北师版数学高二-第二章2排序不等式学案

§2排序不等式

[自主学习]

1．顺序和、乱序和、逆序和的概念

设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n，bj1，bj2，…，bj n(其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式)，为b1，b2，…，b n的任一排列方式．

则s1＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为顺序和；

s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n称为乱序和；

s3＝a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为逆序(倒序)和．

2．排序不等式

(1)定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc.

此式当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．

(2)定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组

a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n.

则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n≥(逆序和)a1b n＋a2b n ＋…＋a n b1.

－1

其中j1，j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝a n(或b1＝b2＝…＝b n)时取“＝”号．

[合作探究]

1．定理2中哪个和最大？哪个和最小？

提示：顺序和最大，逆序和最小．

2．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？

提示：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.

利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的

情况

已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

(1)1bc ≥1ca ≥1ab

； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c

. 本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a ≥b ≥c ，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．

(1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1

b ，又

c >0，

∴1c >0，从而1bc ≥1ca

. 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c

，

∵a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab .从而1bc ≥1ca ≥1

ab .

(2)由(1)1bc ≥1ca ≥1

ab ，于是由“顺序和≥乱序和”得，

a 5

b 3

c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5

a 3

b 3

＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3(∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3)≥ c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c

.

利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．

1．设0

a 1

b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1

c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1. 证明：因为0

又因为0≤b 1≤b 2≤…≤b n ；故由排序不等式得：

b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n ≥

c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n ≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n

于是得：ln(a 1b 1a 2b 2…a n b n )≥ln(a 1c 1a 2c 2…a n c n )≥ln(a 1b n a 2b n －1…a n b 1)． 又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)为单调增函数，

于是a 1b 1a 2b 2…a n b n ≥a 1c 1a 2c 2…a n c n ≥a 1b n a 2b n －1…a n b 1.

需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况

＋a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3

ab

.

解答此题需要假设a ≥b ≥c 推出a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1

a ，再利用排序不等式进行论证．

不妨设a ≥b ≥c ， 则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1

a .

故由排序不等式，得

a 2·1c ＋

b 2·1a ＋

c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1

c ，① a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1

c

，② (①＋②)÷2可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c .

又∵a 3≥b 3≥c 3且1bc ≥1ac ≥1

ab ，

由排序不等式，得

a 3·1bc ＋

b 3·1ca ＋

c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1

bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1

ca ，④ (③＋④)÷2可得

a 3bc ＋

b 3ca ＋

c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b . 综上可知，

a ＋

b ＋

c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab

.

在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证．

2．已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：

2????a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2

a ＋

b ≥b 2

＋c 2

b ＋

c ＋a 2

＋c 2

a ＋c ＋a 2

＋b 2

a ＋

b .

证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， ∴a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c .

∴a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1a ＋c ≥1a ＋b .

由排序不等式得：

a 2

b ＋

c ＋b 2

a ＋c ＋c 2

a ＋

b ≥

c 2

b ＋

c ＋a 2

a ＋c ＋

b 2

a ＋

b ， a 2

b ＋

c ＋b 2

a ＋c ＋c 2

a ＋

b ≥b 2

b ＋

c ＋c 2

a ＋c ＋a 2

a ＋

b . 两式相加得： 2? ????a 2b ＋

c ＋b 2a ＋c ＋c 2

a ＋

b ≥

b 2＋

c 2b ＋c ＋a 2＋c 2a ＋c ＋a 2＋b 2a ＋b

. 3．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋2

3＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n

.

证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，

且b 11c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2

a 3＋…＋a n －1a n ≥

b 1

c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n .

∴原不等式成立．

本课时考点常以解答题的形式考查排序不等式在证明不等式中的应用．

设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证： a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n

a 1 ≥a 1＋a 2＋…＋a n .

本题考查排序不等式及不等式的性质，证明不等式等基础知识，考查推理论证及求解能

力．

由所证不等式的对称性，不妨设0

n

，1a 1≥1a 2≥…≥1a n

. 1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，…，1

a n

的一个排序， 由“乱序和≥逆序和”得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ， 即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1

≥a 1＋a 2＋…＋a n .

