(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题
1. 试求极限
.4
2lim
)0,0(),(xy
xy y x +-→
2. 试求极限.)()
cos(1lim 222222)
0,0(),(y x y x e
y x y x ++-→
3. 试求极限.1
sin 1sin )(lim )0,0(),(y
x y x y x +→
4. 试讨论.lim 4
22
)0,0(),(y x xy y x +→
5. 试求极限
.1
1lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x
6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y
u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x
e y = 求
.dx
dz 8. 求抛物面 2
22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程.
9. 求5362),(2
2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.
10. 求函数)2(),(2
2y y x e y x f x
++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容.
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线
0333=-+axy y x
所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程
0),,(323=-++=z y x xyz z y x F
在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23
(,,)f x y z xy z =, 方程
2223x y z xyz ++=.
(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
??
?=+-+-==--+=0
1),,,(,
0),,,(222xy v u v u y x G y x v u v u y x F 在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。 19. 设方程组
22221,
0.
u v x y u v xy ?+++=?
-+=? 问在什么条件下,
(1)由方程组可以唯一确定,u v 是,x y 的可微函数? (2)由方程组可以唯一确定,u x 是,v y 的可微函数?
20. 求球面50222=++z y x 与锥面2
22z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。
21. 求曲面3z
e z xy -+=在点0(2,1,0)M 处的切平面与法线方程.
22. 抛物面z y x =+2
2
被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
23. 叙述含参量x 的正常积分定义.
24. 叙述含参量x 的正常积分的连续性定理的内容. 25. 叙述含参量x 的无穷限反常积分定义.
26. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.
27. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则. 28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容. 31. 求).0(ln 1
>>-=
?
a b dx x
x x I a
b 32. 计算积分 1
01sin ln (0,0)ln b a
x x
dx a b x x -??>> ?
??
?. 33. 计算
).,0(sin sin 0
a b p dx x
ax
bx e I px
>>-=?+∞
-
并由此计算
0sin sin (), ax
x I a dx I dx x x
+∞
+∞==?
?
34. 利用公式
2
2
x e dx +∞
-=
?
, 计算
2
()cos x r e rxdx ?+∞
-=?.
35. 利用可微性计算关于参数a 的含参量反常积分
sin ()(0,0)kx
k ax
I a e dx k a x
+∞
-=>≥?. 并由此计算
0sin sin (), ax
x I a dx I dx x x
+∞
+∞==?
?
36. 计算?
L
ds y ||，其中L 为单位圆周122=+y x .
37.计算
?-+-++L
dz x z dy z y dx y x )()()(，其中L 为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段.
38.求积分()()()
3
4
4
3
2
,5254sin C B A x y dx x y x y dy -+-+?,其中曲线(),C A B 与x 轴围成
的面积为S .
39.求()2332
1323413C x y y x dx x xy x dy ??++++++ ??
???,其中2222:1x y C a b +=. 40.求全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(2
22+++++的原函数. 41.求(),D
x y dxdy +??
其中D 由2
,y x y x ==围成. 42.求
()2
22V
x
y z dxdydz ++???,其中V 由222z x y =+,()22220x y z R z ++=≥所围成
的有界闭区域.
43.求2
x y x y a b a b
??
+=- ???()0,0a b >>与0y =所围成区域D 的面积.
44.求2
2222sin D
x y dxdy a b ??+ ?????,其中D 是22221x y a b +≤. 45.求V
zdxdydz ???,其中V 由()()22222
1,403z x y x y z z =+++=≥所围成的有界闭区
域. 46.求S zd σ??,其中()2
222:0S x
y z a h z a ++=<<<.
47.求
S
zdxdy ??
,S 是2222
(0,0)x y z a x y ++=≥≥,取球面的外侧为正侧. 48.设()f u 具有连续导数,求
2232
3312sin S y y x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z ????????? +++++ ? ? ? ? ????????????ò. 其中S 为()22222222222
,,0y x z y x z a y x z b a b +=++=++=<<所围立体的表面的
外侧.
49.求
3323111sin cos 2333x y S x z dydz y x dzdx z e dxdy +??????+++++ ? ? ??
???????ò,其中S 是(){}
2
222,,V x y z x
y z a =
++≤的表面,取外侧为正侧()0a >.
50.计算积分??++=S
dxdy zx dzdx yz dydz xy I 2
2
2
，其中S 是椭球面122
2222=++c z b y a x 的
外侧.
