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概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)
概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

习 题 一

1.设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件: (1) A 发生而B 与C 都不发生; (2) A ,B ,C 至少有一个事件发生; (3) A ,B ,C 至少有两个事件发生; (4) A ,B ,C 恰好有两个事件发生; (5) A ,B 至少有一个发生而C 不发生; (6) A ,B ,C 都不发生. 解:(1)A C B 或A -B -C 或A -(B ∪C ). (2)A ∪B ∪C . (3)(AB )∪(AC )∪(BC ). (4)(AB C )∪(AC B )∪(BC A ).

(5)(A ∪B )C .

(6)C B A 或C B A .

2.对于任意事件A ,B ,C ,证明下列关系式: (1)(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ?; (2)AB +A B +A B +A B AB -= AB ;

(3)A -(B +C )= (A-B )-C . 证明:略.

3.设A ,B 为两事件,P (A )=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1,求: (1) A 发生但B 不发生的概率; (2) A ,B 都不发生的概率;

(3) 至少有一个事件不发生的概率.

解(1) P (A B )=P (A -B )=P (A -AB )=P (A )-P (AB )=0.4; (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3; (3) P (A ∪B )=P (AB )=1-P (AB )=1-0.1=0.9.

4.调查某单位得知。购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5%,三种电器都购买占2%。求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的; (2)至多购买一种电器的; (3)三种电器都没购买的.

解:(1) 0.28, (2)0.83, (3) 0.72

5.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。 解:8/15

6.任意将10本书放在书架上。其中有两套书,一套3本,另一套4本。求下列事件的概率。

(1)3本一套放在一起; (2)两套各自放在一起;

(3)两套中至少有一套放在一起.

解: (1)1/15, (2)1/210, (3)2/21

7. 12名新生中有3名优秀生,将他们随机地平均分配到三个班中去,试求:

(1) 每班各分配到一名优秀生的概率;

(2) 3名优秀生分配到同一个班的概率.

解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为

3

4448412)

!4(!

12C C C =

(1) 设A 表示“每班各分配到一名优秀生”

3名优秀生每一个班分配一名共有3!种分法,而其他9名学生平均分配到3个班共

3

)!3(!

9种分法,由乘法原理,A 包含基本事件数为 3!·

3)!3(!9=2

)

!3(!

9 故有

P (A )=

2)!3(!9/3

)!4(!12=16/55 (2) 设B 表示“3名优秀生分到同一班”,故3名优秀生分到同一班共有3种分法,其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 4

44

81

9=,故由乘法原理,B 包含样本总数为3·!

4!4!1!

9.

故有 P (B )=

()2!4!9·3/()

3!4!

12=3/55

8.箱中装有a 只白球,b 只黑球,现作不放回抽取,每次一只.

(1) 任取m +n 只,恰有m 只白球,n 只黑球的概率(m ≤a ,n ≤b ); (2) 第k 次才取到白球的概率(k ≤b +1);

(3) 第k 次恰取到白球的概率.

解 (1)可看作一次取出m +n 只球,与次序无关,是组合问题.从a +b 只球中任取m +n 只,所有可能的取法共有n

m b a ++C 种,每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只,共有m

a C 种不同的取法,从

b 只黑球中取n 只,

共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知,取到m 只白球,n 只黑球的取法共有m a C n

b C 种,于是

所求概率为

p 1=n m b

a n

b

m a ++C C C

.

(2) 抽取与次序有关.每次取一只,取后不放回,一共取k 次,每种取法即是从a+b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列,每种取法是一个基本事件,共有k

b a +P 个基本事件,且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球,从b 只黑球中任取k -1只的排法种数,有1

P -k b

种,第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只,有1

P a 种不同的取

法.由乘法原理,前k -1次都取到黑球,第k 次取到白球的取法共有1

1P P a k b -种,于是所求概率

p 2=k b

a a k

b +-P P P 1

1

.

(3) 基本事件总数仍为k

b a +P .第k 次必取到白球,可为a 只白球中任一只,有1

P a 种不同

的取法,其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只,共有1

1P --+k b a 种不同的取法,由乘法原理,第k 次恰取到白球的取法有1

1

1

k a a b P P -+

-

p 3=111k a a b k a b P P a

P a b

-+-+=

+

.

9.在区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积小于1/4的概率

.

解 设在(0,1)内任取两个数为x ,y ,则

0<x <1,0<y <1

1-7

即样本空间是由点(x ,y )构成的边长为1的正方形Ω,其面积为

1.

令A 表示“两个数乘积小于1/4”,则

A ={(x ,y )|0<xy <1/4,0<x <1,0<y <1}

事件A 所围成的区域见图1-7,则所求概率

P (A ) =

2ln 2

141d 414311d )411(11

d d 114/11

4

/111/4

1

1/4+=+-=-

-=

-????

x x x

x y

x x

.

10.两人相约在某天下午5∶00~6∶00在预定地方见面,先到者要等候20分钟,过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的,求约会的两人能会到面的概率. 解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻,那么,两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内,这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是|x -y |≤20,即

x-y ≤20且y-x ≤20.

令事件A 表示“两人能会到面”,这区域如图1-8中的A .则

P (A ) =

.9

5

604060)()(222=-=Ωm A m

11.一盒中装有5只产品,其中有3只正品,2只次品,从中取产品两次,每次取一只,作不放回抽样,求在第一次取到正品条件下,第二次取到的也是正品的概率

.

解 设A 表示“第一次取到正品”的事件,B

表示“第二次取到正品”的事件 由条件得

P (A )=(3×4)/(5×4)= 3/5

, P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10

故有 P (B |A )=P (AB )/P (A )=(3/10)/( 3/5)= 1/2.

此题也可按产品编号来做,设1,2,3号为正品,4,5号为次品,则样本空间为Ω={1,2,3,4,5},若A 已发生,即在1,2,3中抽走一个,于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品,其中有2只正品,故得

P (B |A )

=2/4=1/2. 12.设P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B ). 解 ()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A

B P A B P A P B P AB -=

=

+- 0.70.51

0.70.60.54

-=

=+-

13.设盒中有m 只红球,n 只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次,试求第一次,第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率.

解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件,i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有

.32)

()()()()(32142131214321k

n m k

n k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++?++?+++?+==

14.仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率。 解:0.92

15.有两箱同类零件,第一箱有50个,其中10个一等品,第二箱有30个,其中18个一等品。现任取一箱,从中任取零件两次,每次取一个,取后不放回。求:(1)第二次取到的零件是一等品的概率;(2)在第一次取到一等品的条件下,第二次取到一等品的条件概率;(3)两次取到的都不是一等品的概率。 解:设 表示取到第一箱零件, :表示第i次取到一等品, 由全概率公式知:

4856

.0)

6.02.0(5.0)(

5.0)

()()()()

()()()()()()(230

218

25021011212112112=++=

++=

=

C C C C A P A B P A P A B P A P A B B P A P A B B P B P B B P B B P

16.设有甲乙两袋,甲袋中有n 只白球、m 只红球;乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少? 解:记 1A :甲袋中取得白球;2A :甲袋中取得红球;B :从乙袋中取得白球; 由全概率公式

12121122()[()]()

(|)()(|)()

1 11P B P A A B P A B A B P B A P A P B A P A N n N m

M N m n M N m n

===++=

+

++++++

17.一箱产品,A ,B 两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大? 解:取出产品是B 厂生产的可能性大。

18.由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断者有癌症,试验反应为阳性的概率为0.95;被诊断者没有癌症,试验反应为阴性的概率为

0.95

行普查,设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005,求:已知试验反应为阳性,该被诊断者确有癌症的概率.

