人教版数学八年级竞赛教程之运用公式法进行因式分解附答案

1 运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式

a a

b b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()

补充：欧拉公式：

a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()

=++-+-+-12

222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=

（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）

A. ()()()a b a b -++22

B. ()()a b a b -++2

C. ()()a b a b -++2

D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()()

(完整版)因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+

题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--

因式分解之套公式法

因式分解之套公式法 【知识精读】 1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 常用公式有：平方差公式 a b a b a b 2 2 -=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2 2 2 2±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3 3 2 2 ±=±?+()()μ 2. 补充：欧拉公式： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3 3 3 2 2 2 3++-=++++---()() = ++-+-+-1 2 222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 【典例精析】 （一）运用公式分解因式 1. 把a a b b 22 22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2 2 22-- 分析：a a b b a a b b a b 2 2 2 2 2 2 22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时 要注意分解一定要彻底。 2.因式分解：x xy 3 2 4-=________。 解：x xy x x y x x y x y 3 2 2 2 4422-=-=+-()()()

最新七年级数学下册因式分解题型归纳总结

8.4 因式分解 一、知识梳理 1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2. 提公因式法 多项式ma ＋mb ＋mc ，各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式． 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc 可得ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）．这样就把ma ＋mb ＋mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3. 公式法 （1）分解因式的平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- （2）分解因式的完全平方公式法： 222)(2b a b ab a ±=+± 二、例题精讲 题型一：提公因式法 【例1】分解因式 （1）c ab b a 323128+-； （2）)()()(y x c x y b y x a -+---； 【变式1】分解因式 （1）y x xy x 2221239-+- （2）)2()2(x y y x x ---

题型二：公式法 【例2】下列各式：①22y xy x -+-；②222 121b ab a ++；③2244b a ab +--；④xy y x 129422-+； ⑤22363y xy x +-，能用完全平方公式分解的有 .（填序号） 【变式2】因式分解. （1） 224 1b ab a +- （2） 222y x xy --- （2） 9)(6)(2++++b a b a （4）22)(9)(25b a b a --+ （5）22)()(y x y x --+ （6）14-x 【例3】若多项式42++mx x 能用完全平方公式分解因式，则m 的值为 . 【变式3】若222)32(924y x y kxy x +=+-，则k 的值是 . 题型三：分组分解法 【例4】因式分解. （1）b a b a 24422-+- （2）1222-+-y xy x （3）22269y y x x -++ （4）by ax b a y x 222222++-+-

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．

因式分解公式法、十字相乘法教师版

2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()

运用公式法因式分解

运用公式法因式分解 一、教学目标 1. 认知目标：分解因式的意义. 2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式. 二、教学重难点 1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式. 2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解. 三、教学过程 （一）温故 1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 乘法公式： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2 (a+b)2＝a2+2ab＋b2 3. 练一练 （二）知新 例1. 把下列各式分解因式： (1) (a+b)2 -1 (2) x4-1 (1) (a+b)2 -1

解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解. 解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1) (2) x4-1 解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底. x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1) 小练手1: (1) (x-3y)2-4x2 (2) 9(a+2b)2-4(a-b)2 例 2. x3-xy2 分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。 x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y) 小小总结： 分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止. 小练手2 (x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2 例 3.把下列各式分解因式： (1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2 (1) m2-12m+36 解析：直接利用完全平方差公式

初一数学 因式分解练习题

1 因式分解练习 1、分解因式 (1) bc ac ab a -+-2 (2) 1+--y x xy (3) y y x x 3922--- (4) yz z y x 2222--- 2、分解因式 1) 3223y xy y x x --+ 2) b a ax bx bx ax -+-+-22 3) 181696222-+-++a a y xy x 4) a b b ab a 4912622-++- 5) 92234-+-a a a 6) y b x b y a x a 222244+-- 7) 222y yz xz xy x ++-- 8) 122222++-+-ab b b a a 9) )1)(1()2(+---m m y y 10) )2())((a b b c a c a -+-+ 3、分解因式 1) 24142 ++x x 2) 36152+-a a 3) 542-+x x 4) 22-+x x 5) 1522--y y 6) 24 102--x x 4、分解因式： 1) 6752-+x x 2) 2732+-x x 3) 317102 +-x x 4) 10 1162++-y y 5、应用因式分解计算 （1）2 998998016++ （2）987987987987 1232644565251368136813681368 ? +?+?+? 6、已知2 (1)()1a a a b ---=-，求 22 2 a b ab +-的值。 思考题： 1、设n 为整数，用因式分解说明2 (21)25n +-能被4整除。 2、在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。