1. 试求极限.4
2lim
)0,0(),(xy xy y x +-→
解
(,)(0,0)(,)lim
lim
x y x y →→=
(,)1
lim 4x y →== .
2. 试求极限 .)()cos(1lim
2
22
2
22)
0,0(),(y x y x e
y x y x ++-→
解 由
2222
22
2
22222222(,)(0,0)(,)(0,0)22sin
1cos()2lim lim ()4()2x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→+-++=?++
1
002=?= . 3. 试求极限.1
sin 1sin )(lim )0,0(),(y
x y x y x +→
解 由于
(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim ()sin sin lim (sin sin sin sin )x y x y x y x y x y x y x y →→+=+ ,
又 2
y x =,
所以
(,)(0,0)11lim
sin sin 0x y x x y →=，(,)(0,0)11lim sin sin 0
x y y x y →= ,
所以
(,)(0,0)11lim ()sin sin 0x y x y x y →+= .
4. 试讨论.lim 4
22
)0,0(),(y x xy y x +→
解 当点),(y x 沿直线x y =趋于原点时，
23
2424
000
lim lim 0x x y x xy x x y x x →→=→==++.
当点),(y x 沿抛物线线2
y x =趋于原点时，
2
2424440001lim lim 2y y x y xy y x y y y →→=→==++ .
因为二者不等，所以极限不存在.
5. 试求极限.1
1lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x
解 由
22
(,)(,)(0,0)
lim
lim
x y x y →→=
=(,)(0,0)
lim 1)2
x y →= .
6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y
u x u ???? 解 令,,xy w y x v =+=
则
u f v f w f f y x v x w x v w ???????=+=+??????? u f v f w f f x
y v y w y v
w ???????=+=+??????? 7. ,arctan xy z =,x
e y = 求.dx
dz
解 由
'
21()1()dz y xy dx xy =++
2221(1)()1()1x x x
x x e x e xe xe x e +=+=++. 8. 求抛物面 2
22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程。
解 由于
4,2x y
z x z y
==,
在)3,1,1(M 处 ,4)3,1,1(=x z 2)3,1,1(=y z ，
所以, 切平面方程为
4(1)2(1)3x y z -+-=-.
即 4230x y z +--=
法线方程为
113
421x y z ---==-. 9. 求5362),(2
2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.
解 由
001,
2,
(1,2)5
x y f ==--=
(,)46,(1,2)0x x f x y x y f =---= (,)23,
(1,2)0
y y f x y x y f =----=
(,)4,(1,2)4xx xx f x y f =-= (,)1,(1,2)1
xy xy f x y f =--=-
(,)2,
(1,2)2
yy yy f x y f =--=-.
得
22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.
10. 求函数)2(),(2
2y y x e y x f x
++=的极值. 解 由于
222222(2)(22)0x x x x f e x y y e e x y y =+++=+++=
22(1)0
x y f e y =+=
解得驻点)1,1(--，
222222(22),
(22),2x x xx x xy x
yy f e x y y e f e y f e =++++=+=
2
2
(1,1)0,
(1,1)0,(1,1)2xx xy yy A f e B f C f e -=--=>=--==--=
2
20,0AC B A -=>>
所以 )1,1(--是极小值点, 极小值为 .2)1,1(2
--=--e f 11. 叙述隐函数的定义.
答: 设R X ?，R Y ?，函数.:R Y X F →? 对于方程0),(=y x F , 若存在集合X I ?与Y J ?，使得对于任何I x ∈，恒有唯一确定的J y ∈，使得(,)x y 满足方程0),(=y x F ,则称由方程0),(=y x F 确定了一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数。一般可记为
)(x f y = .,J y I x ∈∈ 且成立恒等式
(,())0,.F x f x x I ≡∈
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:
（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为内点的某一区域2
R D ?上连续;
（ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 内存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,
则在点0P 的某邻域D P U ?)(0内，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间
),(00αα+-x x 内的函数（隐函数）)(x f y =，使得
1o ()00y x f =,),(00αα+-∈x x x 时)())(,(0P U x f x ∈且()0)(,≡x f x F ；
2° ()x f 在),(00αα+-x x 内连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:
（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为内点的某一区域2R D ?上连续; （ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 内存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,
又设在D 内还存在连续的偏导数),(y x F x ，则由方程0),(=y x F 所确定的隐函数在
)(x f y =在其定义域),(00αα+-x x 内有连续导函数，且
.)