一、选择题

1．设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，P ＝a 21b －

11

＋a 22b －

12＋…＋a 2n b －

1

n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则P 与Q 的大小关系是( )

A ．P ＝Q

B ．P ＞Q

C ．P ＜Q

D ．P ≥Q

解析：设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，

可知a 21≥a 22≥…≥a 2n ，a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11.

由排序不等式，得

a 21

b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 21a －11＋a 22a －12＋a 2n a －1n ， 即a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 1＋a 2＋…＋a n

. ∴P ≥Q ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立． 答案：D

2．设a ，b ，c 都是正数，M ＝bc a ＋ca b ＋ab

c ，N ＝a ＋b ＋c ，则M ，N 的大小关系是( )

A ．M ≥N

B ．M ＜N

C ．M ＝N

D ．M ≤N

解析：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1

a .

由排序不等式，知

ab ·1c ＋ac ·1b ＋bc ·1a ≥ab ·1b ＋ac ·1a ＋bc ·1

c ，即M ≥N .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 答案：A

3．已知a ，b ，c 都是正数，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( ) A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a B ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a C ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a D ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a

解析：根据排序不等式，取两组数a ，b ，c 和a 2，b 2，c 2.不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2.所以a 2·a ＋b 2·b ＋c 2·c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．

答案：B

4．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )

A ．P ≥Q

B ．P ＝Q

C ．P ≤Q

D ．不能确定

解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有 Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A ＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R

＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c

2＝P .

答案：C 二、填空题

5．设c 1，c 2，…，c n 为正数a 1，a 2，…，a n 的某一排列，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n

c n

与n 的大小

关系是________．

解析：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1

a n

，因为c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2…，

a n 的一个排列，所以1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1

a n 的一个排列，故由排序不等式：逆序和

≤乱序和，得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n ≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n ，即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n

c n ≥n ，当

且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＞0时等号成立．

答案：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n

c n

≥n

6．已知a ，b ，c 都是正数，则a b ＋c ＋b c ＋a ＋c

a ＋

b ≥________.

解析：设a ≥b ≥c ≥0， 所以a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 所以1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .

由排序原理，知

a

b ＋

c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a b ＋a ，① a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b ，② ①＋②，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3

2.

答案：32

7．设a ，b ，c 为正数，则a 12bc ＋b 12ca ＋c 12

ab ________a 10＋b 10＋c 10(填≥，>，≤，<)．

解析：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ca ≥1ab

， 故由排序不等式“顺序和≥乱序和”，得 a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11

a .① 又因为a 11≥

b 11≥

c 11，1a ≤1b ≤1c

.

再次由排序不等式“逆序和≤乱序和”，得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11

a .② 由①②得

a 12bc ＋

b 12ca ＋

c 12

ab ≥a 10＋b 10＋c 10. 答案：≥

8．设a ，b ，c ∈R ＋，则1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc __________1

abc .

解析：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2， ∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2·b ＋b 2·a ＝ab (a ＋b )． 同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1

c 3＋a 3

＋abc ≤ 1

ab (a ＋b )＋abc ＋1bc (b ＋c )＋abc ＋1

ca (c ＋a )＋abc

＝

1a ＋b ＋c ·(1ab ＋1bc ＋1ca )＝1abc .

答案：≤ 三、解答题

9．在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π

2.

证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC . 以上三式相加，得

3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得

aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c

≥π

3，① 又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )．

得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②

由①②得原不等式成立．

10．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c

≥(abc )3a b c

++.

证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有： a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，

以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c ) 即lg(a a b b c c

)≥a ＋b ＋c

3

·lg(abc )，

故a a b b c c

≥(abc )3a b c

++.

11．已知0<α<β<γ<π

2

，求证：

sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>1

2(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

证明：∵0<α<β<γ<π

2

，

且y ＝sin x 在(0，π2)为增函数，y ＝cos x 在(0，π

2)为减函数，

∴0cos β>cos γ>0. 根据排序不等式“乱序和>逆序和”得

sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>1

2(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．