四面体的Milosevic不等式

∑

n

i =1a α1+α2

i

=n

c k +1

α1+α2k

α2

.则

∑n

i =1

a α

1i c -a

k

α2i

≥

n k c k +1

α1-k α2k

2

.

证明:令x i =a α

2i (c -a k α2i

),则

x k

i =a k

α2i (c -a k

α2i )

k

=

1

k

(ka k α

2i )(c -a k α2i )…(c -a k α

2i )

≤1

k

ka k α2

i

+(c -a k α

2i )+…+(c -a k

α2i )

k +1k +1

=

1

k kc

k +1

k +1

.

则x i ≤

1

k kc k +1

k +1

1k

=k

c k +1

k +1

k

,

　a α

1i c -a k α2i =a α1+α

2

i a α2i (c -a k

α2i )　=

a α1

+α

2

i x i

≥

a α1+α

2

i k

c

k +1

k +1k

.

注意到∑n

i =1

a

α1+α2

i

=n

c k +1

α1+α2k

α2

,即得

欲证.

参考文献:

[1]　安振平.一个极值问题的推广.中等数学,1996(4)

四面体的Milosevic 不等式

张 宋国斌

(甘肃省金昌市第一中学,737100)

文[1]收录了由https://www.wendangku.net/doc/2515002740.html,osevic 在1987年

提出并证明的一个不等式:

设△ABC 的三边长为a 、b 、c ,相应边上的高为h a 、h b 、h c ,外接圆半径、内切圆半径分别为R 、r .则

a h

b +h c

+b h c +h a

+c h a +h b

≥93R 2(4R +r )

.(1)

本文介绍四面体的Milosevic 不等式.定理　设四面体A 1A 2A 3A 4的四面面积

为S 1、S 2、S 3、S 4,相应面上的高为h 1、h 2、h 3、

h 4,外接球半径、内切球半径分别为R 、r .则

S 1h 2+h 3+h 4+S 2

h 1+h 3+h 4

+

S 3h 1+h 2+h 4+S 4h 1+h 2+h 3≥63r

2

R

.(2)

证明:记四面体A 1A 2A 3A 4的体积为V .

∵V =

13S 1h 1=13S 2h 2=1

3S 3h 3=1

3

S 4h 4,∴式(2)的左边

=

S 13V S 2+3V S 3+3V S 4+

S 2

3V S 1+3V S 3+3V

S 4

　+

S 33V S 1+3V S 2+3V S 4+

S 4

3V S 1+3V S 2+3V

S 3

=

1

3V S 1S 2S 3S 4S 2S 3+S 2S 4+S 3S 4

　+

S 1S 2S 3S 4

S 1S 3+S 1S 4+S 3S 4　+S 1S 2S 3S 4

S 1S 2+S 1S 4+S 2S 4　+

S 1S 2S 3S 4

S 1S 2+S 1S 3+S 2S 3

≥1

3V ?S 1S 2S 3S 4?(1+1+1+1)2M

,其中M =S 2S 3+S 2S 4+S 3S 4+S 1S 3+S 1S 4

+S 3S 4+S 1S 2+S 1S 4+S 2S 4+S 1S 2+S 1S 3+S 2S 3

=2(S 1S 2+S 1S 3+S 1S 4+S 2S 3

+S 2S 4+S 3S 4).

由文[2]得

S 1S 2S 3S 4≥3

8

3

34

2

V 8

3.

∴

S 1S 2S 3S 43V ?16

M

≥383

3

4

2

V 8

3?13V ?

16

M

=

1

M

?3113

V 53

=

311

3

V

2

MV

13

.

2

2中等数学

∵V =1

3r (S 1+S 2+S 3+S 4),

∴V 2=19

r 2(S 1+S 2+S 3+S 4)2

.

而(S 1+S 2+S 3+S 4)

2

≥8

3

(S 1S 2+S 1S 3+S 1S 4+S 2S 3

+S 2S 4+S 3S 4)=43

M ,∴311

3

V 2

MV 13≥1M ?3113×19r 2?43M ?1V 1

3

=4×32

3r 2

?1V

13

.

由文[3]得

V ≤8273R 3

.

故4×32

3

r 2

?1

V 13

≥4×323

r 2

?32×316R

　=

63r

2

R

.

式(2)获证.