,()
,()('y x F y x F x f y x -
=
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设)(x f y =在0x 的某邻域内有连续的导函数'()f x ，且00)(y x f =; 考虑方程
.0)(),(=-=x f y y x F
由于
0),(00=y x F , 1=y F , 000(,)'(),x F x y f x =-
所以只要0'()0f x ≠，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程(,)()0F x y y f x =-=能确定出在0y 的某邻域)(0y U 内的连续可微隐函数)(y g x =，并称它为函数)(x f y =的反函数.反函数的导数是
11
'().'()'()
y x
F g y F f x f x =-
=-
=-
15. 解: 显然axy y x y x F 3),(3
3
-+=及y x F F ,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知
道，在使得()()
03,2
≠-=ax y y x F y 的点()y x ,附近，方程033
3
=-+axy y x 都能确定隐
函数)(x f y =；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得
22''0x y y ay axy +--=,
或
()()2
2'0.x
ay y ax y -+-= （1）
于是
2
2'.ay x y y ax
-=- ().02≠-ax y （2）
再对（1）式求导，得：2
2'(2')'()''0,x ay yy a y y ax y -+-+-= 即
22''()2'2'2.y y ax ay yy x -=-- （3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
3332
22
22(3)
2'2'2.()a xy xy x y axy ay yy x y ax --+---=-
再利用方程就得到
323
2''.()
a xy
y y ax =-- 16. 解: 由于z y x z F F F F F F ,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(≠-==处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(y x f z =，且可求得它得偏导数如下：
,31223xyz x yz F F x z z x -+=-=?? .313223xyz
y xz F F y z z y -+=-=?? 17. 解: (1)令2
2
2
(,,)3F x y z x y z xyz =++-, 则有
23,23,23 x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=-.
由于0()0,,, x y z F P F F F =均连续,且
00()()10y z F P F P ==-≠,
故在点0(1,1,1)P 附近由上述方程能确定隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =. (2)当0y F ≠时, 由定理知
2323x x y F x yz
y F y xz
-=-
=--;
同理, 当0z F ≠时, 由定理知
2323x x z F x yz z F z xy
-=-
=--. 于是求得
23312323
(,(,),)22(23),
23 x x x f x y z x z f f y y z xyz y xyz x yz y z y xz
=+=+-=--
2322132223
(,,(,))33(23).
23 x x x f x y z x y f f z y z xy z z xy z x yz y z z xy
=+=+-=--
并且有
(1,(1,1),1)1x f y =-, (1,1,(1,1))2x f z =-.
18. 解: 首先，,0)()(00==p G P F 即0P 满足初始条件. 再求出F ，G 的所有一阶偏导数
,2,2,1,2v F u F F x F v u y x ==-=-= .1,1,,=-=-=-=v u y x G G x G y G
容易验算，在点0P 处的所有六个雅可比行列式中只有
.01
14
4)
,(),(0
=--=
=
??P v
x v x P G G F F v x G F
因此，只有,x v 难以肯定能否作为以,y u 为自变量的隐函数. 除此之外，在0P 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
如果我们想求得),(),,(v u y y v u x x ==的偏导数，只需对方程组分别关于v u ,求偏导数，得到
??
?=---=--,
01,
022u u u u xy yx y xx u （1）
?
?
?=--=--.01,
022v v v v yx xy y xx v （2） 由（1）解出
.222,21222y
x yu
x y y x xu x u
u -+-=-+=
由（2）解出
22
2122,.22v v xv x yv
x y x y x y
--=
=--- 19. 解: 设
2222(,,,)1F x y u v u v x y =+++-,
(,,,)G x y u v u v xy =-+.
(1) ,F G 关于v u ,的雅可比行列式是
22(,)2()11(,)
u v F G u v u v ?==-+-?, 当u v ≠-时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
,u v 是,x y 的可微函数;
(2) ,F G 关于,x u 的雅可比行列式是
22(,)2()1(,)
x u F G x uy y x u ?==-?, 当x uy ≠时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
,x u 是,y v 的可微函数.
20. 解: 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，
222),,(z y x z y x G -+=. 它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：
,6=??x F ,8=??y F ,10=??z F
,6=??x G ,8=??y G ,10-=??z
G 和
160),(),(-=??z y G F ， (,)120(,)
F G z x ?=?， 0),()
,(=??y x G F .
所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：
5
12041603-=
-=--z y x ， 即
3(3)4(4)0,
5.
x y z -+-=??
