形各顶点中目标函数值

的相对于形心点的反对称方向。（P144-147）

50.约束优化方法的直接解法-可行方向法中的搜索方向除了要满足方向可行的

条件，还要满足方向的。（P151）

51.约束优化方法的惩罚函数法法中，只适合求解不等式约束优化问题的方法

为。（P159）

52.约束优化方法的间接解法中，将约束优化问题转化成新的一系列无约束优化

问题的解法有：增广乘子法和。（P159）

53.约束优化方法的惩罚函数法法中，适合求解同时具有等式和不等式约束优化

问题的方法有外点惩罚函数法和。（P159）

54.一般多目标优化问题一般得到的解为。（P202-205）

55.在多个目标函数中，取其中之一为主要目标函数，其余的目标函数作为约束

这样的多目标优化方法称为。（P205）

56.将多目标优化问题转化为统一单目标函数的一般方法有：极大极小法、理想

点法和。（P206-209）

57.多目标优化方法主要有主要目标法、统一目标法、（宽容）分层序列法和等

方法。（P212）

58.工程实际中，经常有些参数要取整数值和离散值，这样的优化设计问题要用方法求解。（P229）

59.在离散变量优化方法中，将变量的离散性看成是对目标函数的惩罚项，应用

系列连续变量的优化方法进行求解的方法称为。（P235）

60.对优化设计的数学模型进行尺度变换的目的是为了。（P62、74、254）

三、简答题

1.优化设计数学模型的三要素是什么？试写出其数学表达式（P19-21）

2.常用的迭代终止准则有哪些？（P19-24）

3.二维优化问题极值点所处位置有哪几种情况? （P21-23）

4.优化设计问题的基本解法有哪两种？其各自的涵义是什么? （P22-24）

5.试写出二元函数12(,)f x x 在点1020(,)0x x x 沿着某一方向d 的方向导数的表达式（P25-28）

6.试写出二元函数12(,)f x x 在点01020(,)x x x 处的泰勒展开式（注：展开到二次项即可）（P29-30）

7.什么是凸函数? （P33-35）

8.简述凸规划的性质（P33-35）

9.什么是库恩-塔克条件？其几何意义是什么？（P36-39）

10.拉格朗日乘子法求解等式约束优化问题的具体方法是什么? （P37-39）

11.一维搜索优化方法一般分为哪几步进行？（P48-49）

12.黄金分割法要求两插入点相对于区间两端点具有对称性，并要求在保留下来的区间内再插入一点时，所形成的区间新三段与原来区间的三段具有相同的比例分布。试证明黄金分割法中区间缩短率为0.618。（P51-53）

13.试述两种一维搜索方法的原理（P51-58）

14.一维搜索方法中的二次插值法的原理是什么? （P53-58）

15.试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型法的优缺点（P60-65）

16.试写出梯度法（最速下降法）的迭代算法公式，并简要叙述该算法的特点（P60-64）

17.为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进? （P70-72）

18.变尺度矩阵k H 必须满足哪些条件? （P74-80）

19.坐标轮换法的基本原理是什么? （P81-82）

20.简述随机方向法的基本思路（P140-143）

21.改变复合形形状的搜索方法主要有哪四种? （P144-148）

22.用可行方向法求解约束优化问题时，产生可行方向的条件是什么? （P149-158）

23.约束优化方法中的可行方向法产生可行方向应满足什么条件？请用文字描述并用公式表达。（P149-158）

24.惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么? （P159-160）

四、分析计算题

1.求函数在5)(222121

++-=x x x x f x 在点（1，1）处沿方向d 的方向导数，d 与1x 的夹角为α。求（P26）

（1）方向导数为最大值时，α=？

（2）向导数为最小值时，α=？

（3）方向导数为零时，α=？

2.（1）判断函数2222121

5.142)(x x x x x f ++-=x 的驻点是最大值、最小值还是鞍点。（2）求函数11arctan 10)3ln(5)(222211-++++=x x x x f x 在??

????=34x 点的梯度和模。（P31、27）

3.求二元函数56)(1221221+++=x x x x x f x 在0x =[1，-1]T 处的二阶泰勒展开式。（P29）

4.用拉格朗日乘子法计算在两个等式约束条件01)(2221

1=-+=x x h x 和034)(122212=+-+=x x x h x 下目标函数034)(12221=+-+=x x x f x 的极值点坐标。（P39）

5.用K-T 条件判断点??