参考文献:

[1]　M itrinovic ,V olence ,陈计.专著《几何不等式的新进展》

的补遗(Ⅰ).宁波大学学报(理Ⅰ版),1991(2):88.[2]　陈　计,叶中豪.初等数学前沿.南京:江苏教育出版

社,1996,4:264.

[3]　匡继昌.常用不等式.长沙:湖南教育出版社(第二

版),1993,5:296.

一个不等式的推广

田彦武

(宁夏固原第一中学,756000)

从许多相关杂志上都能见到如下不等式:

若x 、y ∈R +

,

则(x 2+y 2

)1

2

>(x 3+y 3

)13

.

(1)下面笔者给出式(1)的两个推广:

推广1:若x 、y ∈R +

,m 、n ∈N 且n >m ,

则　(x m +y m )1m >(x n +y n

)1

n .

(2)推广2:若a 1,

a 2,…,a n ∈R +

,且s

>t >0,则

∑

n

i =1

a

t i

1t

>

∑

n

i =1

a

s i

1s

.(3)

事实上

,式(3)又是式(2)的推广,因此我们只证明式(3).

证明:所证不等式等价于下列不等式

∑n i =1a

t i

1t

∑n

i =1

a

s i

1s

>1,

即　

a s

1

∑

a s

i

t

s

+…+

a s

n

∑

a s

i

t s

1t

>1.(4)

令

a s

1

∑a s

i

1s =b 1,…,

a

s n

∑

a s

i

1s =b n ,则

b i

>0,且∑b

s

i

=1.而式(4)即为∑

b

t i

1t

>1Ζ

∑

b t

i >1.

(5)

∵b i >0,且

∑b

s i

=1,

∴0b s

i (s >t ).从而,

∑

b t

i >

∑

b s

i =1.

式(5)成立,故式(3)成立.

一个并集命题的注记

龚辉斌

(浙江省义乌市第二中学,322000)

文[1]给出并证明了如下命题:

命题　若A 1∪A 2∪…∪A m ={a 1,a 2,…,a n },则集合A 1,A 2,…,A m 的组数是(2m -1)n 组.

显然,在(2m -1)n

组集合组中,一些集合组含有空集.我们不禁要问:非空集合组究竟有多少组呢?作为文[1]的补充,本文给出下面的命题.

命题3

　若A 1∪A 2∪…∪A m ={a 1,a 2,…,a n },且A 1,A 2,…,A m 均为非空集合,则集合A 1,A 2,…,A m 的组数为

3

22002年第3期

初中数学专题 不等式及其解集试题及答案

第九章不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 要点感知1 用__________表示大小关系的式子,叫做不等式,用__________表示不等关系的式子也是不等式. 预习练习1-1 下列式子中是不等式的有__________. ①3<4；②2x2-3>0；③5y2-8；④2x+3=7；⑤3x+1<7. 1-2 “b的1 2 与c的和是负数”用不等式表示为__________. 要点感知2使不等式__________的未知数的__________叫做不等式的解. 预习练习2-1以下所给的数值中，是不等式-2x+3＜0的解的是( ) A.-2 B.-1 C.3 2 D.2 2-2 不等式3x<9的解的个数有( ) A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个 要点感知3一个含有未知数的不等式的__________,组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做__________. 预习练习3-1(20**·宿迁)如图，数轴所表示的不等式的解集是__________. 知识点1 不等式 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 3.用不等式表示： (1)x的2倍与5的差不大于1； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5； (4)a的20%与a的和大于a的3倍. 知识点2 不等式的解集 4.下列说法中，错误的是( )

A.x=1是不等式x＜2的解 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x＞9的解集是x=-3 D.不等式x＜10的整数解有无数个 5.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是( ) A.x>-2 B.x<-2 C.x≥-2 D.x ≤-2 6.如图所示，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的-3.6和x，则( ) A.9＜x＜10 B.10＜x＜11 C.11＜x＜12 D.12＜x＜13 7.在下列各数：-2，-2.5，0，1，6中，不等式2 3 x>1的解有__________；不等式- 2 3 x>1的 解有__________. 8.由于小于6的每一个数都是不等式1 2 x-1<6的解,所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法 对不对？ 9.x与3的和的一半是负数，用不等式表示为( ) A.1 2 x+3>0 B. 1 2 x+3<0 C. 1 2 (x+3)<0 D.1 2 (x+3)>0 10.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.下列说法正确的是( ) A.2是不等式x-3<5的解集 B.x>1是不等式x+1>0的解集 C.x>3是不等式x+3≥6的解集 D.x<5是不等式2x<10的解集 12.下列不等式中，4,5,6都是它的解的不等式是( ) A.2x+1>10 B.2x+1≥9 C.x+5≤10 D.3-x>-2 13.(20**·长春改编)不等式x＜-2的解集在数轴上表示为( )

