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2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案
2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一(理科)

选择题(每题5分,共20分)(注:原题是选择题) 1. 不等式3

2210x x -+<的解集为_____________.

2. 在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面

AC BC ⊥,2AC =,二面角P BC A --的大

小为60?,三棱锥P ABC -,则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为

________. 3. 当实数m 变化时,不在任何直线()

221440mx m y m +---=上的所有点(),x y 形成的图

形的面积为_____________.

4. 已知函数()()2211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ?+?

?∈-∞- ?????

???

?+∈-+∞??????

.()244g x x x =--.设b 为实数,若存在实数a ,

使()()0f a g b +=,则b 的取值范围是___________.

填空题(每题6分,共24分)

5. 已知01a <<,分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数,且取出的两数之和小于1

的概率为3

16.则a 的值为_______________.

6. 设1e ,2e 为平面上夹角为θ(02θπ

<≤)的两个单位向量,O 为平面上的一个固定点,

P 为平面上任意一点,

当12OP x y =+

e e 时,定义(),x y 为点P 的斜坐标.现有两个点A ,B 的斜坐标分别为()11,x y ,()22,x y .则A ,B 两点的距离为______________. 7. 若函数sin 4y x ωπ?

?=+ ??

?的图象的对称中心与y 轴距离最小的对称轴为6x π=,则实数ω

的值为_____.

8. 已知集合A ,B 满足{}1,2,3,,8A B = ,A B =? .若A 中元素的个数不是A 中的元

素,B 中元素的个数不是B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合A 的个数为___________.

解答题(共56分) 9. (13分)

设α∈R ,函数()()cos sin 2cos f x x x x αααα++,x ∈R .

(1)若,42αππ??∈????,求()f x 在区间0,4π??

????

上的最大值.

(2)若()3f x =,求α与x 的值.

10. (13分)已知双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的两条渐进线的斜率之积为3-,左

右两支上分别由动点A 和B .

(1)设直线AB 的斜率为1,经过点()0,5D a ,且AD DB λ=

,求实数λ的值.

(2)设点A 关于x 轴的对称点为M .若直线AB ,MB 分别与x 轴相交于点P ,Q ,O 为坐标原点,证明2OP OQ a ?=.

11. (15分)已知()f x 为R 上的可导函数,对任意的0x ∈R ,有()()000''4f x x f x x <+-<,

0x >.

(1)对任意的0x ∈R ,证明:()()()

000'f x x f x f x x

+-<

(0x >);

(2)若()1f x ≤,x ∈R ,证明()'4f x ≤,x ∈R .

12. (15分)已知实数列{}n a 满足11a =,1n n a q a +=,n +∈N ,

常数1q >.对任意的n +∈N ,有1

14n k n k a a +=≤∑.设C 为所有满足上述条件的数列{}n a 的集合.

(1)求q 的值;

(2)设{}n a ,{}n b C ∈,m +∈N ,且存在0n m ≤,使00n n a b ≠.证明:11m

m

k k k k a b ==≠∑∑;

(3)设集合{}1m m k n k A a a C =??

=∈????

∑,m +∈N ,求m A 中所有正数之和.

附录2:2014年卓越联盟自主招生数学参考..

答案 选择题

1. 答案:11??? ? ? ????

.提示:22

x

x =,把原式视作x 的三次多项式分解因2.

3. 答案:4π.提示:原式视作m 的二次方程()22440ym x m y --+-=,判别式0<即可.

4. 答案:[]1,5-.提示:仔细算算. 填空题

5. 答案:4

.提示:可转化为“线性规划+几何概型”问题.

6.

7. 答案:2

.提示:仔细算算.

8. 答案:44.提示:按A 中元素个数(A =0,1,2,…)逐个进行分类讨论.

解答题

9. 答案:(1)2cos α+;(2)2k α=π,(k ∈Z );38x n π

=π+,n ∈Z .

提示:()2sin 2cos 4f x x ααπ?

?=+-+ ??

?

10. 答案:(1)27λ=;(2)提示:

2222

22

A B B A A B B A A B B A P Q A B A B A B x y x y x y x y x y x y OP OQ x x y y y y y y -+-?=?=?=-+-,再带入2223A A y

x a =+,2223

B B y x a =+即可.