=? 法平面方程为
0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即
034=-y x .
21. 解: 令(,,)3z
F x y z e z xy =-+-, 则
(,,),(,,),(,,)1 z x y z F x y z y F x y z x F x y z e ===-,
故0
1,2,0 x
y
z
M M M F F F ===, 因此曲面在点0(2,1,0)M 处的法向量为
(1,2,0)n =r
,
所求切平面方程为
1(2)2(1)0x y ?-+?-=,
即
240x y +-=.
法线方程为
21
,120,x y z --?=?
?
?=?
即
230,
0,x y z --=??
=?
22. 解: 这个问题实质上就是要求函数
222),,(z y x z y x f ++=（空间点(,,)x y z 到原点(0,0,0)的距离函数的平方）
在条件02
2
=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令
()()22222(,,,,)1L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-.
对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有
?????
????=-++==-+==+-==++==++=.
01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为
,33
11
7,3353±-=±
-=μλ 与 .32,2
3
1μ=±-=
=z y x （1） （1）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}
1,),,(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，从而必存在最大值与最小值），故由
2f ? 所求得的两个值359μ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-. 23. 叙述含参量x 的正常积分定义.
答: 用积分形式所定义的这两个函数
[].,,),()(?∈=d
c
b a x dy y x f x I （1）
与 [].,,),()()
()
(?
∈=
x d x c b a x dy y x f x F , （2）
通称为定义在[]b a ,上含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.
（1）式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数。当
x 取[]b a ,上某定值时，函数),(y x f 则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时
),(y x f 在[]d c ,可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为)(x I ，就有[].,,),()(?∈=d
c b a x dy y x f x I .
（2）式的意义如下：一般地，设
),(y x f 为定义在区域
{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上的二元函数，其中)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上的
连续函数，若对于[]b a ,上每一固定的x 值，),(y x f 作为y 的函数在闭区间[])(),(x d x c 上
可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有
[].,,),()()
()
(?
∈=x d x c b a x dy y x f x F
24. 叙述含参量x 的正常积分的连续性定理的内容.
答: 设二元函数),(y x f 在区域
{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(
上连续，其中)(),(x d x c 为[]b a ,上的连续函数，则函数
?
=)
()
(),()(x d x c dy y x f x F （6）
在[]b a ,上连续.
25. 叙述含参量x 的无穷限反常积分定义.
答: 设二元函数),(y x f 定义在无界区域{}
(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对于
[]b a ,上每一固定的x 值，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
(1)
都收敛, 则它的值是x 在[]b a ,上取值的函数, 当记这个函数为()I x 时, 则有
[]()(,),, c
I x f x y dy x a b +∞
=∈?
,
称(1)式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分. 26. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义. 答: 若含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
与函数()(,)c
I x f x y dy +∞
=?
对任给的正数ε，总存在
某一实数,c N >使得当N M >时，对一切[]b a x ,∈，都有 ,)(),(ε<-?M
c
x I dy y x f
即
,),(ε
+∞
M
dy y x f
则称含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛于)(x I ，或简单地说含参量积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛.
27. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
答: 含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总
存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
2
1
(,)A A f x y dy ε
.
28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 答: 设
)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分?N
c
dy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存
在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有
;),(M dy y x f N
c
≤?
)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量
),(,y x g x 一致地收敛于0.
则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛．
29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 答: 设
)
(i ?
+∞
c
dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；
)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上
一致有界，则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛。
30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
答: 设),(y x f 在[][)+∞?,,c b a 上连续，若?
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在[]b a ,上一致收敛，
则)(x I 在[]b a ,上可积，且
.),(),(???
?
+∞+∞
=b
a
c
c
b
a
dx y x f dy dy y x f dx
设),(y x f 在[)[)+∞?+∞,,c a 上连续.若
)
(i ?
+∞
a
dx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，?
+∞
c
dy y x f ),(
关于x 在任何区间[]b a ,上一致收敛； )(ii 积分
?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(与 （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且
.),(),(?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
=a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx
31. 解: 因为
,ln x
x x dy x a
b b
a
y
-=?
所以??=b a y dy x dx I .10 由于函数y x 在[][]b a R ,1,0?=上
满足定理6.19的条件，所以交换积分顺序得到
.11ln 111
a
b
dy y dx x dy I b
a y
b a
++=+==?
??