学习资料不等式及其解集教学设计.doc

《9.1.1不等式及其解集》教学设计 课程名称《 9.1.1不等式及其解集》 授课人教学对象七年级科目数学课时安排1课时 一、教材分析 1教材的地位和作用 本章是新人教版七年级下册第九章的教学内容，此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用 1.2本节课的教材内容 本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用. 1.3 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解。 (2) 学生已初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能。 (3) 学生已初步具备探究和比较的能力 二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观） 教学目标： 2.1知识与技能：了解不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式。使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。 2.2数学思考：感受生活中的数学问题，发展学生的观察、归纳、猜测、验证能力，领悟数学与现实世界的必然联系。 2.3解决问题：通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验。通过分组活动探索不等式的解与解集，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。 2.4情感态度与价值观：认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益。 教学重点：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三．教学策略选择与设计 教法：根据本节课教学内容和七年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，揭示事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心，

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲

《穿针引线法》的教学设计

《一元二次不等式的应用（1）》教学设计 高二数学备课组 何 泽 2009/11/1 课题：一元二次不等式的应用（ 1） 教学目标： （1）知识与技能：能够把分式不等式转化为一元二次不等式求解，掌握“穿针引线法”求解分式不等式和简单的高次不等式。 （2）过程与方法：通过尝试与归纳得出基本方法，并熟练应用。（3） 态度、情感、价值观：体会数学知识的联系，感受划归思想。 教学重点：求解分式不等式和简单的高次不等式教学难点：在不等式转化过程中如何保证等价性教学过程：一、引入课题1、小练习：解不等式①（x+1）(2x-1)<0②（x-2）(1-x)<0 ③（2x+1）(x+2) 0④（1-2x ）(1+x)0 （学生练习完成，老师点评。师生共同复习“三个一元二次”的关系）2、思考：解不等式 ①x+1<02x-1 ②x-2<01-x ③2x+10 x+2 ④ 1-2x 0 1+x 二、新课1、对于练习题 2中这样的分式不等式，我们可以考虑等价变形去掉分母， 思路（1）： 对分母分正负情况讨论，去分母，注意不等式是否改变方向；（略） 思路（2）： 可以利用不等式的性质给不等式左右同时乘以分母的完全平方。①可化为（x+1）(2x-1)<0②可化为（x-2）(1-x)<0 ③可化为（2x+1）(x+2) 0且2x ④可化为（1-2x ）(1+x)0且1 x 试着与练习1中的不等式比较，解略 概括：原来将这些不等式去掉分母，我们就相当熟悉了！尤其是第二种方法更简单，不过不等式含等号的时候要特别注意等价性啊！2、上面练习题中的 2组不等式，有个共同特点那就是不等式的右边为 0，左边可以 分解因式。下面的不等式也具有这样的特点，又该如何解决？例题1 解不等式：(1)(2)(3) x x x

人教版七年级数学下册《不等式及其解集》拔高练习

《不等式及其解集》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 2．（5分）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（） A．B．C．D． 3．（5分）据天气预报2018年4月12日大田县的最高气温是32℃，最低气温是21℃，则当天大田县气温t（℃）的变化范围是（） A．t＞21B．t＜32C．21＜t＜32D．21≤t≤32 4．（5分）若不等式组的解为x＜m，则m的取值范围为（）A．m≤1B．m＝1C．m≥1D．m＜1 5．（5分）若关于x的不等式mx+1＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（m ﹣1）x＞﹣1﹣m的解集是（） A．x B．x C．x D．x 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）已知关于x的不等式（5a﹣2b）x＞3b﹣a的解集是x＜，则6ax＞7b 的解集是． 7．（5分）不等式组的解集是3＜x＜a+2，若a是整数，则a等于． 8．（5分）若关于x的不等式（2m﹣n）x+3m﹣4n＜0的解集是x＞，则关于x 的不等式（m﹣4n）x+2m﹣3n＜0的解集是．