A )2

,1(=i B i 4.0)(5.0)()()()()()()()()(2301

12118230218250140110250210122112212=+++=+++=A C C C C A C C C C A B B P A P A B B P A P A B B P A P A B B P A P B P 3942

.0)(5.0)()()()()(230

212

250240212121=+=+=C C C C A B B P A P A B B P A P B B P

解 设A 表示“患有癌症”,A 表示“没有癌症”,B 表示“试验反应为阳性”,则由条件得

P (A )=0.005,

P (A )=0.995, P (B |A )=0.95,

P (B |A )=0.95

由此 P (B |A )=1-0.95=0.05

由贝叶斯公式得

P (A |B )=

)

()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +=0.087.

19.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率

不小于0.9?

解 设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n -≥

即为 (0.8)0.1n

≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.

20.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为1/5, 1/3, 1/4,求将此密码破译出的概率.

解 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则

3

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

=-

??=

21.设在N 件产品中有M 件次品,现进行n 次有放回的检查抽样,试求抽得k 件次品的概 率.

解 由条件,这是有放回抽样,可知每次试验是在相同条件下重复进行,故本题符合n 重贝努里试验的条件,令A 表示“抽到一件次品”的事件.则

P (A )=p =M /N,

以P n (k )表示n 次有放回抽样中,有k 次出现次品的概率,由贝努里概型计算公式,可知

P n (k )=k n k n N

M

N M --)1()(

C k

, k =0,1,2,…,n .

22.将一枚均匀硬币掷2n 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.

解 掷2n 次硬币,可能出现:A ={正面次数多于反面次数},B ={正面次数少于反面次数},

C ={正面次数等于反面次数},A ,B ,C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P (A )=P (B ).所以

1()

()2

P C P A -=

由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22n n n

n P C C =

故 2211()[1C ]22

n

n n P A =-

习 题 二

1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布律: (1)放回;(2)不放回. 解 (1)1

{}(3/13)

(10/13)k P X K -==

(2

2.设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ,

其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . 解 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e

a λ

-=

3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强,当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时,校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式,提了三种方案: (1)双方各出3人;(2)双方各出5人;(3)双方各出7人.

三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:对系队来说,哪一种方案有利?

解 设系队得胜人数为X ,则在上述三种方案中,系队胜利的概率为

(1) P {X ≥2}=

k k

k k -=∑33

2

3

)6.0()

4.0(C ≈0.352;

(2) P {X ≥3}=

k k

k k -=∑55

3

5

)6.0()

4.0(C ≈0.317;

(3) P {X ≥4}=

k k

k k -=∑77

4

7

)6.0()

4.0(C ≈0.290.

因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的,因为参赛人数越少,系队侥幸获胜的可能性也就越大.

4.一篮球运动员的投篮命准率为45%,以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率. 解:随机变量X 所有可能的取值为:1,2,,,

n ,

分布律为:

1()(10.45)0.45

1,2,,,

k P X k k n -==-=,

1

{}{2}k X X k ∞

==

=取偶数:一列互不相容的事件的和,

所以21

111

{}[{2}]{2}0.550.4511/31k i i k P X P X k P X k ∞

-======

===∑

取偶数.

5.某十字路口有大量汽车通过,假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001,如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口,求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.

解 设X 表示发生交通事故的汽车数,则X ~b (n,p ),此处n =5000,p =0.001,令λ=np =5,

P {X ≥2}=1-P {X <2}=1-

{}∑==1

k k X P

=1-(0.999)5000-5(0.999)4999

≈1!

e 50!e 515

50----. 查表可得

P {X ≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.

6.设在独立重复实验中,每次实验成功概率为0.5,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

解 4≥n

7.设随机变量X 分布函数为

F (x )=,)0(.00,

0,??

?><≥+-λλx ,

x B A t e (1) 求常数A ,B ;

(2) 求P {X ≤2},P {X >3}; (3) 求分布密度f (x ).

【解】(1)由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

(2) 2(2)(2)1e

P X F λ

-≤==-

33(3)1(3)1(1e

)e P X F λ

λ-->=-=--=

(3) e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

8.设随机变量X 的概率密度为

f (x )=??

?

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x ). 【解】当x <0时F (x )=0

当0≤x <1时0

()()d ()d ()d x

x

F x f t t f t t f t t -∞

-∞

=

=+?

?

?

2

0d 2

x

x t t ==?

当1≤x<2时()()d x

F x f t t -∞

=

?

10

1

1

1

22

()d ()d ()d d (2)d 13222221

2

x

x f t t f t t f t t

t t t t

x x x x -∞==+=+-=+--=-+-?

????

当x ≥2时()()d 1x

F x f t t -∞

=

=?

故 22

0,0,01

2

()21,1221,

2

x x x F x x x x x

9.设随机变量X 的密度函数为

(1) f (x )=a e -λ|x |,λ>0;

(2) f (x )=?????<≤<<.

,0,21,

1

,10,2其他x x

x bx 试确定常数a ,b ,并求其分布函数F (x ). 【解】(1) 由

()d 1f x x ∞

-∞

=?

知||

21e

d 2

e d x x a

a x a x λλλ

---∞

===

??

故 2

a λ=

即密度函数为 e ,02

()e 02

x

x x f x x λλλλ-?>??=??≤??

当x ≤0时1()()d e d e 22

x

x

x x F x f x x x λλλ

-∞

-∞===?

?

当x >0时0

()()d e d e d 2

2

x

x

x x F x f x x x x λλλ

λ

--∞

-∞

=

=+?

??

11e 2

x

λ-=-

故其分布函数

11e ,02

()1e ,02

x

x x F x x λλ-?->??=??≤??

(2) 由12

20

1

11

1()d d d 22

b f x x bx x x x ∞

-∞

=

=+=+?

??

得 b =1

即X 的密度函数为

2,011(),120,

x x f x x x

<

=≤

当x ≤0时F (x )=0 当0

()()d ()d ()d x

x

F x f x x f x x f x x -∞

-∞

=

=+?

?

?

2

d 2

x

x x x =

=?

当1≤x <2时0120

1

1()()d 0d d d x x

F x f x x x x x x x

-∞

-∞

=

=++????

312x

=

- 当x ≥2时F (x )=1 故其分布函数为

20,0,01

2

()31,1221,2

x x x F x x x x ≤???<

10.设随机变量X 的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,(-x ∞<<+∞). 求:(1)系数A 与B ;

(2)X 落在(-1,1)内的概率; (3)X 的分布密度。

解 ○

1A=1/2,B=1π

; ○2 1/2; ○3 f (x)=1/[π(1+x 2

)]

11.某公共汽车站从上午7时开始,每15分钟来一辆车,如某乘客到达此站的时间是7时到7时30分之间的均匀分布的随机变量,试求他等车少于5分钟的概率.