????=12x 是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47）

()()222111)(min -+-=x x f x

..t s 01)1()3()(22211≤--+-=x x g x 0)(0

)(0

52)(2413212≤-=≤-=≤--=x g x g x x g x x x

6.用库恩-塔克条件检验点k x T ]0,2[=是否为目标函数2221)3()(x x f +-=x ，在不等式

约束：04)(2211≤-+=x x g x ，0)(22≤-=x g x ，05.0)(23≤-=x g x 条件下的约束最优点。（P42-47）

7. 用K-T 条件判断点????

??????=321x 是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47） 00

403.

96223)(min 2131222132232213231≥≥≥-+≤+-+--+-+=x x x x x x t s x x x x x x x f x

8. 用K-T 条件判断点????

??????=400x 是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47） 00

3..17

9628)(min 2131212232232413231≥≥≤--≤--+--+-+=x x x x x x t s x x x x x x x f x

9. 用K —T 条件判断??

????=02x 是否为以下约束最优化问题的最优解。（P42-47）

2221)5()(min x x f +-=x 04)(221

1≤-+=x x g x 0)(22≤-=x g x

01)(13≤+-=x g x

10.用黄金分割法求函数x x f 2)(2-=x 在区间]1.1 , 8.0[中的极小点，迭代终止使用点距准则ε<-b

a b ，精度15.0=ε。（P52）

11.用黄金分割法求函数53)(2+-=x x f x 在区间[1，1.8]中的极小点，迭代终止使用点距准则ε<-b

a b ，3.0=ε。（P52）

12.用黄金分割法求函数x

x f 20)(+=x 在区间]1 , 2.0[中的极小点和极小值，迭代准则ε<-a b ，精度ε=0.4。（P52）

13.利用阻尼牛顿法求解 10)1(2)1(4)(212221+++-++=x x x x f x 的极小值，初始点为

???? ??=000x ，迭代终止采用梯度准则ε

14.利用阻尼牛顿法求解 102)1(4)(2123

2221++++++=x x x x x f x 的极小值，初始点为?????

?????=0000x ，精度15.0=ε，迭代终止使用梯度准则ε

15.对于242)(21222121+-++-=x x x x x x f x ，初始点??

????=220x ，求共轭梯度法在第二次迭代的搜索方向1d 。（一维搜索可使用解析法，提示0011d βg d +-=, 2021

0g g β= ）

（P70）

16.用变尺度DFP 法求解()71014)(1212221+--++=x x x x x f x 的极小值和极小解，初始

点???

???=110x 。（提示：变尺度矩阵迭代公式： [][][][]k k T k k

T k k k k T k T k k k k g H g H g g H g x x x H H ?????????-??????+=+1，k k k g g g -=?+1，k k k x x x -=?+1，迭代终止使用梯度准则ε

17.用DFP 法求解2212221422)(x x x x x f --+=x 的极小值，初始点???

? ??=110x ，第一次迭

代I =0H ，得到????????=2211x ，??????-=?=42)(00x g f ，变尺度矩阵迭代公式： [][][][]k k T k k

T k k k k T k T k k k k g H g H g g H g x x x H H ?????????-??????+=+1，k k k g g g -=?+1，k k k x x x -=?+1，迭代终止使用梯度准则ε

18.函数13612404)(212221+--+=x x x x f x 用DFP 法迭代两次后的极小值和极小解，初

始点??????=980x 。（提示：变尺度矩阵迭代公式：

[][][][]k k T k k

T k k k k T k T k k k k g H g H g g H g x x x H H ?????????-??????+=+1，k k k g g g -=?+1，k k k x x x -=?+1，

一维寻优用解析法。）（P77-81）

19.用内点惩罚函数法求解以下数学优化问题的约束最优解。（无约束寻优部分用解析法）。（P160）

???≤--=??+=01)(2)(min 212221x x g t s x x f x x

20.用内点惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）（P160）

03)(..1

2)(min 212221≤-=+-+=x g t s x x x f x x

21.用外点惩罚函数法求解以下数学规划问题的约束最优点。（无约束寻优部分用解析法）。（P163）

???