32. 解: 因为
01lim sin ln 0ln b a
x x x x x +→-??= ???, 01lim sin ln 0ln b a
x x x x x
-
→-??= ??? 所以该积分是正常积分. 交换积分次序, 得
()
1
1100
111sin ln sin ln sin ln ln b a
b
b y y a
a
x x I dx x dy dx x dx dy x x x x -??
????
??=== ? ?
???????
???????
??.
在上面的内层积分中作变换1
ln
u x
=,有 1
(1)20011sin ln sin 1(1)y
y u
x dx e udu x y +∞-+??== ?++??
??, 于是
12011sin ln arctan(1)arctan(1)1(1)b b y a a I x dx dy dy b a x y ??
??===+-+ ???++???
????. 解法二: 取b 为参量, 利用积分号下求导数的方法,有
12011'()sin ln 1(1)b I b x dx x b ??
== ?++??
? 积分上式,可得
()arctan(1)I b b c =++
由于()0I a =,即有arctan(1)c a =-+,于是有
()arctan(1)arctan(1)I I b b a ==+-+.
33. 解: 因为?=-b a xydy x
ax
bx cos sin sin ，所以
?+∞--=0sin sin dx x
ax bx e I px ??+∞-??? ??=0cos dx xydy e b a px ?
?+∞
-=0
cos b
a
px xydy e dx （21）
由于px px e xy e --≤cos 及反常积分?
+∞
-0
dx e px 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量
反常积分
?
+∞
-0
cos xydx e px
在[]b a ,上一致收敛.由于xy e
px
cos -在[][b a ,),0?+∞上连续，根据定理19.11交换积分（21）
的顺序，积分I 的值不变.于是
??
?+==+∞-b a
b
a
px dy y
p p
xydx e dy I 2
20
cos .arctan arctan
p
a p
b -= 在上述证明中，令0=b ，则有
sin ()arctan (0)px
ax a
F p e dx p x p
+∞
-==>?, (22) 由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在0≥p 上一致收敛.于是由定理19.9，)(p F 在
0≥p 上连续，且
.sin )0(0
?
+∞
=dx x
ax
F 又由（22）式
()(0)lim ()lim arctan
sgn .2
p p a I a F F p a p π
++→→==== 在上式中，令1a =，则有2
I π=.
34. 解: 由于2
2
cos x x e rx e
--≤对任一实数r 成立及反常积分?+∞
-0
2
x e 收敛①，所以原积分在
()+∞∞-∈,r 上收敛.
考察含参量反常积分
()
2
2
'
cos sin x x r
e
rx dx xe
rxdx +∞
+∞
--=-?
?, (24)
由于2
2
sin x x xe rx xe
--≤-对一切+∞<<-∞≥r x ,0成立及反常积分?+∞
-0
2
dx xe x 收敛，
根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量积分（24）在()+∞∞-,上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
?
?-+∞→+∞
--=-=A
x A x rxdx xe rxdx xe r 0
'sin lim
sin )(2
2
?
???
? ??-=?--+∞→A x x A rxdx re A rx e 0cos 210sin 21lim 22 ().2
cos 202r r rxdx e r x ?-=-=?+∞- 于是有
()2
ln ln 4
r r c ?=-+,
()24
r r ce
?-
=.
从而()c =0?，又由原积分，()2
00
2
π
?=
=
?
∞
+-dx e x ，所以2
π
=
c ，因此得到
().2
4
2r e r -=
π
?
35. 解: 把含参数a 的反常积分
sin ()(0,0)kx
k ax
I a e dx k a x
+∞
-=>≥?. 中的被积函数关于a 求偏导数, 可得
cos kx e axdx +∞
-?
,
当0k >时, 有
cos kx kx e xy e --≤,
因此,由M 判别法, 0
cos kx e axdx +∞
-?
关于参量0a ≥是一致收敛的,因此对()k I a 可以在积分
号下求导,即
22
0()cos kx k d k
I a e axdx da a k +∞-==+?.
因为(0)0k I =,所以
1
220
1()arctan a
k k a
I a da a k k
==+?
. 于是
000sin sin ()lim lim arctan 2
kx k k ax ax a I a dx e dx x x k π++
+∞
+∞-→→====?
?. 令1a =,有0
sin 2
x I dx x π
+∞
==?
. 36.解：
||L
y ds ?θθθθπ
d 2
2
20
cos sin |sin |+=?
4sin 20
==?π
θθd .
37.解： 直线段的参数方程是：
1032≤≤??