解 设乘客于7时过X 分钟到达车站,由于X 在[0,30]上服从均匀分布,即有

f (x )=?????≤≤.

,

0,300,30

1其他x

显然,只有乘客在7∶10到7∶15之间或7∶25到7∶30之间到达车站时,他(或她)

等车的时间才少于5分钟,因此所求概率为 P {10<X ≤15}+P {25<X ≤30}=

??+15

103025d 301d 301x x =1/3.

12.设X ~N (3,22),

(1) 求P {2<X ≤5},P {-4<X ≤10},P {|X |>2},P {X >3}; (2) 确定c 使P {X >c }=P {X ≤c }. 【解】(1) 23353(25)2

22X P X P ---??

<≤=<≤

???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)2

22X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????

=--=

? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ?

????????????

=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3

13.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X 服从μ=170(cm),σ=6(cm)的正态分布,即X ~N (170,62),问车门高度应如何确定?

解 设车门高度为h (cm),按设计要求P {X ≥h }≤0.01或P {X <h }≥0.99,因为X ~N (170,62),故

P {X <h }=??

?

??-Φ=?????

?-<-617061706170h h X P ≥0.99, 查表得 Φ(2.33)=0.9901>0.99.

故取

6

170

-h =2.33,即h =184.设计车门高度为184(cm )时,可使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.

14.某型号电子管寿命(以小时计)近似地服从2

(160,20)N 分布,随机的选取四只,求其中没有一只寿命小于180小时的概率(答案用标准正态分布函数表示). 解:记取出的四只电子管寿命分别为1234,,,X X X X ,所求概率为P ,则

1234{min(,,,)180}P P X X X X =≥ 44{180}[1{180}] 1,2,3,4i i P X P X i =≥=-≤=

4[1(1)]0.00063=-Φ=

习 题 三

1.设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值,试求(X ,Y )的分布律.

解 由乘法公式容易求得(X ,Y )的分布律,易知{X =i ,Y =j }的取值情况是:i =1,2,3,4,j 取不大于i 的正整数,且

P {X =i ,Y =j }=P {Y =j |X =i }P {X =i }=i 1·

4

1

,i =1,2,3,4,j ≤i . 于是(X ,Y )的分布律为

表3-3

2.设连续型随机变量(X ,Y )的密度函数为f(x,y)=(34)0,0

,0,x y x y Ae -+>>???

其他,

求 (1)系数A ;(2)落在区域D :{01,02}x y <≤<≤的概率。

解:(1) 12; (2) (1-e -3)(1-e -8)

3.设随机变量(X ,Y )的概率密度为

f (x ,y )=??

?<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

(1) 确定常数k ;

(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1) 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==??

?

?

故 1

8

R =

(2) 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=??

1

3

0213(6)d d 88

k x y y x =

--=?? (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

????如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=?

?

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

??

??如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=

--=?

?

题5图

4.设(,)ξη的联合密度函数为

1,

01,02(,)2

0,

x y f x y ?≤≤≤≤?=???

求(1)ξ与η中至少有一个小于1/2的概率;(2)ξη+大于1的概率.

5. 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为

)3

arctan )(2arctan (),(y

C x B A y x F ++=

求(1)A B C 、、的值, (2)),(Y X 的联合密度, (3) 判断X Y 、的独立性。

解:(1) 21,,22

A B C ππ

π=== ;(2) 222

6(,)(4)(9)f x y x y π=++;(3) 独立 ;

6. 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,

(1)求系数A ,

(2)求),(Y X 的联合分布函数。

(3)求关于X 及Y 的边缘密度。 (4)X 与Y 是否相互独立? (5)求)(x y f 和)(y x f 。 解:(1)24A =

(2)4322432

34000

3812(/2)010(,)3861014301111

x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <

?-+-≤<≤

=++≥≤

≥≥??

或 (3)212(1),01()0,x x x x f x ?-≤≤=??其他 ; 212(1),01

()0,y y y y f y ?-≤≤=??

其他

(4)不独立

(5)22,0,01

()0,

Y X y

y x x f y x x ?<<<

2

2(1

),1,01(1)()0,X Y x y x y y f x y -?≤<<

其他

7.设随机变量X ~U (0,1),当观察到X =x (0<x <1)时,Y ~U (x ,1),求Y 的概率密度f Y (y ).

解 按题意,X 具有概率密度

f X (x )=??

?<<.

,01

0,1其他x

类似地,对于任意给定的值x (0<x <1),在X =x 的条件下,Y 的条件概率密度

f Y |X (y |x )=?????<<-.,

0,

1,11

其他y x x

因此,X 和Y 的联合概率密度为

f (x ,y )=f Y |X (y |x )f X (x )=?????<<<-.,

0,

10,11

其他y x x

于是,得关于Y 的边缘概率密度为

f Y (y )=

?

?∞

+∞

-??

???<<--=-=.,0,

10),1ln(11

),(0其他y y y x x x y x f d d

8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为

f Y (y )=?????>-.

,

0,0,2

12/其他y y e

(1)求X 和Y 的联合概率密度;

(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.

【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <

1e ,1,

()20,y

Y y f y -?>?==???

其他.

故/2

1e

01,0,(,),()()2

0,

.

y X Y x y f x y X Y f x f y -?<<>?=???独立其他

题14图

(2) 方程2

20a Xa Y ++=有实根的条件是

2(2)40X Y ?=-≥

故 X 2≥Y , 从而方程有实根的概率为:

22{}(,)d d x y

P X Y f x y x y ≥≥=

??

2

1

/2001d e d 2

1(1)(0)]0.1445.

x y x y

-==-Φ-Φ=??

习 题 四

求Y =X 的分布律.

解 Y 可取的值为0,1,4,9

1(0)(0)5

117(1)(1)(1)61530

1

(4)(2)511

(9)(3)30

P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ====

===-+==+====-=

====

2.证明题

设随即变量X 的参数为2的指数分布,证明21X

Y e -=-在区间(0,1)上服从均匀分

布。

证明:提示:参数为2的指数函数的密度函数为220

()0

x

e x

f x x -?>=?

≤? , 利用21x

Y e -=-的反函数??

???--=0)1ln(21y x 即可证得。

3.设X ~N (0,1).

(1) 求Y =e X 的概率密度; (2) 求Y =|X |的概率密度.

【解】(1) 当y ≤0时,()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时,()()(e )(ln )x

Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤

ln ()d y

X f x x -∞

=

?

2/2

ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2) (0)1P Y ≥=

当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y

X y

f x x -=

?

故d

()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y

=

=+-

2/2

,0y y -=

> 4.设随机变量X ~U (0,1),试求:Z = -2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】 由P (0

(0)1P Z >=

当z ≤0时,()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时,()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

/2

(ln )(e )2

z z P X P X -=≤-=≥

/2

1

/2e

d 1

e z z x --=

=-?

即分布函数

-/2

0,

0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0

故Z 的密度函数为

/2

1e ,0

()20,

z Z z f z z -?>?=??≤?0

(1) 求V =max (X ,Y )的分布律; (2) 求U =min (X ,Y )的分布律; 【解】

(1){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=

10

{,}{,},i i

k k P X i Y k P X k Y i -===

==+==∑∑ 0,1,2,3,4,

i =

(2) {}{min(,)}P U i P X Y i ===

3

5

1

{,}{,}

{,}{,}

k i

k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+

==∑∑

0,1,2,3

i = 于是

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为

f X (x )=???≤≤;其他,0,

10,1x f Y (y )=??