????≤-=≤-=+=?∈0)( 01)(:)(min 2111212x g x g D x x f R D Xx x x x

22.用外点惩罚函数法求解约束优化问题。(无约束求优部分可使用解析法) （P163）

20..54)(min 12212

121≥-≤-++=x x x t s x x x f x

23.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）（P164）

012)(

01)(.

4)(min 21221=+=≤-=++=x h x g t s x x f x x x

24.用混合惩罚函数法求解约束优化问题。（无约束求优部分可使用解析法）（P164）

0)( 01)(..2)(min 212

1==≤-=+=x h x g t s x x f x x x

五、作图题

1.用图解法标注以下最优问题的最优点的位置，解析求最优解的准确坐标。（P22）

524)(min 212221++-+=x x x x f x

s ．t ．02221≤-+x x

01221≤--x x

2.对于优化问题 222116)2()(min x x f +-=x

1)1( ..2211≥-+-=x x g t s 09)4()1(22212≤--+-=x x g

（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;

（3）若取初始点为可行点??

????=4301x ，标注出可能得到的约束最优点)1(*x 的位置；

（4）若取初始点为可行点??????-=2102x ，标注出可能得到的约束最优点)2(*x 的位置。（P34、35、22）

3.对于优化问题 ()()222154)(min -+-=x x f x

..t s 016)(22211≤-+=x x g x

0)(0

4)(13212≤-=≤--=x g x x g x x

(1)画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;

(3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化)1(*x ;

(4)若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点)2(*x 的位置 ;

(5)若增加等式约束02

1)(21=-=x x h x ，标注出满足等式约束)(x h 和以上不等式约

束的最优点)3(*x 的位置。（P22、34-35）

4. 对于优化问题 ()222149)(min x x f +-=x ..t s 02

1)(2211≤-+-=x x g x 012

1)(212≤+-=x x g x （1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;

（3）标注出本优化问题的约束最优点*x 可能出现的两个位置。（P34-35、22）

5. 用图形表示以下优化问题（P34、35、22）

()0

1016..125)(min 2212222112

221≥+-=≤-+=-+=x x g x x g t s x x f x

(1)画出可行域D ，判断其是否为凸集（无需证明;

(2)画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明;

(3)若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化)1(*x 的位置;

6. 对于优化问题 ()()222111)(min -+-=x x f x

..t s 01)1()3()(22211≤--+-=x x g x

0)(0

)(0

52)(2413212≤-=≤-=≤--=x g x g x x g x x x

（1）画出可行域，判断其是否为凸集（无需证明）;

（2）画出目标函数的等值线，判断目标函数是否为凸函数（无需证明）;

（3）若不考虑约束，标注出目标函数的无约束最优化)1(*x 的位置;

（4）若考虑约束，标注出本优化问题的约束最优点)2(*x 的位置。（P34、35、22）

六、综合题

1.如图所示，已知跨距为l ，截面为矩形的简支梁，其材料密度为ρ，许用弯曲应力为[]b σ，允许弯曲挠度为[]δ，在梁的中点作用一集中载荷F ，梁的截面宽度b 不得小于m in b ，现要求设计此梁，使其质量最轻。试写出该问题的规格化

的优化设计数学模型（提示：矩形截面的抗弯模量为2/6W bh =；简支梁的

挠度为2/48Ml EI δ=，其中，3/12I bh =为矩形截面的极惯性矩，M 为梁

的中间截面最大弯矩）。（P7-19、252-265）

2.有一个包装箱设计问题，要求它的体积为0.1立方米，为使包装箱尺寸比例匀称，它的长度不超过0.6米，设计该包装箱尺寸使其用材料最省。试建立该问题的优化设计规范化的数学模型。（P7-19、252-265）

3.如图所示，设计某单级标准直齿圆柱齿轮减速器参数，已知:要求输入扭矩120T Nm =,齿轮的齿数比5u =,齿轮的许用接触应力为[]600H MPa σ=，许用弯曲应力[]480F MPa σ=,齿轮的齿宽系数1

0.5~0.9d b d ?==（b 为齿轮宽度，1d 为小齿轮直径），该齿轮传动平稳，载荷系数 1.2K =。试以体积最小为目标优化设计该对齿轮传动，并要求满足齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度条件。（提示：齿面接触疲劳强度条件为[]1 2.5H E H Z Z u εσσ=≤，齿根弯曲疲劳强度条件为[]112Fa Sa F F KTY Y Y bd m