9．（5分）若不等式组没有解，则m的取值范围是． 10．（5分）已知不等式式组无解，则a的取值范围为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a*b＝b（a﹣b）﹣b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2*5＝5×（2﹣5）﹣5＝﹣20．（1）求2*（﹣5）的值； （2）若x*（﹣2）的值大于﹣6且小于9，求x的取值范围，并在如图所示的所画的数轴上表示出来． 12．（10分）在数轴上表示下列不等式 （1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3． 13．（10分）在数轴上表示下列不等式： （1）x＞2 （2）﹣2＜x≤1． 14．（10分）已知不等式≤． （1）求该不等式的解集； （2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值．15．（10分）已知关于x的不等式≤的解是x≥，求m的值．

9.1.1 不等式及其解集(教案)

第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.1.1不等式及其解集 【知识与技能】 1.掌握不等式的概念； 2.理解不等式的解、解集；会在数轴上表示不等式的解集； 3.掌握一元一次不等式的概念； 4.会列出简单实际问题中的不等式. 【过程与方法】 从实例出发，引出不等式的概念，类比于方程的解理解不等式的解.进而理解不等式的解集，并学会在数轴上表示不等式的解集，类比于一元一次方程的概念理解一元一次不等式的概念. 【情感态度】 不等式是现实世界中普遍存在的关系，体验数学来源于实际生活又反过来服务于实际生活，提高同学们学习兴趣. 【教学重点】 不等式的概念，不等式的解、解集的概念，在数轴上表示不等式的解集. 【教学难点】 理解不等式的解集及在数轴上表示不等式的解集. 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成 立？76，75，72，70哪些是不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？ 它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？

基本不等式知识点归纳.doc

基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).

不等式及其解集练习题资料讲解

不等式及其解集练习题 一、填空题： 1．用“＜”或“＞”填空： ⑴4_____－6； (2)－3_____0；(3)－5_____－1；(4)6＋2______5＋2；(5)6＋(－2)_____5＋(－2)；(6)6×(－2)______5×(－2)． 2．用不等式表示： (1)m －3是正数______； (2)y ＋5是负数______； (3)x 不大于2______； (4)a 是非负数______； (5)a 的2倍比10大______； (6)y 的一半与6的和是负数______； (7)x 的3倍与5的和大于x 的3 1 ______； (8)m 的相反数是非正数______． 3．直接想出不等式的解集： （1） x ＋3＞6的解集 ; （2）2x ＜12的解集 ; （3）x －5＞0的解集 ; （4）0.5x ＞5的解集 ； 4.当X_______时,代数式2X-5的值为0, 当X_______时,代数式2X-5的值不大于0. 5．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是_____________. 6．当x_______时,代数式2x －5的值为0, 当x_______时,代数式2x －5的值不大于0. 7．不等式－5x ≥－13的解集中，最大的整数解是__ . 8．不等式x+3≤6的正整数解为_______________. 9．不等式－2x ＜8的负整数解的和是______. 10．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_______________. 4 3210-1 二、选择题： 1.下列不等式的解集,不包括-4的是( ) A.X ≤-4 B.X ≥-4 C.X ＜-6 D.X ＞-6 2.不等式x －3＞1的解集是( ) A.x ＞2 B. x ＞4 C.x ＞－2 D. x ＞－4 3.不等式2X ＜6的非负整数解为( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个 4.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A. X ≥3 B. X ＞3 C. X ＜3 D. X ≤3 5.下列说法中,错误的是( ) A.不等式x ＜5的整数解有无数多个 B.不等式x ＞－5的负整数解有有限个 C.不等式－2x ＜8的解集是x ＜－4 D.－40是不等式2x ＜－8的一个解 6．下列说法正确的是( ) A.x ＝1是不等式－2x ＜1的解集 B.x ＝3是不等式－x ＜1的解集 C.x ＞－2是不等式－2x ＜1的解集 D.不等式－x ＜1的解集是x ＞－1 7．下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<- B.5 1 72< C.(－6.4)2＜(－6.4)3 D.-｜－27｜＜－（－3)3 8．“a 的2倍减去b 的差不大于－3”用不等式可表示为( )． (A)2a －b ＜－3 (B)2(a －b )＜－3 (C)2a －b ≤－3 (D)2(a －b )≤－3 9．如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． A. 1>b a B.1

9.1.1 不等式及其解集教案

9.1.1 不等式及其解集教案1 【教学目标】： 1、了解不等式概念；理解不等式的解集。 2、能用数轴表示不等式的解集。 【教学重点】： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 【教学难点】： 正确理解不等式解集的意义. 【教学过程】： 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成立？76，75，72，70哪些是 不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？ 【归纳结论】 1.定义：用“＜”或“＞”或“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.