?>-.

,

0,

0,其他e y y 求随机变量Z=X+Y 的分布密度.

解 X ,Y 相互独立,所以由卷积公式知

f Z (z )=

.)()(?

+∞

--x x z f x f Y X d .

由题设可知f X (x )f Y (y )只有当0≤x ≤1,y >0,即当0≤x ≤1且z -x >0时才不等于零.现在所求的积分变量为x ,z 当作参数,当积分变量满足x 的不等式组0≤x ≤1 x <z 时,被积函数f X (x )f Y (z -x )≠0.下面针对参数z 的不同取值范围来计算积分.

当z <0时,上述不等式组无解,故f X (x )f Y (z -x )=0.当0≤z ≤1时,不等式组的解为0≤x ≤z .当z >1时,不等式组的解为0≤x ≤1.所以

f Z (z )=()01

()0e d 1e ,01,e d e (e 1),1,0,

.z z x z z x z x z x z ------?=-≤≤??=->??

??

??其他,

7.设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为

???≤≤≤=),(,

01

0,12),(2y x x y y y x f 其它

求:(1)随机变量X 的密度函数)(x f X ;(2)随机变量Y 的密度函数)(y f Y ;(3)随机变量Y X Z +=的密度函数)(z f Z .

解: 由题意 的概率密度函数分别为

由两个随机变量和的密度函数公式 ,要使被积函数非0, 必

须满足 故 的密度函数应为

8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0λ>的泊松(Poisson)分布,证明X Y +仍服从泊松分布,参数为2λ.

???

??<>≤≤=??

???=?

0,101

0,4012)(302x x x x dy y x f x X ,???

??<>≤≤-==?????=?

0,1,010),1(12012)(212y y y y y dx y y f y Y Y X ,?

∞--=dx x z x f z f Z ),()(z x ,x z x x 2,10≤≤≤≤z

?????????

<≤--<≤≥<=?????????--=?

?21,)1((4210,22,0,0)(12)(120)(33

31

2222

z z z z z z z dx x z dx x z z f z z z Z

证明:记Z X Y =+,则Z 所有可能的取值为:0,1,2,,,

n ,

由离散卷积公式有

()()()k

i P Z k P X i P Y k i =====-∑

20

0!

!

()!

!!()!

i

k i

k k

k

i i e k e

e

i k i k i k i λ

λ

λ

λλλ----====

--∑

∑ 22(2)20,1,,,

!!

k k k

e e k n k k λ

λ

λλ--=

==

即Z X Y =+服从参数为2λ的泊松分布.

9.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从

同一分布,其概率密度为

f (x )=?????>.,

0,

1000,10002其他x x

求Z =X /Y 的概率密度.

【解】如图,Z 的分布函数(){}{

}Z X

F z P Z z P z Y

=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =

(2) 当0

1000

z

)(如图a) 336

6

102222101010()d d d d yz Z z

x y z

F z x y y x x y x y +∞≥

=

=??

??

33610231010=d 2z z

y y

zy +∞

??-= ????

题15图

(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )

336

6

22

2210101010()d d d d zy Z x

y z

F z x y y x x y x y +∞≥

=

=??

??

军理历年考题

12-13上学期原题 一.填空题:1*5分 1.轰炸机使用特殊材料,使得无线电波大量衰减,这种无源干扰属于__干扰 2.卫星轨道分为顺行与逆行轨道,静止轨道属于__轨道 3.依据目标反射或者自发辐射的制导方式是__ 4.用激光来引导导弹飞行、侦测、跟踪并命中目标的系统是__ 5.利用目标反射微光或者自身热辐射的夜视方式属于__ 二.判断题:1*5分 1.“嫦娥二号”在地月转移轨道飞向月球途中,始终依靠发动机推动; 2.无线电通信侦察包含侦听与识别、测向与定位、跟踪与监视等任务,反过来说,无线电通信反侦察就包含了防止敌方对我方采取上述行为的任务; 3.顺行轨道的人造卫星一般向东发射,以利用部分地球自转的速度来节省燃料; 4.1960年苏联SA-2导弹击落美国U-2侦察机,开创了世界历史上用地空导弹击落敌方飞机的先例; 5.用第一代微光夜视仪观察另一方精心伪装的坦克与装甲车辆。 三.选择题:3*10分 1.可以在驱逐舰上发射的导弹有: 防空导弹;机载导弹;反舰导弹;面空导弹;反辐射导弹;空舰导弹;地地导弹 2.导弹发射后不听制导站指挥的制导方式有: 遥控制导;寻的制导;惯性制导;半主动制导;被动制导;自主式制导 3.我军侦察机投放干扰箔条属于什么干扰手段? 瞄准式干扰;无源干扰;有源干扰;消极干扰;反射式干扰;吸收式干扰;积极干扰4.世界上目前为止完成过载人太空飞行的国家有: 法国;英国;中国;美国;俄罗斯(前苏联) 5.激光雷达具有哪些特性: 大规模搜索与监视效果好;可以进行超低空探测;跟踪、测速、测距等精度高;可以识别高压电线;可以穿透大雾、雨雪来精确测出距离与位置;占据空间小 6.用于侦收敌方设备的电磁辐射信号,被称为“太空耳朵”的卫星是:海洋监视卫星;导弹预警卫星;电子侦察卫星;导航卫星;测地卫星 7.我军在暴风雪天气下,使用什么夜视技术可以不受暴风雪影响,发现与监视对方军队? 主动式红外夜视仪;微光夜视仪;微光电视;红外热像仪 8.如果使两束激光相互叠加与反相抵消会产生明显的强弱效应,这体现了激光的什么特点? 单色性好;相干性好;方向性好;亮度高; 9.下列关于通信卫星的描述正确的有: 轨道倾角多为0度;多在大椭圆轨道上运行;基本上遵从天体力学规律绕地球运行;运行周期多为地球自转一周的时间 10.在倾盆大雨的一天里,我军发现敌人侦察机在东南沿海一带搜寻情报,要使用什么制导方式的命中精度最低? 半主动寻的制导;无线指令制导;惯性制导;半主动激光寻的制导;主动雷达寻的制导

概率论和数理统计 复旦大学 课后题答案4

4习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E (X ),E (X ),E (2X +3). 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[( )]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量且已知E (X )=0.1,E (X )=0.9,求P 1,P 2,P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E (X )=n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多少? 【解】记A ={从袋中任取1球为白球},则

(){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f (x )=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E (X ),D (X ). 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ,Y ,Z 相互独立,且E (X )=5,E (Y )=11,E (Z )=8,求下列随机变量的数学期望. (1) U =2X +3Y +1; (2) V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )=16,求E (3X -2Y ), D (2X -3Y ). 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量(X ,Y )的概率密度为