εσσ=

≤,式中，E Z

Z Y εε、、均为计算系数，本题中可以看作为常数；Fa Sa Y Y 、与大小齿轮的齿数有关）。（P7-19、252-265）

4.如图所示，要将某直径D=120mm 圆棒原料加工成宽和高分别为b 和h 的矩形梁，

并使其抗弯强度达到最大（矩形截面的抗弯模量为2/6W bh =），并要求梁的

宽度b 不小于60mm 。试建立该优化问题的规范化的数学模型。（P7-19、252-265）

5.如图所示，设计一偏置曲柄滑块机构尺寸a 、b 、e ，要求滑块的位移S 与曲柄的转角? 之间满足()S F ?=的关系，要求滑块总行程200mm H =，机构运动过程中的最大压力角max 30α≤?。试建立该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

6.某工厂共有两个车间并生产A 、B 两种产品。每生产A 产品1台的产值为5万元，需占用一车间工作日2天，二车间工作日1天；每生产B 产品1台的产值为3万元，需占用一车间工作日1天，二车间工作日1天。现在一车间可用于生产A 、B 产品的时间为10天，二车间可用于生产A 、B 产品的时间为8天，而且产品B 的最大市场需求量为7台。如何组织安排A 、B 两种产品的合理投产数，以获得最大的总产值。试写出该优化问题的数学模型。（P7-19、252-265）

机械优化设计试题参考答案

一、单项选择题

1～5 CDDBC 6～10 CACDA 11～15 DDCBD 16～20 DBDDA 21～25 DCCDD 26～30 AACCA 31～35 ABCAB 36～40 BCABB 41～45 CDCCC 46～50 CBABC 51～55 CDCAB 56～60 ABCCB

二、填空题

1.设计变量

2.设计变量

3.约束条件

4.目标函数

5.不等式约束条件

6. 等式约束条件

7.等值面

8.一族等值曲线

9.1()k k k k x x d α+=+ 10. 最佳

步长因子k α 11.()1 2.52T k +=--x

12.1k k x x ε+-≤ 13.

()k f x ε?≤ 14.模准则或点距准则 15. 1134()()()()()k k k k k f x f x f x

f x f x εε++--≤≤或 16.-2 17.-3 18.()03T - 19.24?? ??? 20. 42-?? ???

21.2224-?? ?-?? 22.2004?? ???

23.海赛矩阵正定或()0k G >x 24. ()21T 25.()0k f x ?= 26.是极小值，因为它的二阶导数大于零 27.目标函数为凸函数 28. 凸集

29.全域最优解 30. 约束函数为凸函数 31. K-T 条件 32.确定搜索区间

33.区间消去法原理不断缩小区间 34.从高—到低—到高 35.黄金分割法或0.618法 36.二次插值法 37.负梯度方向，)()()(k k x f d -?=

38.牛顿方向，()1()21[()]()[()]()k k k k k k d G x f x d f x f x --=-?=-??或

39.（阻尼）牛顿方向，()1()21[()]()[()]()k k k k k k k k d G x f x d f x f x αα--=-?=-??或

40.共轭梯度法 41.拟牛顿方向，()k k k d H f x =-? 42.k H 必须为对称正定

矩阵,即0T k

k k g H g > 43.相互共轭，1

()0k k k d G x d += 44.线性规划问题 45.约束可行域凸多边形的一个顶点 46.单纯形法和修正单纯形法 47.可行方向法或广义简约梯度法均可 48. 3103T

??= ???

x 49.最差点 50.下降条件51.内点惩罚函数法 52. 惩罚函数法 53.混合惩罚函数法 54.非劣解或有效解 55.主要目标法 56. 线性加权法或分目标乘除法、功效系数法均可

57.协调曲线法 58.离散变量优化方法 59. 离散惩罚函数法 60. 加速优化设计收敛，提高计算的稳定性

三、简答题

1.答：数学模型的三要素是设计变量、约束条件和目标函数，数学表达式为：

?????<===≤∈)p ..,.1,2,(k 0)()