基本不等式知识点归纳

向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式

1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）

关于不等式与不等式组练习试题包括答案x

第九章不等式与不等式组 测试1不等式及其解集 学习要求: 知道不等式的意义；知道不等式的解集的含义；会在数轴上表示解集. (一)课堂学习检测 一、填空题： 1?用“V”或“>”填空： (1)4 _____ —6； (2) — 3 _____ 0； G) — 5 ______ — 1 ； @)6+2 ________ 5+ 2； (5)6 + ( - 2) _________ 5+(—2)； (6) _____________ 6 X (一 2) 5 X (- 2). 2. 用不等式表示： (l) _________________ m — 3是正数 ___________________ ； (3)x 不大于2 _______ ； (5)8的2倍比10大 ________ : (7) x 的3倍与5的和大于x 的1 (8) m 的相反数是非正数 _______ 3. 画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集: (2)x2 — 4. (3) 二、选择题: ⑵y+5是负数 _________ ； (4) a 是非负数 _______ ； (6)y 的一半与6的和是负数

4?下列不等式中，正确的是() (B)J 丄 7 5 8 4

5?“a的2倍减去b的差不大于一3”用不等式可表示为（） (A)2 a- b<- 3 C )2 a — bW — 3 三、解答题：?)2( a- b) <~ 3 ?)2( a- b) W- 3 6.利用数轴求出不等式一2< xW4的整数解.

-、填空题: ⑴一一: ⑵-5 ； 1112 (3) 1-31⑷ a2+ 1 (5)0 1 x 1 + 4：(6) a+ 2 a. 3 “％的_与5的差不小于一4的相反数”,用不等式表示为 2 二、选择题： 9.如果&、b表示两个负数，且a b是有理数，下列各式屮成立的是 （A）若a> b,则a2> b2 C）若b,则丨a I H I b I 12.I a I + a的值一定是（）. （A）大于零小于零 三、判断题： 13.不等式5-x> 2的解集有无数多个. 14.不等式x>- 1的整数解有无数多个. 15.不等式 - 2 X 4-的整数解有0、23 16.若a> b> 0> …ab c,则一0. C (B) 一2V xW 4 0) — 2W xW 4 ()? ?)若a2> b2,则a> b 0)若丨a I H I b I ,贝ij dHb C)不大于零0)不小于零 () () 1、2、 3、4. () () 四、解答题: （二）综合运用诊断

《不等式及其解集》教学设计

《不等式及其解集》教学设计 授课教师：广州市晓园中学数学科胡海宁 一、教学目标 1.知识与技能： 了解不等式及一元一次不等式概念。理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集。 2.过程与方法： （1）通过类比等式的对应知识,探索不等式的概念和解,体会不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 （2）经历把实际问题抽象为不等式的过程,能够列出不等关系式。初步体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型,培养学生的建模意识。 3.情感态度与价值观： 通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索,培养学生的知识迁移能力和建模意识,加强同学之间的使用与交流。 二、教学重点、难点 1.重点：不等式、不等式的解、解集的概念、不等式解集的表示。 2.难点：不等式解集的理解与表示。 三、教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意 图 导思:问题导入引导探究 引言：自然界和社会存在中，两量之间, 存在着等量关系，但更多的是——不等量关系。 举例：请同学们说出下列两量之间的关系： 1、a表示正数，b表示负数 2、汽车的速度m（千米/时），低于80（千米/ 时） 3、李明的体重48（千克）不等于王平的体重 51（千克） 4、a2是一个非负数. 5、m+1不大于0. 6、高速路上汽车速度x（千米/时），不得超过120 （千米/时） 【小组讨论】 回答：1.a>b 2.m<80 3.48≠51 4. a2≥0 5. m+1≤0 6.x≤12 通过实例 创设情 境，培养 学生的观 察能力， 激发他们 的学习兴 趣。

