,)(E A A E A A E A T T +-=+=+所以，0=+E A
6. 2)2(-=-λλλA E ，所以A 的4特征值为2,0321===λλλ。对应与特征于
01=λ的特征向量T )10,1(-，标准正交化T
a )2
1,0,21(
1-=；对应于特征值232==λλ的特征向量T )01,1(，T )0,1,0(，标准正交化，T a )21,
0,21(
2=，
T a )0,1,0(3=。
由此可得正交矩阵??????
???????
?-
==02
121
100021
2
1
),,(321a a a Q ， 使得为对角矩阵A AQ Q AQ Q T =??
???
?????==-2000200001。 ????
????
?
?==-991099
1101020
2020
202Q QA A 7.二次型322
223213212)(),,(x x x x x x x x f x ++++==
x x x x x x 2
32322321)()(-++++=
令?????=+=++=333223211x y x x y x x x y 所作的可逆线性变换为???
??=-=-=33
3
22211y x y y x y y x
可将原二次型化为标准型y
y y f 23
22
2
1
-
+
=
四、证明题（5分）
证明：A B A B B A B A B A A B A B B A 1111111)()()()(-------+++=++ A B A A A A B A B A 1111)()(----+++= E A B A A B A =++=---111)()( 或[]
111111111
1
1)()(-----------+=+=+=+A B BB A AB A B B A A A B A B
11--+=B A
试题二
一、填空题
1. !)
1(2
)
1(n n n -- 2. ?
???
??0011 3. ????
?
????
?210
2121 4. n Ab r A r ==)()( 5. )35
,31(- 6.AB 7.0 8.AB=BA 9.1或-1 10. 5
3>t
二、单项选择题
1. A
2.C
3.D
4. B
5. A 三、计算题
1.原式=
n
n n
n n n n ------+110
2000
00220000101322)1(Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
n
n n n n -----+=110
02000022
0001
2
)1(Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ
ΛΛ
2
)!
1()1()!1(2)1()1(11+?
-=-?+?
-=--n n n n n n 2. ???????
?
?
???????-----→?????????
???----------→80000500
00131
110132001142660
14399031330
21111b a b a A 当85==b a 且时线性方程组有解
T T T r )3,0,1,2(,)0,1,1,0(,)0,0,1,1(21-==-=ηη
全部解为2211ηηc c r X ++= 21,c c 为任意常数。
3. ???????????
?????
-→?
???????????----→?????????
???---=0000
0000323110
313340
1
6390
426021305111
112101917151118312A
的一个极大线性无关组是向量组432121,,,,a a a a a a
且2142133
2
313,3134a a a a a a +=-=
4.由AX+B=X ，得（E-A ）X=B ，即X=1)(--A E B
???????
????????
?
--=--313
10313213132
0)(1
A E
??????????--=??????????--???????
?
???
?????--=-=-110213350211313103132
1
31320)(1B A E X
5.由于A 与B 相似，则2,=-=-x B E A E 可得λλ 所以，A 的特征值为2,3,0321===λλλ 对于,01=λA 对应的特征向量为T a )0,1,1(1-= 对于,32=λA 对应的特征向量为T a )1,0,0(2= 对于,23=λA 对应的特征向量为T a )0,1,1(3=
B AP P a a a P =??
???
?????-==-1321,010101101)(使 6.先正交化得，?????
?????-=??????????--=??????????=202,12131,111321βββ 再单位化得，??????????-=??????????--=??????????=10121,12161,11131321ξξξ )2,0,32(的坐标为在这组标准正交基之下a
7.
x x x x x x x x x x x x x x x x f 2
3
2
322
3213
1212
322213216)2()(245),,(--+++=++-+=
令?????=-=++=33322321122x y x x y x x x y ，即作线性变换??
?