,,2,1( 0)( )(min n h m u R f k n x x g s.t.x x u L

2.答：点距准则，值差准则（函数值下降量充分小时），梯度准则。

3.答：1）极值点处于多角形的某一顶点上；

2）极值点处于等值线的中心；

3）极值点处于约束曲线与等值线的切点上；

4）极值点处于两个约束曲线的交点上。

4.答：求解优化问题的基本解法有解析解法和数值解法。

解析法：通过对函数求导求极值，利用古典变分原理和拉格朗曰乘子法等求出优化解。

数值计算法（迭代法）———利用函数在某一局部区域的某种性质（函数值,一阶或二阶导数），来定下一步的搜索方向与步长，并调优逼近到函数极值点或最优点———基本解法。

5.答：

6.答：

7.答：)(x f 为n 维欧氏空间中一个凸集D 上的函数，若对任何实数)10(≤≤αα与

及D 域中任意两点1x 与2x 存在如下系：

，则称函数f(x)是定义在凸集D 上的凸函数。

8.答：凸规划有如下性质：

1）给定一点0x ，则集合{})()(0x f f x D ≤=x 为凸集。当目标函数为二元函数时，

等值线表现为大圈套小圈；

2）可行域

为凸集； 3）凸规划的局部最优解就是全域最优值解。

9.答：

几何意义: 在约束极值点*x 处，函数)(x f 的负梯度一定能表示成所有起作

用约束在该点梯度的非负线性组合。

10.答：它是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，具体方法

d d x d ?-?+?+=??→?),(),(lim )()0(2)0(12)0(21)0(10)0(x x f x x x x f f 22)0(11)0(cos )(cos )(θθx f x f ??+??=x x 2211)()()()()()(x x f x x f f f (k)k k ???+???+=x x x x +???????????+?????+???+2222)(22121)(22121)(2)()(2)(21x x f x x x x f x x f k k k x x x []1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-{}()0,1,2,,j D g j m =≤=x x **1*()()0 (1,2,)()0 (1,2,,)

0 (1,2,,)m j j i i i j j j

g f i n x x g j m j m μμμ=???+==?????==??≥=???∑x x x

是：把原来目标函数()f x 改造成如下形式的新目标函数：

把作为一个新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，所得结果就是在满足约束条件下的原目标函数()f x 的极值点。

11.答：确定初始搜索区间；确定最优步长因子。

12.答：

整段长与较长段比例等于较长段与较短段长度之比：

13.答：1）试探法：按给定的规律来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅考

虑加快区间缩短速度，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法。

2）插值法：可以根据某些点处的函数值、一阶导数、二阶导数等，构造

一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法，如二次插值法。

14.答：用一个二次多项式来逼近目标函数，然后求该二次多项式的极小点，逐

次拟合，以达到精度为止，在[a,b]内取

三点使

，并使，作二次插值多项式：求的极小点即为新的插入点。

15. 答：最速下降法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，

越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海赛矩阵及其逆矩阵，维数高时数量比较大。

16. 答：

梯度法特点：梯度法——“最速下降法”，搜索路线曲折，开始收敛速度较快，越接近极值点，收敛速度越慢；梯度法具有线性收敛速度。

17.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖

于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就1()()()l

k k k F f h λ==+∑x,λx x )(λx,F 1::(1)λλλ=-210

λλ+-=...6180339887.02

15=-=λ123,,ααα123a b ααα≤<<≤123()()()f f f ααα><2210)(ααα?+?+=a a a P ()P α()()()()()()()()()()()()

k k k k k k k k k x f x f x x x f x x ???-=??-=++αα11或

是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

18. 答：1）k H 必须是正定对称矩阵，才能保证拟牛顿法搜索方法是函数下降的

方向。

2）要求构造的变尺度矩阵具有简单的迭代公式。

3）k H 必须满足拟牛顿条件。

19.答：坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿

坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。它把多变量的优化问题轮流地转化为单变量的优化问题，因此这种方法又称为变量轮换法。

20.答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概

率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的x 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X,重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。

21.答：反射、扩张、收缩和压缩。

22.答：可行方向应满足可行和下降两个条件。

23.答：可行条件：在一个或几个起作用约束处，要求方向d (k )和所有起作用约

束的梯度夹角均大于等于90°

下降条件：满足下降条件的方向d k 应和目标函数在x k 点处梯度的夹角大于90°。

24. 答：将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结

合形成新的目标函数---惩罚函数。求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解。

四、分析计算题

1. 解：由题意知方向余弦为)sin ,(cos αα

)

4sin(2sin cos sin )2(cos )2(sin )1,1(cos )1,1()1,1()1,1()

1,1(π

αα

α+=+=-+-=+=??x y y x f f l f

y x 所以（1）当24值时，方向导数达到最大πα=

；（2）当45π

α=时，方向导数达到最小值2-； 0)]([)()(

机械优化设计复习题及答案

机械优化设计复习题 .单项选择题 1. 一个多元函数F X 在X*附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为( ) A. i F X =0 B. F X = 0, H X 为正定 C. H X* R0 D. 'F X* ]=0, H X* 为负定 2. 为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于 n 1 乞K 乞2n D. n 乞K 乞2n — 1 A . K _n 1 B. K _2n C. n维问题来说，复合形的顶点数K应() 3. 目标函数F ( x) =4x2+5X；，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x计3x2-6=0,则目标函数的极小值为( ) A 1 B. 19.05 C. 0.25 D. 0.1 4. 对于目标函数 F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x _0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式①(X,M(k))为()。 A. ax+b+M (k){min :0,c+x : }2, MT 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min :0,c+x : }2, MT 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max [c+x,0 ] }2, M(k)为递增正数序列 hn D. ax+b+M (k){max [c+x,0 ] }2, MT 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19. B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5. 黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是( )。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间[X1,X3] 上为单峰函数，X2为区间中一点，X4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如 X4- X2>0,且 F(X4)>F(X 2),那么为求F(X) 的极小值，X4点在下一次搜索区间内将作为( )° A.x 1 B.x 3 C.X 2 D.X4 7.已知二元二次型函数F(X)= 】X T AX ，其中A=12, 则该二次型是()的。 2 _2 4 A. 正定 B. 负定 C. 不定 D. 半正定 8. 内点罚函数法的罚因子为( )。 A. 递增负数序列 B. 递减正数序列 C.递增正数序列 D. 递减负数序列 9. 多元函数 F(X)在点X*附近的偏导数连续，'、F(X*)=0且H(X*)正定，则该点为 F(X)的

《机械优化设计》习题与答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(，则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是

机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p

-机械优化设计复习试题与答案

机械优化设计复习题一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（） A ．() *0F X ?= B. ()*0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()*0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的（）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（）。

《机械优化设计》习题及答案

机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向与数值。解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表

示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值

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百度文库《机械优化设计》复习题及答案一、填空题、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即

~机械优化设计复习试题与答案

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机械优化设计复习题一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（） A ．()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2- 6=0,则目标函数的极小值为（） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列

(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案

第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是设计变量、目标函数和约束条件。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的参数的选择及其指标的确定。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的早期故障阶段、偶然故障阶段和耗损故障阶段。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈下降趋势。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映工程实际问题的基础上力求简洁。 6.系统的可靠性模型主要包括串联模型、并联模型、混联模型、储备模型、复杂系统模型等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为，Hession 矩阵为。（2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是确定设计；机械可靠性设计则为概率设计。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而降低，且其值要比可靠度最低的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是耗损型失效。 11. 机械可靠性设计揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的寿命疲劳强度等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从正态分布。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是建立搜索方向，模型求解两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是确定搜索方向。 18.多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据

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机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵为2442-?? ? ? -?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。 5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。 7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解释

机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321；（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型：

机械优化设计复习题全集

一、填空题 1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为_______________。 2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。 3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。 4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。 5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6. 函数12 T T x Hx B x c ++的梯度为_________。 7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。 8. 设G 为n n ?对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足 ()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。 9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。 10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。 11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间 [][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间_________。 13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。 14. 牛顿法搜索方向k d =()() 21()k k f x f x --??，其计算是大，且要求初始在级极小点附近位置。 15. 将函数()21 12121210460f x x x x x x x =+---+表示成的形式_______。 16. 存在矩阵H ，向量1d ，2d ，当满足()0T i j d Hd =向量1d 和向量2d 是关于H 共轭方向。