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案 【篇一:数学分析目录】 合1.1集合1.2数集及其确界第二章数列极限2.1数列极限 2.2数列极限(续)2.3单调数列的极限2.4子列第三章映射和实函数 3.1映射3.2一元实函数3.3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4.1函数极限4.2函数极限的性质4.3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5.1区间上的连续函数5.2区间上连续函数的基本性质5.3单调函数的性质第六章导数和微分6.1导数概念6.2求导法则6.3高阶导数和其他求导法则6.4微分第七章微分学基本定理及使用7.1微分中值定理7.2taylor展开式及使用7.3lhospital法则及使用第八章导数的使用8.1判别函数的单调性8.2寻求极值和最值8.3函数的凸性8.4函数作图8.5向量值函数第九章积分9.1不定积分9.2不定积分的换元法和分部积分法9.3定积分9.4可积函数类r[a,b] 9.5定积分性质9.6广义积分9.7定积分和广义积分的计算9.8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10.1平面图形的面积10.2曲线的弧长10.3旋转体的体积和侧面积10.4物理使用10.5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11.1cauchy收敛准则及迭代法11.2上极限和下极限11.3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12.1级数的敛散性12.2绝对收敛的判别法12.3收敛级数的性质12.4abel-dirichlet判别法12.5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13.1广又积分的绝对收敛性判别法13.2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14.1一致收敛性14.2一致收敛性的判别14.3一致收敛级数的性质14.4幂级数14.5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15.1fourier级数15.2fourier级数的收敛性15.3fourier级数的

军事理论论文

中国梦强军梦我的梦 中文系汉语言文学1班 马莉论文摘要:中国梦是需要我们每一个人都为之努力,中国梦的实现必然要依靠国防、经济以及外交三者相互协助而完成的,。在高速发展的现今世界中,一个国家想要在世界立足,想要在国际中拥有较高的国际地位,想要国内社会稳定就必须要依靠这三点。国防安全是保证经济持续快速的发展的必然前提,而稳健的外交是国与国之间军事、经济健康发展的有力保证,经济是保障军事与外交发展的重要因素。中国梦需要三者和谐相处。 关键词:国防安全外交政策经济发展 中国梦是是由我们每个人的梦想组成的,中国梦的实现要靠稳定的社会环境和和谐的人际关系才可以实现。稳定的社会环境需要国家的维护,就是国防力量;同时,中国梦也需要强大的国家来支持,那就是强有力的外交;中国梦的实现还有一个不可或缺的要素就是经济的发展。这三点不可缺少,他们是相互依存的关系。一个强大的国家需要强有力的军事、强硬的外交态度,更需要稳定的经济发展环境。 从古至今,没有哪一个国家没有国防而能够安然无恙地存在下去。国防,是国家为了防备和抵抗侵略,制止武装颠覆,保卫国家主权统一、领土完整和国家安全所进行的军事活动,以及与军事有关的政治、经济、外交、科技、教育等方面的活动。维护国家安全利益是国防的根本职能;捍卫国家主权、领土完整和防止外来侵略、颠覆,是国防的主要任务。 国防是一个国家最为重要的力量。目前,我国的国防实力正在快速发展中,我国的军事力量在国际中的地位也在提高中。国庆中的阅兵典礼向我国人民展示了国家的强大,也同时向那些想要窥探我国领土以及对我国有不良企图的国家宣告我国有足够的军事装备和信心保卫我国领土不被侵犯。国防关系着社会的稳定,一个国家只有拥有强大的国防力量才能保为我国经济持续健康的发展。 每一个公民都有国防的权利和义务,据我国的《国防法》规定;居民有国防建设建议权、制止危害国防行为权和损失补偿权这三个权利和维护国家统一和安全的义务、履行兵役的义务、支持国防建设的义务、接受国防教育的义务、支前参战的义务、保护国防设施的义务和保守国防秘密的义务这七个义务。公民只有了解和支持国防,我国才会社会稳定,经济才会健康稳定的发展,国防很重要。 外交,一个国家在国际关系方面的活动,如参加国际组织和会议,跟别的国家互派使节、进行谈判、签订条约和协定等。国家要和平手段对外行使主权的活动。通常指由国家元首、政府首脑、外交部长和外交机关代表国家进行的对外交往活动。 我国奉行独立自主的和平外交政策,坚持和平共处五项原则。中国人一直以温文儒雅的谦谦君子对待外国,我们一直希望能够与世界的其他国家保持和谐友好的关系,能够和谐相处,共同发展。在面对外国一些企图危害我国社会稳定的组织,我国并非只是一味的忍让,我们采取了一些必要的手段来对付这些企图不良的人。只有强有力的外交才能保持我国的良好的社会环境。 中国梦的实现需要良好的外交来实现,我们正处于一个全球化的时代,全球的政治、经济等都是密切联系的,良好的外交往往可以起到事半功倍的作用。经济对于一个国家至关重要,一个国家只有经济实力够强大才会在世界上有发言权,有影响力。经济实力对于一个人的国家的作用愈来愈大,国家想要社会稳定,想要人民安居乐业,就必须要保证人们的基本

复旦大学本科期末考试考卷规范

复旦大学本科期末考试考 卷规范 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

复旦大学本科期末考试试卷规范 (试行) 一、命题 1、各院系所有课程考试的命题,都要求必须同时提供其覆盖面、难易度、题目量、水平相当的A和B两套试卷和标准答案,两套试卷中内容相同的题目不得超过5%,三年之内同一门课程的试卷内容重复率不得超过10%(从2005春季学期开始执行)。命题教师须于考试前一周,把出好的试卷交院系主管教学的领导审定后,由主管教学的院长或系主任任选一套为期末考试用卷,另一套由院系封存留作补考用。 2、为规范全校期末考试试卷的制作格式和归档管理的严肃性,现教务处拟定试卷的统一抬头(见附件3),请各院系遵照制作。为便于统一要求,各院系原则上不要自行设计试卷抬头,该试卷格式可从教务处网页上下载。 试卷一定要电脑打印,经校对无错误后,印刷、装订、封存。试卷使用后,对多余的空白试卷必须及时销毁,不准向外发放。 3、各院系用于期末考试的A、B试卷和批阅过的试卷都必须妥善保存,试卷将作为上级部门对学校、院系教学质量检查和评估的重要资料。 4、公共政治课、公共外语课、高等数学、法律基础、军事理论课程实行统一命题。注意做好试题的保密工作。 二、阅卷、成绩评定、成绩登录以及试卷分析要求 1、一门课程的成绩评定应该呈正态分布。其中,优秀率(A和A-)不超过30%,如果优秀率需超过30%,任课教师必须写出本课程详尽的学习状态分析报告,交教学院长(系主任)审批,优秀率上限最高不得超过40%,学习状态的分析报告必须作为教学资料至少保存三年。任课教师应该按照评分标准,公正、公平、科学地评阅试卷,所评定的成绩应能客观地、真实地反映学生对该课程学习的情况。 2、凡是未参加期末考试的学生,任课教师必须在“成绩登分表”上注明“缺考”、“缓考”。 试卷必须用红笔批阅。每一题都须有批阅记录,每一题的扣分记录在试题的右侧;得分记录在试题的左侧,最后将各题得分记入试卷首页的“得分栏目”内,并计算总分。考核方式如是论文形式,教师需对论文认真批阅,提出批阅意见,并附评分依据。

概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案(供参考)

概率论与数理统计习题二答案 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只 球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5,其取不同值的概率为 以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律;(2) X 的分布函数并作图; (3)1 33{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2,其取不同值的概率为 (2) 当0x <时,{}()0F x P X x =≤= 当01x ≤<时,{}{}22()035 F x P X x P X =≤=== 当12x ≤<时,{}{}{}34()0135 F x P X x P X P X =≤==+== 当2x ≥时,{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0,1,2,3,显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为 分布函数 3次射击中至少击中2次的概率为 4.(1) 设随机变量X 的分布律为 {}! k P x k a k λ==, 其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a .