初中常用因式分解公式

初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。

浙教版七年级数学下册 4.1《因式分解》教案

《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

因式分解公式法完全平方公式教案

第 1 单元（章）第课时编制人纪丽娜审核人吕翠珍审批人于忠翠 课题：公式法 使用人备注课型：新授课第 2 课时 【教学目标】： 知识与技能： 使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接 用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地 知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差 公式或完全平方公式进行分解因式． 过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分 解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 情感态度价值观： 培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体 会因式分解在数学学科中的地位和价值。 【学情分析】:学生在七年级下册第一章中已经学习过完 全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式 逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历 过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。 【教学重点难点】：会用公式法分解因式. 【教法与学法】：自主探究、合作归纳 【教具】：多媒体 【板书设计】： 公式法（2） 复习回顾例1．把下列各式因式分解

形如2 22b ab a+ ±的多项式 称为完全平方式例2．把下列各式因式分解：完全平方式可以进行因式分解 a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2 【教学活动过程】： 第一环节复习回顾 活动内容： 活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容． 第二环节学习新知 活动内容： 49 14 )1(2+ +x x 2 23 6 3)1(ay axy ax+ +

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式： 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

初一数学下册因式分解.doc

实用标准文档 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需 的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍 了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式： （ 4）立方差公式： 例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1

因式分解公式大全

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有

因式分解 公式法(一)

因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？

练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2

数学：12.3运用公式法教案(鲁教版七年级下)

12.3运用公式法 ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法 引导自学法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§12.3 A） 第二张（记作§12.3 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解 ［师］1.请看乘法公式

（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a 2－ b 2=（a +b ）（a －b ） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？ ［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解. ［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 ［师］请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）. 9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2 =（3 m +2n ）（3 m －2n ） 3.例题讲解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x 2; （2）9a 2－4 1b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2 =（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（2 1b ）2 =（3a +21b ）（3a －2 1b ）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3 －8x . 解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2 =［3（m +n ）］2－（m －n ）2

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则． 那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）． 即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

公式法因式分解练习

运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）

精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解08 因式分解--运用公式法

第08课 因式分解--运用公式法 知识点： 平方差公式： 完全平方公式： 平方差公式基础练习： (1)x 2-4=x 2－22= ( )( ) (2)x 2－16 =( )2-( )2= ( )( ) (3)9-y 2=( )2-( )2= ( )( ) (4)1-a 2 =( )2-( )2= ( )( ) 完全平方公式基础练习： (1)a 2+6a+9=a 2+2× × ＋( )2＝( )2 (2)a 2-6a+9=a 2-2× × ＋( )2＝( )2 辨析，下面那些多项式可以使用公式法。 平方差： （1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2 （4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2 完全平方：（1）a 2－4a +4 （2）x 2+4x +4y 2 （3）4a 2+2ab +14 b 2 （4）a 2－ab +b 2 （5）x 2－6x －9 （6）a 2+a +0.25 例1.把下列各式分解因式. (1)11002-x (2)92+-x (3)2225401.0y x - (4)x x -5 (5)m m 43- (6)2633x x - (7)33ab b a - (8)222)21()2(y y x --- 例2.把下列各式分解因式. (1)122++m m (2)41292+-x x (3)110252+-x x

(4)9)(6)(2++-+n m n m (5)1)4(2)4(222++-+x x (6))1(4)(2-+-+y x y x 例3.用公式法计算下列各题. (1)22)412()435(- (2)1198992++ (3)22201420144026-2013+? (4)11435-1156522?? 例4.把下列各式分解因式. (1))()(22x y y y x x -+- (2))()(22y x b y x a --- (3)814-x (4)4416y x - (5)2232ab b a a +- (6)x x x +-232 (7)xy y x 4)(2+- (8)22216)4(x x -+ (9)42242b b a a +- 例5.已知3 12=-y x ,2=xy ，求43342y x y x -. 例6.已知3,5==+ab b a ，求32232ab b a b a ++. 例7.对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

初一数学下册因式分解

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：))((2 2 b a b a b a -+=- （2）完全平方公式：2 2 2 2 2 2 )(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ （3）立方和公式： （4）立方差公式： 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy