ch4A
第四章
质点系的平衡
问题1：系统平衡时两力偶矩的关系如何？
M
2
M
1
问题：如何确定力偶
矩M和力F的关系？M
F
固定在琴上
F
问题2：车轮相对地面无滑动，在图示主动力的作用下，自行车向前走，还是向后走？
A
F W
A B
C
θ问题3:长为L ，重为W 的均质杆AB 在图示位置平衡时, 求水平力F A 。
∑=?0
i
i
r F δ)
1(0sin 2cos ,0=-=∑θθL
W FL M B δθ
A
r δ0
sin 2
cos =-θδθθδθL
W FL 0≠?δθ)
2(0=?+?c A A r W r F δδ（1）与（2）等价的条件：约束所容许的微小位移ε
δθ<||c
r δ
问题4:已知各均质杆长为L ，重为W ，求系统在图示位置平衡时，所需水平力F 的大小?
θ
tan W F =不计摩擦
∑=?0
i
i
r F δW
2W
2W
2W
2θ
θ
F
一、力在曲线路程中的功
r
r d +r
F v F d d ?=?=t W δ?元功(elementary work):
k
j i r k j i F z y x F F F z y x d d d d ++=++=z
F y F x F W z y x d d d ++=δ元功的解析表达式
v
x
y
z
O
r
F
A
B
r d 力F 在曲线上由A 点到B 点所作的功：
??→++=?=
z
y
x
B A z F y F x F W )
d d d (d )(r F F
二、作用于刚体上力偶的元功
LF
M =θδd d FL r F W ==θ
δd M W =θ
ωδd d ?=?=M M t W 力偶的元功:
(适用于刚体的任意运动)
三、作用于质点系上力系的总元功
设：质点系上作用有力系; 是力作用点的矢径。
},,{1n F F i r i F 则作用于质点系上力系的总元功为：
∑?=n
W d r F δM
θ
O
F
θ
'
F L
O
θ
d r
d
F
θ
s
o
R
r
?纯滚动(rolling without slipping):
圆盘相对地面无滑动，与地面接触点速度为零。
s
F
o R
问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动S 距离时, 力F 所作的功。
圆盘转角与轮心移动距离间的关系
)
()()()( R 1
1
O n
i m
j i W W W W M F P F j +==∑∑==则等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效
},{},,{},,,{ R 121O m n M F P P F F F == 即：F
θ
s
o
R
r
s
F
o R
F M
F
M
sF
M Fs W 2=+=?)
cos (cos θ?θ+=+=R
r
Fs M Fs W
四、质点系内力的元功
2
211d d r F r F ?+?=W δ)
d(d d 2112111r r F r F r F -?=?-?=121d r F ?-=l
F d 1-=1
A 2
A 1F 2
F O
x
y
z
1
r 2
r 12r 弹簧
刚性杆
不可伸长的绳索
问题:判断下列质点系内力元功之和是否为零。
d ≠l 0
d =l 0F 0
F ≠==≠,0d ,0d l l
五、摩擦力的元功
1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为f ）
t
v fF t W d d )(N -=?=v F F δ2.滚动摩擦力的元功
t
W A d )(v F F ?=δ在固定面上纯滚动时：0
)(=F W δ0
)(≤f W M δv
F
N
F A
F F
A
v f
M
一、约束与约束方程
?约
束(constraint)：限制物体运动的条件
?约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式
2
22l
y x =+2
22l
y x ≤+2
022)
(vt l y x -=+
二、约束的分类
2
2
2
l y x =+2
2
2
l
y x ≤+y
x
M
l
y
x
M
l
?双面约束(bilateral constraint)：约束方程为等式的约束?单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束
?定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间t 的约束?非定常约束(unsteady constraint)：约束方程中显含时间t 的约束
2
22
)sin (l
y t x =+-t
x A sin =A
x A
M
x
y
?完整约束(holonomic constraint)：
约束方程中不含速度项的约束
?非完整约束(nonholonomic constraint)：
约束方程中含有速度项(不可积)的约束
s
o
R
?
纯滚动
约束方程:
R s ?=R s ?
=θ
x
x
y
y
o
x y
=
θtan v
x
y
问题：用什么量描述质点(系)在空间的位置？
描述其在空间位置的量有多少个？
L
?自由度数（degree of freedom)：
广义坐标的数目
(条件：具有双面、完整约束的质点系)
?广义坐标(generalized coordinate)：
确定系统位置的独立参数自由度：k
确定系统位置的参数数目：N
独立的约束方程数：s
s
N k -=x
y
z
M
2
222L
z y x =++
A y θ
问题:
确定系统的自
由度和广义坐标
A
B
?
θ
O
x
y 图1
y
x
M
l
l
θ
?ψ
图2
A
B
A
x
y
l
o
图3
图4
θ
t
y A sin =A
B
x
y
l
o
A B C D 确定图示系统的自由度