(2) 设随机变量X 的分布律为 {}a P x k N == , k =1,2,…,N , 试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率;(2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数,则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b (1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++222233 33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ (2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== 312322 33(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则~(200,0.02)X b ,设机场需配备N 条跑 道,根据题意有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松定理近似计算 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)? 【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则 故 13 p = 所以 4 451210 (4)C () 33243 P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;

复旦大学第一学期学生选课须知 .doc

复旦大学2015-2016学年第一学期学生选课须知 选课 1、选课方式: 选课网址: 本次选课采用分阶段上网选课方式进行:第一次选课时间段内系统对选入课程的人数不设限定,学生只需在规定的时间段内选课,系统关闭后将对学生的选课申请进行随机筛选。所有选课信息是在选课系统关闭后一次性处理, 不分先后顺序。随机筛选的原则为:保证该课程修读的条件限制,以及学生的个人课表时间不冲突,如选课人数超出排课人数则随机删除超出的人数。 2、选课共分三个时间段进行: ●第一次选课时间段: 2015年06月29日08:00时-2015年07月02日8:00时 2012、2013、2014级; 2015年09月01日08:00时-2015年09月03日8: 00时 2015级。 ●第二次选课时间段: 2015年07月06日13:00时-2015年08月30日8:00时 2011、2012、2013、2014级; 2015年09月04日08:00时-2015年09月07日8:00时 2015级; 选课系统第二次开放。选课系统继续为专业必修及选修课程设置专业保护,学生可以寻找选修人数有余量的课程,继续选课。 ●第三次选课时间段: 2015年09月07日13:00时-2015年9月21日8:00时;2011、2012、2013、2014、2015级; 选课系统完全开放,学生经过对课程的试听,在规定的时间内对选课进行调整,并最终确定2014-2015学年第一学期的选修课程。 2015年09月19日(周六)上午8:00时,选课系统退课功能关闭。请试听周五晚上课程的学生尽快决定是否退课。 2015年09月18日(周五)下午17:00时,选课事务处理关闭,复旦学院不再受理任何选课申请事宜。 2015年09月19日(周六)上午8:00时-2014年09月21日(周一)上午8:00时,学生可以继续选课,但该时间段的任何课程一经选上,不能退课,请学生慎重对待。 2015年09月21日(周一)上午8:00时,选课系统选课功能关闭。 选课系统关闭后,本学期的选课结果及上学期各课成绩请学生登录“URP系统”进行查询。

概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案

概率论 习题四 答案 1.设随机变量X 的分布律为 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E (X ),E (X ),E (2X +3). 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P 5905100 C 0.583C = 14 1090 5 100 C C 0.340C = 231090 5 100 C C 0.070C = 321090 5 100 C C 0.007C = 4110905100 C C 0C = 510 5 100 C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?=L 3.设随机变量X -1 0 1 P p 1 p 2 p 3 且已知E (X )=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①, 又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=g g ……②, 222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=g g g ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p ===

复旦大学本科期末考试考卷规范

复旦大学本科期末考试 考卷规范 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

复旦大学本科期末考试试卷规范 (试行) 一、命题 1、各院系所有课程考试的命题,都要求必须同时提供其覆盖面、难易度、题目量、水平相当的A和B两套试卷和标准答案,两套试卷中内容相同的题目不得超过5%,三年之内同一门课程的试卷内容重复率不得超过10%(从2005春季学期开始执行)。命题教师须于考试前一周,把出好的试卷交院系主管教学的领导审定后,由主管教学的院长或系主任任选一套为期末考试用卷,另一套由院系封存留作补考用。 2、为规范全校期末考试试卷的制作格式和归档管理的严肃性,现教务处拟定试卷的统一抬头(见附件3),请各院系遵照制作。为便于统一要求,各院系原则上不要自行设计试卷抬头,该试卷格式可从教务处网页上下载。 试卷一定要电脑打印,经校对无错误后,印刷、装订、封存。试卷使用后,对多余的空白试卷必须及时销毁,不准向外发放。 3、各院系用于期末考试的A、B试卷和批阅过的试卷都必须妥善保存,试卷将作为上级部门对学校、院系教学质量检查和评估的重要资料。 4、公共政治课、公共外语课、高等数学、法律基础、军事理论课程实行统一命题。注意做好试题的保密工作。 二、阅卷、成绩评定、成绩登录以及试卷分析要求 1、一门课程的成绩评定应该呈正态分布。其中,优秀率(A和A-)不超过30%,如果优秀率需超过30%,任课教师必须写出本课程详尽的学习状态分析报告,交教学院长(系主任)审批,优秀率上限最高不得超过40%,学习状态的分

析报告必须作为教学资料至少保存三年。任课教师应该按照评分标准,公正、公平、科学地评阅试卷,所评定的成绩应能客观地、真实地反映学生对该课程学习的情况。 2、凡是未参加期末考试的学生,任课教师必须在“成绩登分表”上注明“缺考”、“缓考”。 试卷必须用红笔批阅。每一题都须有批阅记录,每一题的扣分记录在试题的右侧;得分记录在试题的左侧,最后将各题得分记入试卷首页的“得分栏目”内,并计算总分。考核方式如是论文形式,教师需对论文认真批阅,提出批阅意见,并附评分依据。 如果期末考试的卷面成绩只占本课程成绩的一部分,任课教师务必在“成绩登分表”上注明。 3、任课教师应该在本门课程考试结束后的5天内,将成绩评定完毕并交教务员及时登录。各院系都应在1月30日前,将全部成绩登录完毕,并寄给学生家长。 4、各院系教务办公室要严格保管好原始试卷和成绩单,不宜公开张贴学生的考试成绩。任何人未经许可不得随意涂改试卷成绩,不准遗失也不准随意查阅试卷。学生若对考试成绩有异议的,可于下一学期开学二周内,书面向本院系教务办公室申请,经院系主管领导批准后,由任课教师和教务员两人以上核查成绩,但不可查阅试卷。跨院系选修的课程,学生可持学生证和书面申请到开课院系教务办公室办理。超过规定的时间不再受理核查成绩事宜。 5、对试卷分析,可以使任课教师及时掌握学生的学习状况,更好地了解命题的难易度、知识的覆盖面以及区分度,使命题内容更加符合教学大纲的要求。

