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第10章 气体动理论

思考题

10-1 一定量的某种理想气体,当温度恒定时,其压强随体积的减小而增大;当体积恒定时,其压强随温度的升高而增大,从微观角度来看,压强增大的原因各是什么?(根据公式nkT p =)

10-2 试用气体动理论说明道尔顿分压定律. (根据公式nkT p =) 10-3 试用气体动理论解释阿伏伽德罗定律. (根据公式nkT p =)

10-4 地球大气层上层的电离层中,电离气体的温度可达到2000K ,离子数密度不过是1011m -3,这个温度是什么意思?一块锡放到该处会不会熔化?(分清温度和热量)

10-5 1mol 氢气与1mol 氦气的温度相同,则两种气体分子的平均平动动能是否相同?两种气体分子的平均动能是否相同?内能是否相等?(根据自由度、能量均分定理以及内能同温度的关系解释)

10-6 速率分布函数f (v )的物理意义是什么?说明下列各式的物理意义: (1)()f d υυ;(2)()Nf d υυ;(3)

2

1

()f d υυ

υυ?;(4)21

()Nf d υ

υυυ?

10-7 气体分子的平均速率、最概然速率和方均根速率的意义有何不同? 10-8 若某气体分子的自由度是i ,能否说每个分子的能量都等于2

ikT

?(根据统计的特征来解释)

10-9 将沿铁路运行的火车、在海面上航行的轮船视为质点,它们的自由度各为多少?若把在空中飞行的飞机视为刚体,自由度为多少?(1,2,4)

10-10 一绝热敞口容器中盛有某种液体,液体蒸发过程中会导致液体温度的下降,试利用气体动理论解释其原因.(温度的微观本质是分子热运动剧烈程度的量度,气体的分子的平均平动动能与气体温度成正比。液体蒸发时一些平动动能较大的分子离开液体,导致分

子的平均平动动能减小,所以液体的温度下降。)

10-11 一定量的气体体积保持不变,当温度增加时,分子运动得更剧烈,因而平均碰撞次数增多,平均自由程是否也因此而减小?(参考平均自由程的公式)

习题

10-1 体积为V =1.20?10-2m 3的容器中储有氧气,其压强p =8.31?105P a ,温度为T =300K ,试求:单位体积中的分子数n 、分子的平均平动动能和气体的内能.

解:2632.0110p

n m kT

-=

=?, 213 6.21102k kT J ε-==?,

42.49102

m RT E J M ==?

10-2 真空设备内部的压强可达到1.013×10-10 Pa ,若系统温度为300K ,在如此低的压强下,气体分子数密度为多少?

解: 1032.4510p

n m kT

-=

=? 10-3 体积为1.0×10-3 m 3的容器中含有1.01×1023个氢气分子,如果其中压强为1.01×105Pa ,求该氢气的温度和分子的方均根速率.

解:72.5p

T K nk

=

=

210/rms v m s =

第10章 气体动理论

? 10-4 设一定质量的理想气体盛在半径为R 的球形容器中,试根据气体动理论的观点推导出压强公式:212

33

k p mn n υε=

=. 假设所有分子均沿径向分布,分子间无碰撞,分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞。设第i 个分子的分子速率为v i ,则该分子与器壁碰撞一次施于器壁的冲量为2mv i ,方向垂直于器

壁向外。平均该分子每通过距离2R 与器壁碰撞一次,单位时间内该分子与器壁碰撞次数为

v i /(2R ),单位时间内所有分子施于器壁的冲量大小为∑==?N

i i

R mv I 1

2

,气体施于器壁的压强

k N

i i n v nm v R mN R mv R S I p εππ3231441

2

21

32

2====

?=∑=。 10-5 某些恒星的温度可达到1.0×108 K ,这也是发生核聚变反应(也称热核反应)所需要的温度,在此温度下的恒星可视为由质子组成.问:

(1)质子的平均动能是多少? (2)质子的方均根速率是多大? 解:(1)312.92

k kT

keV ε= (2

)610/rms v m s =

第10章 气体动理论

? 10-6 图10-6中I 、Ⅱ两条曲线是两种不同气体(氢气和氧气)在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线,试由图中数据求:

(1)氢气分子和氧气分子的最概然速率; (2)气体的温度.

第10章 气体动理论

图10-6

解:

由mol p M RT v /2=可知,在相同温度下摩尔质量较大的气体,其最概然速率较小。由

此可断定图中所标v p =2000m ?s -1对应于氢气分子的最概然速率。

(1)s m M RT v H H p /2000/2==

, s m v M RT v pH O pO /5004

/2==

=

(2))2/(2

R M v T H pH ?== 481K

10-7 设系统有N 个分子,试证明:无论分子速率分布规律如何,其方均根速率总不小于其平均速率.

解:

v v -i (0)2

≥→2222222

i 11

11(-)(-2)20N N i i i i v v v v v v v v v v v v N N ===+=-+=-≥∑∑

即有

v v ≥2

10-8 从麦克斯韦速率分布律出发,推导出分子按平动能21

2

m ευ=

分布的规律: 2

12

3)(2

)(επ

εε

kT

e

kT f -

-

=

并由此求出分子平动动能的最概然值. (/2p kT ε=) 解:

dv v e πkT 2m π4v v f N dN kT

2mv 2

22

3

)d (-

??

?

??==

22

1

mv =

ε mvdv d ε=

0)(=d εεdf →0211)(π2)(23-=??? ??+-εεkT

kT e kT ε/-→2kT εp = 10-9 有N 个质量均为m 的同种气体分子,它们的速率分布如图10-7所示.

(1)说明曲线与横坐标所包围面积的意义; (2)由N 和0υ求a 值; (3)求速率在

02υ到0

2

3υ间隔内的分子数; (4)求分子的平均平动动能.

第10章 气体动理论

a

图10-7

解:

(1) 系统总分子数

由图得分子的速率分布函数: N

V Va

0 (00V V ??) f(v)=

N

a

(002V V V ??) 0 (02V V ?)

(2) dv v Nf dN )(=→?

=0

)(dv v Nf N =02/3N v

(3) ?

=

?232

00)(v v dv v Nf N =13/24N

(4) ==

?

N

dN v m

v v 0

20

22

=2013/24mv

10-10 目前实验室获得的极限真空约为1.33×10-11 Pa ,试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设气体分子的有效直径d =3.0×10-10 m ). 解:00

0kT p n =

933.2110n m -=?

p

d kT 22πλ=

87.810m =?