??=+=--=333223
211252y x y y x y y y x 可将二次型化为标准形y y
y f 2
3
22
21
6-+=
二次型的秩是3，正惯性指数是2，符号差是1。 四、证明题
证明：由于O E A AA A n A r ===-=*,0,1)(则
1)()(,=-≤=**A r n A r O AX A 所以的解的每一列向量均为
另一方面，
中至少有一个即阶子式不等于中至少有一个则A n A n A r ,01,1)(--=元素的代数余子式不等于0，故1)(,0≥≠**A r A 由此可得，1)(=*A r
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11a 22 ?a 12a 21 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！ 逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n! 2 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列， t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：r i ? r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j 33 323123222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 21=O n 21λλλN n 2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛ+++n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛM M M M ΛΛ ΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a Λ ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛ+++n n n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a Λ Λ ΛM M M M ΛΛΛ Λ ΛΛ=
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2
解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
工程数学线性代数(同济五版)课后习题答案
(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全，最新版) 习题解答 L利用对角线法则计算卞列三阶行列式: 解(1) JMS： = 2x( - 4)X3 + 0x(~l)x( - 1) -hix 1x8 -ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3 = -4； (2)原式=acb + bac + cba -一J ■沪 ~3abc - a" - b3—c3\ (3)原式—+ 1' a*t a ~ - l*a*c a =be1 + + ab1—ba1—cb2—ac z =c2(b - a) ab(b - a) - c(b2- = (a - b)(b - c)(c - a) (4)原式*工+ y)y +歼(工+ $”(工+ 4刃_ (工+卅_八丈 =-2(x J+ ^3). 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 S 4；(2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 I；(4) 2 4 1 3； (5) 1 3 - (2n - [) 2 4 … (6) 1 3 *** (2n -L) {In) (2n ~2)…2. 解(1)此排列为自然排列?其逆序数为⑴ (2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元 察3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4； (3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4)类肌于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2, 1* 故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3； (5)注意到这2卉个数的排列中，前N位元索之间没有逆序对?第討+ 1位 元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打- 1;同理，第n+2 倍元素4的逆序数为末位元累2?的逆序数为(L故此排列的逆序数
线性代数同济六版知识点总结
1。 二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中： 是1，2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5。 下三角行列式： 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6。 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。 （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 :两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a
线性代数学习知识重点归纳(同济第五版)
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法)12 12 12 11121 21222() 12 12 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ ==- ∑L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122 ,, 0,. i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?= ? ++=? ≠ ?? L
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11 22 1122 *** 0** 0* 00 nn nn b b A b b b b ==L M O L
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 例 计算 2-100-1300 00110 -25 解 2-100-1300 00110 -25 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 例 计算行列式
线性代数(同济第5版)复习要点
线性代数(同济第5版)复习要点 以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线 第一章 行列式 基本结论 1．行列式的性质 （1） 互换行列式的两行，行列式变号. （2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. （3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开 定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 in in i i i i A a A a A a D +++=Λ2211 ),,2,1(n i Λ= 3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即 021 2222111211 ≠= nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ 那末，线性方程组有唯一的解 ,,,,2211D D x D D x D D x n n === Λ 主要计算 计算行列式： 1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例 1．（例7）计算行列式 3 3 5 1 110243152113 ------=D 2．（例8）计算行列式 3 111131111311 113= D 第二章 矩阵及其运算 基本概念 注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠ 3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB = 4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B =
基本结论 1．转置 (i) A A T T =)( (ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv) T T T A B AB =)( 2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii) ||||A A n λλ=; (iii) ||||||B A AB = 3．A 的伴随矩阵 E A A A AA ||==** 4．逆矩阵 是初等矩阵 可逆i s E E E E A E A n A R A A Λ21~)(0||=??=?≠? 推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律： （i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111 )(--= A A λ λ （iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算 用上面基本结论进行简单计算 主要计算 求1-A ：公式法* -= A A A | |11 基本证明 用上面基本结论进行简单证明 例
同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b)(b -c)(c -a). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y 3-(x +y)3-x 3 =3xy(x +y)-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ??-=-=101],[],[1112122b b b a b a b , ??? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)???? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ???? ? ??-==110111a b , ???? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ???? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)?????? ? ??---121312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)?????? ? ??------979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E , 故AB 也是正交阵.
线性代数(同济六版)知识点总结
1.二阶行列 式--------对角线法则: 2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3.全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用表示，=n ！ 逆序数：对于排列 … ，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：是1,2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6.行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等.（转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式。第i 行乘k ：xk 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第j 列的k 倍加到第i 列上： 7.重要性质：利用行列式的性质 或 ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。（P11页例7） 8.行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去,剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构 成的n?1阶行列式叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记A ij =(?1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即： 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即 33 323123 2221131211 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 22 11n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 2 1 =O n 2 1 λ λλN n 212 1) n(n λλλ1)(ΛΛ--=in in i2i2i1i1A a A a A a D +++=ΛΛnj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++=ΛΛ或
线性代数(同济六版)知识点总结归纳
1. 二阶行列式--------对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. … 且比大的元素个数有个， 则。 排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性4. 其中： 数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值 33 323123 222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=31 2213332112322311a a a a a a a a a ---31 2111 a a a n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0 a a a = n ...λλλλλλ21n 21 = n 2 1 λλλ n 212 1) n(n λλλ1) ( --=
为零。 互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 第列上：7. （下） 8. 剩下的( 的余子ij 代数余子式：记 A ij = ( ?1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和， 即： in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= 或
同济版_工程数学-线性代数第五版答案
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
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同济大学线性代数第六版课后答案(全)
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
线性代数知识点归纳(同济_第五版)
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 1112121222() 1212 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++ =?≠??
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11 22 1122 *** 0** 0* 00 nn nn b b A b b b b ==
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 例 计算 2-100-1300 00110 -25 解 2-100-1300 00110 -25 =2 -1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-1 ⑥ 德蒙德行列式：()1 22 22 12 11 11 12 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 1 32(1) 81(4) (1) 24816 44 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3 y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3
解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个)