?
??===t t z t y t
x ， 于是，
?-+-++L
dz x z dy z y dx y x )()()(?-+-++=1
)]3(3)32(2)2[(dt t t t t t t
2
771
=
=?tdt . 38.解:原式(),C B A AB
AB
Pdx Qdy Pdx Qdy →
→
+=
+-
+?? y
()0
420b
D
dxdy dx =---+???
42S b =-+
39.解:
()2332
1333C x y y dx x xy dy ??+++ ??
??? ()()2222
3343344D
D
x y x y dx dx ab π??=++-+==??????. 40.解： 由于
dz y zx dy x yz dx z xy x z z y y x d )2()2()2()(222222+++++=++，因此，全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(222+++++的原函数是C x z z y y x +++222.
41.解:(Ⅰ).画出积分区域
y = y x =
o x (Ⅱ).
()
) 1
x
D
x y dxdy dx x y dy +=+???
?
31
22
01322x x x dx ??=+- ????320=.
42.解:
()2
2
2
V x y z dxdydz ++??? 2
224 0
sin R
d d r r dr π
π
θ??=??
??
2
4
4 0
sin R
d d r dr π
π
θ??=???
??[
](5
54
01
2cos 255
R R π
π?π=?-?=. 43.解:
x
(Ⅰ). 由2
x y x y a b a b
??
+=- ???,得22221210x y x xy y a ab b a b ++-+=.
于是2
22224440B AC a b a b ?=-=-=,故2
x y x y a b a b
??+=- ???是抛物线.令0y =,得
0,x x a ==.故2
x y x y a b a b
??
+=- ???与x 轴相交于()()0,0,,0a .
(Ⅱ).令,.x y u a b x y v a b
?+=????-=?? ,则()(),2.
2a x u v b y u v ?
=+????=-??，故
()(),22,222
x x a
a
x y ab
u v
y y b b u v u v ?????===-???-??.
(Ⅲ).
''22D D D ab ab S dxdy dudv dudv ===??????()2 1 12
0 02212u u ab ab ab du dv u u du =?=-=???. 44.解:222
22sin D
x y dxdy a b ??+ ????? 2 122
0 0
sin d r rdr πθ=???
1
2
2
2
0sin r dr π=?2 1
2 01cos 22r dr π-=?1
22011sin 224r r π??=-????4
π
=.
45.解:
V
zdxdydz
???2
2 0
3
r d rdz π
θ=??
?
?
数学建模-微积分模型
第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用
数学建模与计算机关系研究
数学建模与计算机关系研究 【摘要】高等数学与计算机教学具有内在相关性，尤其是在数学建模应用中，根据计算机学科发展来发挥数学建模理论的作用及效果，有助于增强学生对高等数学的理解和应用能力。基于此，本文笔者就从高等数学建模理论与计算机技术的关系研究入手，来阐述建模嵌入在计算机辅助教学中的重要潜力。 【关键词】计算机；高等数学；教学改革；数学建模 1.高等数学与计算机学科发展 有人说，计算机技术的发展可以省去学习数学的麻烦，即便是很多专业计算机教师也抱有同样的想法。然而，对于计算机应用领域及实践中，计算机技术确实给很多从业者带来了便捷与高效，但计算机技术不等于数学，更不能替代数学。从高等数学教学实践来看，对于我们常见的数学概念，如比率、概率、图像、逻辑、误差、机会，以及程序等知识的认识，很多行业都在进行数字化、数量化转变，对数学知识的应用也日益广泛。从这些应用中，数学理论及知识，尤其是数学基本理论研究就显得更为重要。数学，在数学知识的应用中，更需要从练习中来提升对数学知识及概念的理解，也需要通过练习来提升运算能力。如果对数学概念及方法应用的不过，对数学单调性的知识缺乏深刻的认识，就会影响数学知识在实践应用中出现偏差。计算机技术的出现，尤其是程序化语言的应用，使得数学知识在表达与反映中能够依据不同的应用灵活有效、准确的运算，从而减少了不必要的验证，也提升了数学在各行业中的应用效率。 数学软件学科的发展，成为计算机重要的辅助教学的热门领域，也使得计算机技术能够发挥其数学应用能力。在传统的数学教学中，逻辑与直观、抽象与具体始终是研究的矛盾主体，如有些太简单的例子往往无法进行全面的计算；有些复杂的例子又需要更多的计算量。在课堂表现与讲解中，对于理性与感性知识的认知，学生缺乏有效的理解和应用，而强大的计算机运算功能却能够直观的表达和弥补这些缺陷，并依托具体的演示过程中来营造概念间的差异性，帮助学生从中领会知识及方法。在计算机的辅助教学下，教师利用对数学理论课题或应用课题，从鲜活的思维及形象的表达上借助于软件来展现，让学生从失败与成功中得到知识的应用体验，从而将被动的知识学习转变为主动的参与实践，更有助于通过实践来激发学生的创新精神。这种将数学教学思维与逻辑与计算机技术的融合，便于从教学中调整教学目标，依据学生所需知识及专业需求来分配侧重点。数学建模就是从数学学科与计算机学科的融合与实践中帮助学生协作学习，提升自身的能力。 2.信息技术是高等数学应用的产物 现代信息技术的发展及应用无处不在，对数学知识的渗透也是日益深入。当前，各行业在多种协作、多种专业融合中，借助于先进的信息技术都可以实现畅通的表达与物化。如天气预报技术、卫星电视技术、网络通讯技术等都需要从数
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
微积分方法建模2经济增长模型--数学建模案例分析
§2 经济增长模型 发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等）， 二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。 记 )(t Q —某地区、部门或企业在t 时刻的产量 )(t L —某地区、部门或企业在t 时刻的劳动力 )(t K ?某地区、部门或企业在t 时刻的资金 )(t Z —每个劳动力在t 时刻占有的产量（劳动生产率） 一、道格拉斯（Douglas ）生产函数 由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量， 所以定义 ,)0()()(Q t Q t i Q =)0()()(L t L t i L = ，)0()()(K t K t i K = （1） 分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。 在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析 得到，只能求助统计资料.Douglas 从大量统计数据中发现下面的规律： 如果令 )()(ln )(t i t i t K L =ξ，) ()(ln )(t i t i t K Q =ψ （2） 则散点),(ψξ在ψξ~平面直角坐标系上的图象大致如下
即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示ξ和ψ的关系为 )10(<<=γγξ ψ （3） 上式代入得 )()()(1t i t i t i K L Q γγ-= （4） 记)0()0()0(1--=γγK L Q a ，则由（1）、（4），可得 )0,10(),()()(1><<=-a t K t aL t Q γγγ （5） 这就是经济学中著名的Douglas 生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。由（5）有 K K L L Q Q )1(γγ-+= （6） （6）表明年相对增长量Q Q 、L L 、K K 之间呈线性关系。且1→γ说明产量增长主要靠劳动力的增长；0→γ说明产量增长主要靠投资的增长。称γ是产量对劳动力的弹性系数。 二、劳动生产率增长的条件 定义 )()()(t L t Q t Z =—劳动生产率，则L L Q Q Z Z -=，由（6）代入 则 ))(1(L L K K Z Z --=γ （7） 可见，只要L L K K >，就能保证0>Z Z ，即劳动生产率的提高需要由投资的相对增长大于劳动力的相对增长为前提条件。 问题：考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)((t P 设)1)0(=P ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t P 之间满足)(t y )()(t P t Q =。 （1）导出)(t y 、)(t Q 、)(t P 的相对增长率之间的关系，并作解释。 （2）设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为),(t W 企业的利润简化为产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定成本，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
微积分试题及答案
微积分试题及答案
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题
1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-
数学模型课后答案
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分 配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
微积分试卷及答案
微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+
2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)
微积分习题讲解与答案
习题8.1 1?指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (3) x 2 y 4y (sin x)y = 0 ⑷^P p= sin 2 r d6 解(1)1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2?验证下列函数是否是所给微分方程的解 /八 、亠 sinx (1) xy y = cosx, y = x (2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 ? C" - x 2 (C 为任意常数) (3) y 2y ： y = 0, y 二 Ce x (C 为任意常数) (4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2 x (C 1 ? 为任意常数) (5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy ? y 2 =C (C 为任意常数) (6) (xy -x)y xy 2 yy 1 -2y = 0, y = ln( xy) xcosx — sinx sin x 亠 解⑴是，左=x 2 cosx =右 x x (2) 是，左=(4 — X 2 )-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右 訥-x 2 (3) 是，左=Ce x -2Ce x Ce x =0 =右 (4) 是，左= G ：e i x C 2 2e 2 x )-(「-g re 4 x C 2 -e 2 x ) i 2(Se 4 x C 2e?0 =右 2x — y (5) 是，左=(x - 2y) 2x - y 二右 2 ⑴ x(y ) -2yy xy = 0 2 (2) x y - xy y = 0