导学1分析归纳探究新知 （一）不等式的概念 通过上面的实际例子师生共同归纳得出不等式 的完整概念。 用不等号“>”,“<”，“≥”,“≤”,“≠”表示大小 关系的式子，我们把它们叫做不等式. 运用新知： 思考：下列式子中哪些是不等式？ ①－1﹤3 ②－x+2=4 ③3x ≠4y ④ 6 ﹥2 ⑤2x －3 ⑥2m ﹤n 例：【讲解】用不等式表示:（导P85 3） （1）a比6小; （2）x与1的和大于2 ； （3）a的2倍小于b ; （4）x的2倍与y的差不小于0; （5）a是正数; 巩固练习：用不等式表示: （导P85 8） 1. x的4倍与7的差大于3; 2. a、b两数的平方和大于4; 3. x与y差不等于0; 4.a、b两数的和不小于6; 5.y的倒数与1的和大于x的一半. 小结：常用不等关系 不等于：大于：不大于: 小于：不小于: 超过：不超过：至少：至多：正数： 负数: 非正数: 非负数: 学生仔细观察并归 纳出不等式的概 念。 【学生讲解】 讲解为什么②⑤不 是不等式。 【回答】 （1）a＜6； （2）x+1＞2； （3）2a＜b； （4）2x-y≥0； （5）a＞0 【小组轮流回答】 1. 4x-7＞3； 2.a2+b2＞4,； 3.x-y≠0 4. a+b≥6； 5. 【小组讨论得到常 用的不等关系】 引导学 生仔细观 察并归纳 出不等式 的意义。 在甄别 不等式的 过程中， 加深对不 等式意义 的理解。 运用新 知，通过 列不等 式，进一 步加深对 不等式的 理解。 学生 小结常用 的不等关 系，巩固 常用不等 关系 导学2类比探究不等式的解、不等式的解集 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就 是方程的解”，同样,能使不等式成立的未知数的 值叫做不等式的解. 判断下列数中哪些是不等式2x+1>6的解: -4 , -1 , 0 , 2.5, 2.6, 10 ,100 （导P85 4） 思考：①你还能找出这个不等式的其他解 吗?请举出例子。 ②这个不等式有多少个解呢? 含有未知数的不等式的所有解组成这个不 等式的解集。 学生回顾方程的解 同学积极思考，回 答老师提出的问题 预设回答： ①有其他的解，例 如：3、4、5…… ②有无数个解。 注意：不等式的解 让学 生通过计 算、动手 验证、动 脑思考， 初步体会 不等式解 的意义以 及不等式 解与方程 解的不同 之处。 x y2 1 1 1 > +

精品穿针引线法

穿针引线法解高次不等式 设123()()()()()n F x k x a x a x a x a =---- (0)k > 解不等式()0F x >（或()0F x <）时，将方程()0F x =的根123,,,,n a a a a 从小到大依次 标到数轴上，作为针眼.用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼.数轴上方的部分为正，即为；数轴下方的部分为负，即为不等式()0F x <的解. 注意：⑴要求x 的最高次项系数为正；（即：每一个x 的系数为正，且0k >，若0k <， 则不等式两边同时乘以1-，并改变不等号的方向） ⑵二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过） ⑶()0()()0()f x f x g x g x >?>，()0()()0() f x f x g x g x 的解，数轴下方的部分为不等式 ()0F x <的解； ⑺不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0； ⑻穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等. Eg1.解关于x 的不等式： ⑴(1)(2)(3)(4)0x x x x ----< ⑵(1)(2)(3)(4)0x x x x ----≤ 分析：设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----

《不等式及其解集》同步练习题.doc

9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1） 知识点： 1、不等式：含有符号“＜、＞、≥、≤、≠”的式子 2、不等式的解：使含有未知数的不等式成立的值 3．不等式解集及其数轴表示法 ⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8． (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如： 同步练习： 1.用 连接的式子叫做不等式； 2.当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A 、x ＋3＞5 B 、x ＋3＞6 C 、x ＋3＞7 D 、x ＋3＞8 3.下列说法中，正确的有 （ ） ①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解，④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠0 D 、x ＜0 5.下列说法中，正确的是 （ ） A 、x=3是不等式2x>5的一个解 B 、x=3是不等式2x>5的解集 C 、x=3是不等式2x>5的唯一解 D 、x=2是不等式2x>5的解 6.x 与3的差的2倍小于x 的2倍与3倍的差，用不等式表示为 （ ） A 、2（x-3）<(x-3) B 、2x-3<2(x-3) C 、2（x-3）<2x-3 D 、2x-3<1/2(x-3) 7.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A 、13cm B 、6cm C 、5cm D 、4cm 9.1.1《不等式及其解集》同步练习题（1）答案： 1.符号“＜、＞、≥、≤、≠” 2-7 ABDACB 0010-1 -2