11. 提示:

(1)即证()()()000'0f x x f x f x x +-->,构造函数()()()()000'g x f x x f x f x x =+--,对()g x 求导证明()g x 在[)0,+∞上单增即可.

(2)由条件知()'f x 是R 上的单增函数,故()'f x 不可能恒等于零.

如果存在正实数0δ>,及实数0x ,使()0'f x δ=,则对任意0x >,()()

00f x x f x x δ+->.

则当()01max 0,f x x δ??-??>??????

时,()()()()000011f x f x x x f x f x δδδ-+>+>?

+=,与条件矛盾.

如果存在正实数0δ>,及实数0x ,使()0'f x δ=-,则对任意0x <,存在()00,x x x ξ∈+,

满足()()()()000''f x x f x f f x x ξ+-=<.则当()01min 0,f x x δ??-??

()()()()()00001

1f x f x x x f x f x δδδ

-+>-+>-?+=,与条件也矛盾.

总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都是真命题. 12. 提示:

(1)化简

11141n n q q q

+--≤-,可得()2

112n q q -≥-对任意正整数n 成立,左边在n 无穷大时是无穷小,所以2q =.

(2)方法一:假设l 是1,2,3,…,m 中满足n n a b ≠中的最大角标.则

1

1

1

11

1

1

1

1

1

222m

m

l

l

l l l l k k k k k l l k k k k k k k k k a b a b a b a b ---=======-=

-=--

-≥-=∑∑∑∑∑∑∑.

方法二:假设l 是1,2,3,…,m 中满足n n a b ≠中的最小角标,则

()1111

2220m

m

l l l k k l l l l k k a b a b a b ++==-≡-+-≡±±±≡

/∑∑(1

mod 2l +). (3)显然{}n a 的前m 项和是正数,当且仅当0m a >,此时i a (1i =,2,…,1m -)的符号随意.即{}n a :1±,2±,4±,…,22m -±,12m -.这样的数列共有12m -个,若i a 与i b 符号相反,则进行配对(1i =,2,…,1m -)

.于是,m A 中所有元素之和为1122222m m m ---?=.

说明:

(1)第11题中的条件永远是假命题,这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之. (2)第12题第2问中,取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零,取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路,应注意掌握.实际上,前者对应于Z 的欧几里得赋值,后者对应于Z 的p adic -赋值,这两个赋值数学本身的意义也很大.

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(tanx1+tanx2)>tan; (2) (tanx1+tanx2)sin; (4) (sinx1+sinx2)0,a,b,c是x,y,z的一个排列。求证:。 12.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数。 13.求所有满足 的非直角三角形(这里表示不超过的最大整数)

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关键步骤提示: 2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示: ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质,

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3.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A . 115 B . 815 C .18 D . 130 4.在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-,则ABC ?的面积为 A B C D 5.上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积... (表面面积,也叫全面积)为 A .20π B .24π C .28π D .32π 参考公式:圆锥侧面积S rl π=,圆柱侧面积2S rl π=,其中r 为底面圆的半径,l 为母线长. 6.如下图,在ABC ?中,AB AC =,D 为BC 的中点, BE AC ⊥于E ,交AD 于P ,已知3BP =,1PE =, 则AE = A B C D 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =,2c =,2cos 3 A =,则b = A B C .2 D .3 8.如下图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短..路径条数为 A .9 B .12 C .18 D .24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