军事理论原题

军事理论题库(五) 2010.6 B 一.填空题 1.导弹预警卫星通常部署在____轨道上。 2.在激光形成过程中激励源的作用是____实现粒子数反转的。 3.导弹发射后靠接收敌机辐射的红外线来取得导引信息,这种制导方式叫____。 4.反电子侦查主要采取____措施,防止敌方获取己方的电子情报。 5.当今夜视技术是利用____原理来实现夜间侦察的。 二.判断题 1.某电台台长接到报告附近发现敌人电台信号,他马上利用身边一台无线电测向机,立即测出敌人电台的方位。 2.主动式红外夜视仪可以揭示各种伪装下的目标。 3.空战中,某飞行员为使自己发射导弹后能及时驾机离开,在有效距离内交替发射被动红外寻的指导和主动式雷达寻的指导空空导弹,攻击敌机。 4.80年代,某国发射了一颗远地点高度3855公里,近地点高度195公里,轨道倾角为68度的椭圆形轨道人造地球卫星。 5.大气激光通信保密性好,是因为它辐射的无线电波不易被探测。 三.选择题(单选或多选) 1.战时我通信站发现一敌人电台信号,立即对其实施同频率干扰,这种方式叫做____干扰(2323扫频式;3332欺骗式;3323瞄准式;2322阻塞式;2333杂波) 2.激光和普通光相比,具有____特点。(3322波长一致;2223传播速度快;2322传播中发散角小;2323亮度高;3223遇到物体能反射) 3.我军发现一架来犯敌机,在有效距离内,当即发射____导弹,将敌机击落。(3222方案制导;3323无线电指令制导;2233惯性制导;2322被动红外寻的;3233GPS;2323半主动激光寻的) 4.根据安装在“嫦娥一号”卫星上的激光高度计测得的数据,我国科学家绘制成功全月球的三维立体影像。由此可知“嫦娥一号”的绕月轨道应是____(2322倾斜轨道;3223赤道轨道;3322极地轨道;2333静止轨道)(5~10消失了) 四.简答题 1.孙武关于“兵贵胜,不贵久”和“合于利而动”的含义; 2.马克思主义者对待战争的正确态度;

答案版军事理论

军事理论考试(选择题练习题) 学院:姓名:学号:得分: ★请将答案填入卷头表格内!★ 试题 一、单项选择题(共60题,每题1分) 1、对《孙子兵法》评价不正确的是D。 A.词约意丰,博大精深,揭示了战争的一般规律 B.在军事哲理上,具有朴素的唯物论和辩证法思想C.存有糟粕,过分夸大将帅的作用 D.是马克思主义军事科学重要理论的重要来源 2、《战争论》一书的作者是克劳塞维茨。 A.克劳塞维茨 B.拿破仑 C.斯大林 D.艾森豪威尔 3、“政治是不流血的战争,战争是流血的政治”形象地说明 B 。 A.战争与经济的关系 B.战争与政治的关系 C.战争的性质 D.战争的规律 4、把中国军事思想发展到一个全新的阶段,且在第三世界国家产生深远影响的是 B 。 A.孙子兵法 B.毛泽东军事思想 C.邓小平新时期军队建设思想 D.江泽民国防和军队建设思想5、邓小平新时期军队建设思想的精髓是 A 。 A.解放思想,实事求是 B.好制度,好作风,好传统 C.通过办学校来解决干部问题 D.讲究技术,加速改进军队的装备 6、军事高技术是建立在现代科学技术成就基础之上,运用在军事领域的那部分高技术,包括 C 。 A.基础科学、技术科学 B.技术科学和工程技术 C.军事基础技术和军事应用技术 D.军用光电技术和军用航天技术 7、被称为“王牌技术”的是 B 。 A.伪装技术 B.隐身技术 C.精确制导技术 D.航天技术 8、被称为信息化条件下的第一场高技术局部战争的是 B 。 A.伊拉克战争 B.海湾战争 C.科索沃战争 D.阿富汗战争 9、毛泽东建军原则的核心是 B 。 A.党对军队的领导 B.为人民服务 C.坚持政治工作 D.严格纪律性 10、下列著作属于外国古代军事思想著作的是 A 。 A.《高卢战记》 B.《共产党宣言》 C.《制空权》 D.《机械化战争论》 11、新世纪国防和军队建设的总要求是:政治合格,军事过硬,___A___,______,保障有力。 A.作风优良,纪律严明 B.管理科学,纪律严明 C.作风优良,技术精湛 D.思想上进,装备精良 12、要造成一种无形和有形的力量,使敌人想打而不敢打,想打又打不起来。这种军事战略被称为 A 。 A.遏制战争 B.打赢战争 C.防御战略 D.和平战略

军事理论题库 复旦大学

填空题: 制导 半主动寻的制导中,产生引导信号的能量来源于制导站。 被动红外寻的制导中,产生导行信息的能量来自接受目标辐射的能量。 攻击敌人侦探目标的战略导弹的制导中,贯穿于全过程的制导方式有惯性制导。 导弹发射后靠吸收目标反射和辐射的能量的来定位的制导方式是寻的式制导。 主动式雷达寻的制导中,产生引导信号的能量来自导弹本身的弹上装置。 能攻击敌人防御体系中的雷达系统的导弹是反辐射导弹。 航天 倾斜角在180°—270°,方向与地球自转方向相同的卫星轨道为顺行轨道。 运载火箭大多向东发射,这主要是利用地球自转来获取一定的惯性力,降低推进剂的消耗。人造地球卫星的倾斜轨道倾角为(0 ,180) 以侦测敌人的雷达和电台的位置以及频率等有关参数为主要任务的人造地球卫星叫电子侦察卫星。 气象卫星通常选择在地球同步轨道和太阳同步轨道。 星球大战中能摧毁敌人航天器的卫星叫做拦截卫星。 嫦娥一号探月卫星在轨道高度200千米的月球圆轨道上运行,倾斜角是17°,这是倾斜轨道。电子对抗 敌方雷达波长50cm,我方播撒箔条的长度为25cm时效果最好。 反电子侦察主要采取无线电通信反侦察、雷达反侦察措施,防止敌方获取己方电子情报。 对敌人无线电台进行有效干扰必须使我方干扰机/频率对准敌方接收设备的工作频率 无线电通信侦察中的测向是指利用无线电定向接受设备来确定正在工作的无线电发射台方位的工作过程。 电子战争中我方尽可能采用小功率电台,其产生的效果是减少被敌人电子侦测获取信号的可能_。 当发现一敌人电台,如果要对其实行有效干扰,技术上必须使我方干扰频率对准敌方接受设备的工作频率。 激光 激光形成过程中激励源的作用为实现粒子数反转。 雨雪天,激光武器使用效果不佳的原因是受天气干扰,耗散激光束的能量 激光是受激辐射过程中产生的被放大了的光。 足够强的激励源是实现粒子数反转的必要条件。 粒子数反转是受激辐射光放大的必要条件。 夜视技术 主动式红外夜视仪与热成像仪是利用红外线/光实现夜间观察的。 微光夜视仪和主动式红外夜视仪是利用目标反射光线的原理成像的。 微光夜视仪是一种被动的夜视设备。 微光电视是利用目标反射的星光、月光灯等夜天光无限放大,达到人眼能看清目的图象原理来实现夜间观察的。 微光电视是利用将目标反射的光无限放大,达到人眼能看清目的图象原理来实现夜间观察的。微光电视是利用将目标反射的夜天光无限放大,达到人眼能看清目的图象原理来实现夜间观察的。 当代夜视技术是利用把目标辐射或反射的红外线转变成人眼可以观察到的可见光;将微光增强到足以看清目标图像原理