机械优化设计题目答案

1－1．简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[] 1 2 T n x x x x = 使 ()min f x →且满足约束条件 ()0 (1,2, )k h x k l == ()0 (1,2, )j g x j m ≤= 利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足 ()0 (1,2, ) j g x j m ≤=和 ()0 (1,2, )k h x k l ==的设计点集合为R ,即Ｒ为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x R f x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。在实际优化问题中,对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化 ()min f x →或目标函数极大化 ()max f x →。由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。１-２.简述优化设计问题的基本解法。（不要抄书,要归纳) 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂,因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,并通过试验来验证;或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算),并根据试验计算结果的比较,逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此,它是实际问题中常用的方法,很受重视。其中具体方法较多,并且目前还在发展。但是,应当指出,对于复杂问题,由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来,只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似,那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义? 答:二元函数f(x １,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式 ?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????= ????=?21]2 1[)0(并称它为函数f （x1，x2）在x0点处的梯度。假设?? ????=2cos 1cos θθd 为D 方向上的单位向量,则有d T x f xo d f )0(?=?? 即函数f （x1,x2）在x ０点处沿某一方向d 的方向导数 xo d f ??等于函数在该点处的梯度)0(x f ?与d 方向单位向量的内积。梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模就是函数变化率的最大值。梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2－2.求二元函数 212 2212122),(x x x x x x f +-+=在T x ] 0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。解;由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向,这里用单位向量p 表示,函数变化率最大和数值时梯度的模) 0(x f ?。求f （ｘ1，x ２）在ｘ0点处的梯度方向和数值,计算如下： ()??? ???-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f

《机械优化设计》试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 _____________ 。

机械优化设计习题集

机械优化设计复习题一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（）（P19-21） A ．设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（）（P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题（P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目标函数值（）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（）的方向（P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（）（P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件（）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定

机械优化设计复习题_试题卷

一多选题 1. 迭代过程是否结束通常的判断方法有（） A. 设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小 B. 相邻两点目标函数值之差充分小 C. 目标函数的导数等于零 D. 目标函数梯度充分小 E. 目标函数值等于零 2. 能处理含等式约束条件的有约束设计优化方法有( )。 A. Powell法 B. 变尺度法 C. 内点罚函数法 D. 外点罚函数法 E. 混合罚函数法 3. 组成优化设计数学模型基本要素是（） A. 设计变量 B. 目标函数 C. 极值 D. 设计空间 E. 约束条件 4. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( ) A. 若Hessian矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点 B. 若Hessian矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点 C. 若Hessian矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点 D. 若Hessian矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点 E. 若Hessian矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点 5. 对于所有非零向量X，若X T MX>0，则二次型矩阵M是（） A. 三角矩阵 B. 负定矩阵 C. 正定矩阵 D. 非对称矩阵 E. 对称矩阵 6. 下面关于梯度法的一些说法，正确的是( )。 A. 只需求一阶偏导数

B. 在接近极小点位置时收敛速度很快 C. 在接近极小点位置时收敛速度很慢 D. 梯度法开始时的步长很小，接近极小点时的步长很大 E. 当目标函数的等值线为同心圆，任一点处的负梯度才是全域的最速下降方向二填空题 1. 判断是否终止迭代的准则通常有______________、______________ 和______________三种形式。 2. 在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker点虽是约束的极值点，但______________是全域的最优点。 3. Powell法是以________________________方向作为搜索方向。 4. 罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是_________________________ 罚函数法。 5. 阻尼牛顿法的构造的迭代格式为_______________________________________________________________________________ ______ 。 6. 用二次插值法缩小区间时，如果，，则新的区间（a,b）应取作_____________，用以判断是否达到计算精度的准则是_____________________________________。 7. 外点惩罚函数法的极小点是从可行域之________________________向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之_____________向最优点逼近。 8. 多元函数F（x）在点x*处的梯度▽F（x*）＝0是极值存在的__________________________________________________条件。 9. 函数在不同的点的最大变化率是______________。 10. 优化计算所采用的基本的迭代公式为__________________________________________________。 11. 当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是______________中一个曲面。 12. 函数，在点处的梯度为______________。 13. 当有n个设计变量时，目标函数与n个设计变量间呈__________________________维空间超曲面关系。 14. 函数F（x）=3x+x-2x1x2+2在点（1，0）处的梯度为______________。三问答题 1. 满足什么条件的方向是可行方向满足什么条件的方向是下降方向作图表示。

机械优化设计题库

、绪论 1. 思考题 1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？ 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ? 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？ 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可行域是什么？ 7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ? 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？ 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题？ ②是线性规划还是非线性规划？ 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。 4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5?在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6?有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7?欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8?—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。 9?某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题? 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所