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浙江大学2019年自主招生数学试题 1.已知7 π α= ,求cos cos2cos3ααα-+的值.2.已知{1,2,3,4}S =,若1324||||a a a a -+-的平均数为最简分数q p ,其中1234,,,a a a a S ∈,则p q +的值为 3.动圆过定点(,0)a ,且圆心到y 轴的距离为2a ,则圆心的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.无法确定 4.一枚质地均匀的硬币,扔硬币10次,正面朝上次数多的概率为 5.已知2221x y z ++=,求yz +的最小值. 6.已知()p n 为n 次的整系数多项式,若(0)p 和(1)p 均为奇数,则( ) A.()p n 无整数根 B.()p n 可能有负整数根 C.()p n 无解 D.忘了 7.3.abc 的数,求a b c ++的值.8.已知n *∈N ,下列说法正确的是( ) A.若3n k ≠,k ∈N ,则7|21n - B.若3n k =,k ∈N ,则7|21n - C.若3n k ≠,k ∈N ,则7|21 n + D.若3n k =,k ∈N ,则7|21 n + 9.复数12||||1z z ==12()z z ≠,满足|1i ||1i |k k z z +++--=(1,2)k =,求12z z .10.若1x >,且满足2213x x + =,求5 5 1x x -.11.已知点(,)a b 在椭圆22 143 x y +=上,求234a b ++的最大值与最小值的和. 12.若将19表示为若干个正整数的和,则这些正整数的积的最大值为13.数列{}n a 满足11a =,143n n S a +=+,求20192018a a -的值. 14.定义在R 上的偶函数()f x 满足1 (1)2f x += +,求121 ()2 f . 15.若p 、q 是方程22650x x a a ++-=的两根,且满足38q p p +=,则a 的可能取值有多少个? 16.△ABC 的顶点(,0)A p -,(,0)B p ,其内心在直线x q =上,且0p q >>,则顶点C 的轨迹方程为

卓越联盟自主招生真题卷

卓越联盟—Part 1 Cloze Road politeness is not only good manners, but good sense too. It takes the most cool-headed and good-tempered drivers to ___1___ the temptation to take revenge when subjected to uncivilized behavior. ____2___ the other hand, a little politeness goes a long way towards relieving the ____3____ of motoring. A friendly nod or a wave of _____4____ in response to a ( an) ____5___ of politeness helps to create an atmosphere of goodwill and tolerance so necessary in modern traffic conditions. But such acknowledgements of politeness are all too ____6___ today. Many drivers nowadays don’t even seem able to ___7___ politeness when they see it. However, ____8___ politeness can be dangerous. Typical examples are the drivers who brakes ___9___ to allow a car to ___10____ from a side street to following traffic, when a few seconds later the road would be ____11___anyway; or the man who ___12___ a child across a zebra crossing into the path of oncoming vehicles that may be unable to stop in time. The same ___13___for encouraging old ladies to cross the road wherever and ____14___ they care to. A veteran driver told me it would help if motorists learn to filter correctly into traffic ___15___ one at a time without causing the total blockages that ___16___ rise to bad temper. Years ago the experts warned us that an ____19___ in car-ownership would demand a lot more give-and-take from all road users, It’s high time for all of us to take this message ___20___ heart. 1. A. refuse B. resist C. avoid D. combat 2. A. In B. At C. To D. On 3. A. tension B. anxieties C. worries D. tightness 4. A. appreciate B. gratitude C. tribute D. acknowledgement 5. A. action B. move C. act D. step 6. A. scare B. rare C. infrequent D. sparse 7. A. recognize B. understand C. realize D. respect 8. A. misgiving B. misleading C. misplaced D. mislaid 9. A. violently B. cruelly C. forcefully D. severely 10.A. arise B. rise C. submerge D. emerge 11.A. obstructed B. clear C. open D. blocked 12. A. waves B. sways C. signs D. shakes 13. A. functions B. operates C. runs D. goes 14. A. when B. while C. whenever D. however 15. A. currents B. drifts C. rivers D. streams 16. A. give B. take C. develop D. grow 17. A. Though B. Unfortunately C. Although D. Spite 18. A. delicate B. indirect C. profound D. subtle 19. A. explosion B. outbreak C. outburst D. eruption 20. A. on B. off C. to D. at Reading While awareness and mastery of skills are important steps in any learning process, it is only when conscious skills are put to work that you will experience the involvement and excitement that accompany personal growth. The infant mimicking sounds, the youngster practicing to ride his

历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

复旦大学2018年保送生招生(自主招生)测试 数学试题(理科) 一、填空题(每小题10分,共60分) 1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,……,第n 组含n 个数,即1;2,3;4,5,6;…….令a n 为第n 组数之和,则a n =________________. 2.222sin sin ()sin ()33ππ ααα+++-=______________. 3.222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞ ++-+++=_________________. 4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成 等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为__________________. 5.正实数x ,y 满足关系式x 2xy 4=0,又若x ≤1,则y 的最小值为_____________. 6.一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从 站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台1000米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了 ______________米. 二、解答题(每小题15分,共90分) 1.数列{a n }适合递推式a n +1=3a n +4,又a 1=1,求数列前n 项和S n . 2.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它 圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明.

