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2021届江西省南昌市高三摸底测试数学(理)试题

绝密★启用前

数学试卷

学校：___________

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：

1．已知i 为虚数单位，则31i +=（）

A ．2

B ．1

C ．0

D 2．命题：“0x ?≥，都有sin x x ≤”的否定为（） A ．0x ?<，使得sin x x > B ．0x ?≥，使得sin x x > C ．0x ?≥，都有sin x x >

D ．0x ?<，都有sin x x ≤

3．爱美之心，人皆有之．健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示．对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的．．．．

是（）

A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人数增加了4个

B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变

C ．因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响

D ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少

4．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足3235a a =，10100S =，则1a =（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．已知x ，y 满足约束条件2230x y x y ≤??

≤??+-≥?

，z y x =-，则max min z z -=（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

6．若双曲线2

1y x m

-=的离心率()1,3e ∈，则m 的取值范围为（） A ．()0,8

B ．()0,4

C ．()1,9

D ．()8,+∞

7．如图，图中小正方形的边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A ．24π+

B ．22π+

C ．4π+

D ．612π+

8．设0.62a =，0.43b =，3log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

9．已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

=+><

的部分图象如图所示，

若223f f ππ????

= ? ?????

，则（）

A ．2ω=，6

?= B ．53ω=

，518π

?= C ．2ω=，3

D ．53ω=，6

10．若函数()22

cos 38f x x a x a a =-++-有唯一零点，则a =（）

A ．2-

B ．2或4-

C ．4-

D ．2

11．已知直线l 与圆C ：2

240x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若锐角ABC △的面

积为

，则sin AOB ∠=（） A ．12

B ．35

C ．

D ．

12．已知曲线1C ：x m

y e +=，2C ：2

y x =，若恰好存在两条直线直线1l 、2l 与1C 、2C 都相切，则实数m

的取值范围是（）

A ．()2ln22,-+∞

B ．()2ln2,+∞

C ．(),2ln22-∞-

D ．(),2ln2-∞

二．填空题：

13．()6

2x y -展开式中3

x y 的系数为__________．

14．已知向量OA AB ⊥，2OA =，则OA OB ?=_________．

15．无穷数列{}n a 满足：只要()

*,p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”

，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________． 16．集合{}26A x x m =≤≤-，{}

121B x m x m =-≤≤+，若A B ?≠?，求实数m 的取值范围_________．三．解答题：（一）必考题：

17．已知ABC △中，AB =

D 是边BC 上一点，AD =3

ADC π

∠=

，512

DAC π

∠=

．

（1）求AC 的长；（2）求ABD △的面积．

18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=?，对角面11AAC C 是矩形，

且平面11AA C C ⊥平面ABCD ．

（1）证明：四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱；

（2）设AC BD O ?=，若1AB AA =，求二面角1D OB C --的余弦值．

19．某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A ，B ，C 三个城市，三个城市从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1000个样本进行调查，并分析A 、B 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图：

（1）A ，B ，C 三个城市应各抽取多少个样本？并估计A 城市从业人员月收入的平均值；

（2）用频率估计概率，A ，B 城市从业人数视为无限大，若从A ，B 两城市从业人员中各随机抽取2人，X 表示这抽取的4人中月收入在3000元以上的人数，求X 的分布列和期望．

（用分数作答）

20．已知椭圆E ：22221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，其离心率为2，以1F 为圆心

以1为半径的圆与以2F 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；

（2）过椭圆上顶点A 斜率为k 的直线l 与椭圆的另外一个交点为B ，若2ABF △

l 的方程．

21．已知函数()2

132ln 2

f x x x x =

-+．（1）判断()f x 零点个数，说明理由；（2）是否存在整数k ，使得直线5

y kx =-

与函数()f x 的图像有三个交点？若存在，求出k 的所有可能取值；若不存在，说明理由．（参考数据ln20.69≈）（二）选考题：

22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos cos2x y θθ=??=?（θ为参数），直线l

的参数方程为5x t

y =???=-+??（t 为

参数）

（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；

（2）设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求PQ 的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()2f x ≥的解集；

（2）若()f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围．

2021届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：

二、填空题：

13．160- 14．4 15．7576 16．17,22??

????

三．解答题：

17．（1）由已知4

ACD π

∠=

，

则ADC △中，

sin sin 32

AC AD AC ADC ACD =?=?=∠∠；

（2）ABD △中，3AB =

2AD =23

ADB ADC π

π∠=-∠=

，则

223

22cos

BD BD π

-，解得62BD -=，

故ABD △的面积为

12162333

sin 2232BD AD π--???==． 18．（1）如图，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C ?平面ABCD AC =．

因对角面11AAC C 是矩形，所以1AA AC ⊥，由面面垂直的性质定理得平面1AA ⊥平面ABCD ，故四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱．（2）由四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．设11111AC B D O ?=，1O O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直．

如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．不妨设2AB t =，因为60CBA ∠=?，所以3OB t =，OC t =，又1AB AA =，

于是)

3,0,2B t t ，()10,,2C t t ．易知，()10,1,0n =是平面11BDD B 的一个法向量．

设()2,,n x y z =是平面11OB C 的一个法向量，则21210,0,n OB n OC ??=???=??即320

20x z y z +=+=?

取3z =2x =，

3y =(22,23,3n =-．