复旦大学本科期末考试考卷规范

复旦大学本科期末考试试卷规范 (试行) 一、命题 1、各院系所有课程考试的命题,都要求必须同时提供其覆盖面、难易度、题目量、水平相当的A和B两套试卷和标准答案,两套试卷中内容相同的题目不得超过5%,三年之内同一门课程的试卷内容重复率不得超过10%(从2005春季学期开始执行)。命题教师须于考试前一周,把出好的试卷交院系主管教学的领导审定后,由主管教学的院长或系主任任选一套为期末考试用卷,另一套由院系封存留作补考用。 2、为规范全校期末考试试卷的制作格式和归档管理的严肃性,现教务处拟定试卷的统一抬头(见附件3),请各院系遵照制作。为便于统一要求,各院系原则上不要自行设计试卷抬头,该试卷格式可从教务处网页上下载。 试卷一定要电脑打印,经校对无错误后,印刷、装订、封存。试卷使用后,对多余的空白试卷必须及时销毁,不准向外发放。 3、各院系用于期末考试的A、B试卷和批阅过的试卷都必须妥善保存,试卷将作为上级部门对学校、院系教学质量检查和评估的重要资料。 4、公共政治课、公共外语课、高等数学、法律基础、军事理论课程实行统一命题。注意做好试题的保密工作。 二、阅卷、成绩评定、成绩登录以及试卷分析要求 1、一门课程的成绩评定应该呈正态分布。其中,优秀率(A和A-)不超过30%,如果优秀率需超过30%,任课教师必须写出本课程详尽的学习状态分析报告,交教学院长(系主任)审批,优秀率上限最高不得超过40%,学习状态的分析报告必须作为教学资料至少保存三年。任课教师应该按照评分标准,公正、公平、科学地评阅试卷,所评定的成绩应能客观地、真实地反映学生对该课程学习的情况。 2、凡是未参加期末考试的学生,任课教师必须在“成绩登分表”上注明“缺考”、“缓考”。 试卷必须用红笔批阅。每一题都须有批阅记录,每一题的扣分记录在试题的右侧;得分记录在试题的左侧,最后将各题得分记入试卷首页的“得分栏目”内,并计算总分。考核方式如是论文形式,教师需对论文认真批阅,提出批阅意见,并附评分依据。 如果期末考试的卷面成绩只占本课程成绩的一部分,任课教师务必在“成绩登分表”

数学分析上

数 学 分 析(I ) (周课时5加习题课时2)(共80课时) (1)集合与函数 (6课时) 实数概述,绝对值不等式,区间与邻域,有界集,确界原理,函数概念。 (2)数列极限 (12课时) 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件;单调有限定理、柯西收敛原理。 ????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 (3)函数极限 (10课时) 函数极限概念(x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义)函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件:归结原则、柯西准则。 两个重要极限:1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 (4)函数的连续性 (14课时) 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质:有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质:有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 (5)极限与连续性(续)(15课时) 实数完备性的基本定理:区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 (6)导数与微分 (8课时) 引入问题(切线问题与瞬时速度问题)。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

复旦版数学分析答案全解ex14-4

习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分: (1)1-形式; dy x xydx 22+=ω(2)1-形式xdy ydx sin cos ?=ω; (3)2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解(1)0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 (2)dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 (3)=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2.设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式,求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3.设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式,求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω,由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx , 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地,设 133122),(dx dx x x a ∧=ω,212133),(dx dx x x a ∧=ω,则 032==ωωd d , 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数,,,试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω,使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意,可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′, 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设(∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=,n j i ,,2,1,"=)是n R 上的2-形式,证 明

数学分析复旦大学第四版大一期末考试

数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题(每空1分,共9分) 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-

复旦大学军事理论题库2

军事高技术部分 一、精确制导技术 1.反辐射导弹主要攻击敌方防空系统中的地面雷达(T/F)书P205 2.空战中为了能在发射导弹后离开飞行员采取被动红外寻的导弹和主动雷达寻的导弹,而且这样能避免电子干扰。(F)不能避免电子干扰,因为主动寻的制导和被动寻的制导的抗干扰能力都比较差 3. 60年代我国发射了运行周期24H,高度36000KM,倾斜角度为0的地球同步轨道通讯卫星。(F)。1.地球同步轨道上的卫星运行周期是23 小时56 分4 秒,和地球自转是一样的 2.我国最早是1984年4月8日 4. 导弹与末制导弹药的主要区别是它自身有无动力装置。(T)书P181 5. 我军某部发射2枚GPS制导的地对空导弹,击落了1架来犯的敌侦测机。(F)我国的北斗尚未成熟 6. 空战中,某飞行员向敌机发射2枚半自动雷达寻的空空导弹后驾机离开,其中一枚导弹击中目标。(F) 半自动雷达寻的的雷达在载机上 7. 导弹的制导信号来自制导站的类型有: [半主动雷达寻的制导] [激光制导波束制导] 对被动红外制导主动雷达寻的制导 8. 地球同步轨道上的侦查卫星观察范围最大(F)同步卫星只能观测某一定点 9. 攻击敌人侦探目标的战略导弹的制导中,贯穿于全过程的制导方式有(惯性制导)。 10. 半主动寻的制导由(制导站)向目标发射能量 11. 主动式雷达寻的制导中,产生导引信号的能量来自(导弹本身)。 12. 半主动寻的制导中,产生导引信号的能量来自(制导站) 13. 我军驱逐舰发现一架来犯敌机,在有效距离内,当即发射(3323,2322,2323)导弹,将敌机击落。(3222方案制导;3323无线电指令制导;2233惯性制导;2322被动红外寻的;3233GPS;2323半主动激光寻的) 14. 导弹发射后靠接收敌机辐射的红外线来取得导引信息,这种制导方式叫(被动寻的制导) 15. 导弹发射后靠吸收目标反射和辐射的能量的来定位的制导方式是(主动寻的制导、半主动寻的制导、被动寻的制导) 16. 法国飞鱼导弹击沉英国谢菲尔德军舰体现了精确制导武器作战效能高的特点(造价便宜,1换2) 17. 某国受到外来侵略时,发射了多枚配有2323,2322,3323战略弹道导弹,攻击敌方战略目标。(2322空气喷气发动机;3322常规弹头;2323惯性制导;2322火箭喷气发动机;3323核弹头;3223被动式导的制导)书P181 18. 导弹靠接受辐射的能量制导的有哪些(被动红外寻的和被动雷达寻的) 19. 敌人利用雾天空中能见度低,派遣了无数侦测机对我谋沿海地区实施侦测。我地面防空部队和航空兵大队向敌机发射多枚地空导弹和空空导弹,其中3322制导导弹命中率最低。(2233主动式雷达寻的;3232无限指令;3322半主动激光寻的;2332半主动雷达寻的) 20. 导弹发射后靠接收被攻击的目标辐射的能量来取得导引信息的,这种制导方式叫(3322,3323)制导。(2233半主动雷达寻的;3322被动式雷达寻的;3223主动式雷达寻的;3323被动红外寻的) 21. 激光受天气影响大 22. 战略弹道导弹采用什么制导方法:复合制导

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