3.正六棱锥的高等于h ,相邻侧面的两面角等于 1 2arcsin 2 ,求该棱锥的体 积. ( 1 cos 124 π =) 4.设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点,若z1+z2+z3+z4=0.求证:这四个点组成一个矩形. 5 .设(1n n x y =+x n,y n为整数,求n→∞时,n n x y 的极限. 6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1.问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.

最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ,其中a 为实数.若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ,b 满足1a b ==,a b m ?=,则a tb +(R t ∈)的最小值为( ) A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α,β,直线m ,n ,点A ,B 满足:αβ ,m α?,n β?,A α∈,B β∈,且AB 与α 所成的角为4π,m AB ⊥,n 与AB 所成的角为3 π ,那么m 与n 所成角的大小为( ) A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为( ) A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中,三边长a ,b ,c 满足3a c b +=,则tan tan 22 A C 的值为( ) A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图,ABC △的两条高线AD ,BE 交于H ,其外接圆圆心为O , 过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于G .则OFG △与GAH △面积之比为( ) A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =(0a >).过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C :()y f x =的交点为Q ,曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR △的面积的最小值是( ) A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2014)

卓越联盟自主招生真题及答案 (2011-2014年) 目录 2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2) 2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (6) 2012年卓越联盟自主招生数学试题 (12) 2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (16) 2013年卓越联盟自主招生数学试题 (23) 2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (25) 2014年卓越联盟自主招生数学试题26

2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 数学试题 分值: 分时量: 分钟 一、选择题, 1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知则( ) A. B. C . D. 3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ) A.. B. C. D.

6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( ) A. B. C. D. 9.数列共有11项,且 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 10.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则 是( ) A. B. C. D. 二、解答题 11.设数列满足.

历年自主招生考试数学试题大全2018年上海交通大学自主招生数学试题Word版

2018年上海交通大学自主招生考试 数学试题 一、填空题(每题5分,共50分) 1.已知方程2212x px p --=0(p R ∈)的两根12,x x 满足441222x x +≤,则p= . 2.设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ??? ,则x = . 3.已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????,则n= . 4.如图,将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分,将这6部分接在一个边长为2的正六边形上,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图.则该多面体的体积为 . 第4题图 523333,,,x y x y Q -=∈则(x ,y )= . 6.化简:() ()122222246812n n +-+-++-L = . 7.若3z =1,且z ∈C ,则3z +22z +2z +20= . 8.一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬,从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 . 9.4封不同的信放人4个写好地址的信封中,全装错的概率为 ,恰好只有一封信装错的率为 . 10.已知等差数列{a n }中,a 3+a 7+a 11+a 19=44,则a 5+a 9+a 16= .

二、解答题(本大题共50分) 1.已知方程x 3+ax 2 +b x +c =0的三根分别为a 、b 、c ,且a 、b 、c 是不全为零的有理数,求a 、b 、c 的值. 2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (l )最大角是最小角的两倍? (2)最大角是最小角的三倍? 若存在,分别求出该三角形;若不存在,请说明理由. 3.已知函数y =2281 ax x b x +++的最大值为9,最小值为1.求实数a 、b 的值。 4.已知月利率为y ,采用等额还款方式,若本金为1万元,试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式(假设贷款时间为2年). 5.对于数列{}n a :1,3,3,3,5,5,5,5,5,?, 即正奇数k 有k 个·是否存在整数 r ,s ,t ,使得对于任意正整数n , 都有n a r t =+恒成立([x ]表示不超过x 的最大整数)?

卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数学试题

卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测数 学试题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1.若全集{}1,2,3,4U =,{}1,2M =,{}2,3N =,则 ()()U U M N ?=( ) A .{}4 B .{}1,2,3 C .{}2 D .{}1,3,4 2.已知i 为虚数单位,若 ()12i a R a i +∈+为纯虚数,则实数a 的值为( ) A .2 B .2- C .12 D .12- 3.将函数2sin 23y x π? ?=- ??? 图象上的点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为( ) A .22sin 43y x π? ?=- ??? B .2sin 43y x π? ?=- ??? C .2sin 6y x π? ?=- ??? D .2sin 3y x π? ?=- ??? 4.已知点()0,3A ,()3,2B ,向量()6,2m =-,则向量AB 与m ( ) A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 5.若()f x 是偶函数且在[)0,+∞上为增函数,又()21f -=,则不等式()11f x -<的解集为( ) A .{}13x x -<< B .{1x x <-或}3x > C .{1x x <-或}03x << D .{ 1x x >或}30x -<< 6.股票价格上涨10%称为“涨停”,下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,这只股票先经历了3次跌停,又经历了3次涨停,则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A .略有盈利 B .略有亏损 C .没有盈利也没有亏损 D .无法判断盈亏情况 7.已知()30A -,,B 是圆()2241x y +-=上的点,点P 在双曲线22145 x y -=的右支上,

20102013华约自主招生数学试题及答案解析完整版

2010年“华约”自主招生试题解析 一、选择题 1.设复数2 ( )1a i w i +=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) (A )32- (B )12- (C )12 (D )3 2 2.设向量,a b ,满足||||1,==?=a b a b m ,则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A )2 (B (C )1 (D 3。缺 4。缺 5.在ABC ?中,三边长,,a b c ,满足3a c b +=,则tan tan 22 A C 的值为( ) (A ) 15 (B )14 (C )12 (D )2 3 6.如图,ABC ?的两条高线,AD BE 交于H ,其外接圆圆心为O ,过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于G ,则OFG ?与GAH ?面积之比为( ) (A )1:4 (B )1:3 (C )2:5 (D )1:2 7.设()e (0)ax f x a =>.过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ,曲线 C 过点Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR ?的面积的最小值是( ) (A )1 (B (C )e 2 (D )2e 4 8.设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a - =>>,椭圆22 22:14 x y C a +=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率,则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )

(A ) (B )2 (C ) (D )4 9.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n 的最小值为( ) (A )6 (B )7 (C )8 (D )9 10.设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转,用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射,设l 为过AB 中点与CD 中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设στ表示变换的复合,先作τ,再作σ。则ω可以表示为( ) (A ) στστσ (B )στστστ (C )τστστ (D )στσστσ 二、解答题 11. 在ABC ?中,已知2 2sin cos 212 A B C ++=,外接圆半径2R =. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求ABC ?面积的最大值. 12. 设A B C D 、、、为抛物线2 4x y =上不同的四点,,A D 关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛 物线在点D 处的切线l .设D 到直线AB ,直线AC 的距离分别为12,d d ,已知12d d AD +=. (Ⅰ)判断ABC ?是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由; (Ⅱ)若ABC ?的面积为240,求点A 的坐标及直线BC 的方程. 13. (Ⅰ)正四棱锥的体积V = ,求正四棱锥的表面积的最小值; (Ⅱ)一般地,设正n 棱锥的体积V 为定值,试给出不依赖于n 的一个充分必要条件,使得正n 棱锥的表面积取得最小值. 14. 假定亲本总体中三种基因型式:,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (Ⅰ)求子一代中,三种基因型式的比例; (Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由. 15. 设函数()1x m f x x +=+,且存在函数()1(,0)2s t at b t a ?==+>≠,满足2121 ()t s f t s -+=. (Ⅰ)证明:存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121 ()s t f s t +-= ; (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明:11 23 n n x --≤.

2018年大学自主招生数学试题

F 2018年大学自主招生数学模拟试题 答题时注意: 1、试卷满分150分;考试时间:120分钟. 2、试卷共三大题,计16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。 一、选择题(共5小题,每题6分,共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填均不得分) 1、如果关于x 的方程2 2 30x ax a -+-=至少有一个正根,则实数a 的取值围是( ) A 、22<<-a B 、23≤

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分)

11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

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