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
经济类微积分课后习题答案解析
一.教材和大纲（3--6月） 教材往往容易被很多同学忽略，其实教材真的很重要，除非你的基础很好，比如我今年，就只看了一遍陈文灯复习指南，600题都没有做完。 就做了些模拟题。然后就上考场。但是同学们必须知道我08年是怎么复习的。我大概在6月份之前把4本教材和教材的课后习题全部都做了。其实 我想说，很多同学都说自己看了多少书，做了多少题为什么最后考得还是不好。我希望大家能够做到，不是你做了多少题，但是我们做题不能只 做不想，不懂脑。当然做题还是要一定的量，人家政治不也说“量变引起质变”吗。 我想说的是，大家如果有资源的话尽量用起来，有那种数学强人的话，尽量让他们给你们答疑。把你们不会的，全部问清楚，这一点真的很重要。 我男朋友是数学系的，我可以说即使计算不会都问他，因为说不定他们就能说出怎么样计算更简单，更不容易出错。 二。复习指南（7--10月） 其实我觉得复习指南的话，用谁的吧，我不细说，因为每个人的情况不一样，而且基础不同吧。但是还是给个建议吧，如果你的基础还可以的话 ，个人建议用陈文灯的，如果你觉得你的基础一般的话，那还是用李永乐的吧。 我的好多学弟学妹们常问我怎么用复习指南。我个人觉得复习指南吧，一般要看2遍吧。第一遍和第二遍，有一定的笔记差距。我看的时候一般是： 首先，我想说，同学们请你不要看一个题目是怎么做的，而是要你自己去做，因为咱们已经看过一遍教材了，所以我们看书时，把答案先盖住，然后 自己做，做完后看和答案有什么差距，然后调整下自己的思维，希望你在第二次或第三次的时候能会。 第一遍：如果这个题基本不怎么会的话，就用红色笔打上大大的问号，以便第二次的时候可以重点看看。如果是计算错误的话，还是用蓝色的笔标记吧。 也许很多同学都觉得我方法都对了，计算是小问题。那我告诉你，你错了。像我09年数学考134，就是因为忽略了计算。说实话，一般来说， 130和150的区别也许就是谁细心了，实力差距个人觉得不是很大，所以希望同学们不要忽略计算问题。 第二遍：其实做题还是和第一遍一样，盖住答案，多注意下第一遍画红色的部分。蓝色笔的部分，希望大家不要再计算错了。 三。600题和模拟题（11--12月） 希望大家买的600题是那种答案和题目分开比较远那种，不要前面是题，下面就是答案，这样的书不便于同学们去发现自己的弱点。 咱们怎么用这个600题呢，首先，咱们每天规定做30题吧，但是不是连续20天都做题。这里有个建议必须说一下，希望同学们，在做600题的时候， 不要再去翻复习指南了。如果你不会，说明这就是你的弱点了，你是不是该好好地补习下这部分呢。比如说，我先做的60题，发现我自己对间断点的类型 不是很清楚。咱们不会，没有关系，我用红笔在这页的上面写上，间断点的类型。说明这是你的弱点，然后你自己在第二天再看看，做点别的练习，然后 再继续600题。 其实是模拟题。我一般都是采取考试的形式来要求自己，我自己对自己的要求比较高，我
微积分试卷及答案
2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）
1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分） 八、设，求.（本题6分） 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)
微积分课后题答案高等教育出版社
习 题 六 （A ） 1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）0d cos 20=? x x π （2） x x x x d )1(2d )1(22 22 2+=+? ? - （3） 0d 3 1 1 =?-x x （3）x x dx x d 4 21 1 1 ?? == 解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的． （3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式dx x ? -=1 1 2 等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等． 2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）x x d 2 10?与x x d 3 10? （2）x x d 2 3 1?与x x d 3 3 1 ? （2）x x d ln 4 3 ? 与 x x d )(ln 2 4 3 ? （4）x x d sin 2 ? π 与 x x d 2 ? π 解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2 , 0(π 范围x x 第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用 2 )(21rT c T c T c += (4.2) 模型求解 求T ，使)(T c 取最小值。 由 0=dT dc ，得 2 12 1 2,2c r c Q rc c T = = (4.3) 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x数学建模微积分模型
微积分试卷及答案4套