人教版七年级数学下册9.1.1不等式及其解集教案

精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 9．1不等式 9．1.1不等式及其解集 1．了解不等式的概念； 2．会用不等式表示简单问题的数量关系；(重点) 3．理解不等式的解、解集及解不等式．(难点) 一、情境导入 有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？ 二、合作探究 探究点一：不等式的概念 下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有() A．5个B．4个C．3个D．1个 解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B. 方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 探究点二：列简单不等式 根据下列数量关系，列出不等式： (1)x与2的和是负数； (2)m与1的相反数的和是非负数； (3)a与－2的差不大于它的3倍； (4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍． 解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于．

解：(1)x ＋2<0； (2)m －1≥0； (3)a ＋2≤3a ； (4)a 2＋b 2≥2ab . 探究点三：不等式的解与解集 【类型一】 对不等式解的理解 下列不是不等式5x －3<6的一个解的是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：分别把四个选项中的值代入不等式，能使不等式成立的数分别为5×1－3＝2<6，5×(－1)－3＝－8<6，5×(－2)－3＝－13<6，而5×2－3＝7>6不能使不等式成立，故选B. 方法总结：判断某个数值是否为不等式的解的方法：可直接将数值代入不等式的左右两边看不等式是否成立．如果成立，则是不等式的解；反之，则不是． 【类型二】 对不等式解集的理解 下列说法中，正确的是( ) A ．x ＝2是不等式x ＋3<4的解 B ．x ＝3是不等式3x <7的解 C ．不等式3x <7的解集是x ＝2 D ．x ＝3是不等式3x >8的解 解析：A 不正确，因为当x ＝2时，x ＋3<4不成立；B 不正确，因为不等式3x <7的解集是x <73 ，当x ＝3时，不等式3x <7不成立；C 不正确，因为不等式3x <7有无数多个解，而x ＝2只是其中一个解，因此只能说x ＝2是3x <7的解，而不能说不等式3x <7的解集是x ＝2；D 正确，因为当x ＝3时，不等式3x >8成立．故选D. 方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数．未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立． 三、板书设计 1．不等式的概念 2．用不等式表示数量关系 3．不等式的解、解集 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方

基本不等式知识点归纳教学内容

基本不等式知识点归 纳

基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；

细说“穿针引线法”

★032 细 说 穿 针 引 线 法 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 “穿针引线法”，又称“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。适用于分析可分解的多项式函数、可分解的分式函数的符号情况，进而用于解相应高次不等式，研究相应函数的单调性。 如果一个n 次多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=?+?++?+ 可分解为: ()()()()1212()i k r r r r n i k f x a x x x x x x x x =?-?-?-?- 其中1212, ,()0i k k i x x x r r r n x f x r <<<+++== 叫作的重根，n a 是最高次数项系 数，可正也可负，以后每个因子内x 的系数均化为“1”——这一点很重要。 做好如上工作后，那么，我们可以用“穿针引线法”来分析其符号情况。 第1步，标根：在数轴上从左到右依次标出12k x x x ，，， （在标的时候注意区别“空心”与“实心”） 第2步，确定入口：最高次数项系数0n a >时，从数轴的右上． 方入， 0n a <时，从数轴的右下． 方入； 第3步，确定出口：接第2步，用自由曲线自右向左依次连向各根所在点，注意“奇重根穿 过去，偶重根弹出来”。 第4步：读图：数轴上方线条所覆盖的x 范围表示()0f x >，数轴下方线条所覆盖的x 范围表示()0f x <，每个根处()0f x = 实例1:求下列不等式的解集 2(1)3(3)(1)(2)0x x x +--≥ 解:见右图1,得解集为(,3]{1}[2,)-∞-??+∞ 注意：这时所有零点是“实心”的 2(2)(3)(1)(2)0x x x -+--≥ 解: 见右图2，得解集为[3,2]- 注意：这时所有零点是“实心”的. 2(3)(3)(1)(2)0x x x +--< 解: 见右图3，得解集为(3,1)(1,2)-? 注意：这时所有零点是“空心”的. 2 (3)(1) (4) 0(2)x x x +-≥- 解: 见右图4，得解集为(,3][1,2)(2,)-∞-??+∞ 这一点很重要，尤其是在分析 导函数符号情况时用得上。